2022-2023学年山东省潍坊市华天高级中学高三数学理月考试卷含解析

2022-2023学年山东省潍坊市华天高级中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的图象如下面右图所示，则函数的图象是 （

）参考答案：A略2.已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23参考答案：C【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解．【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+=95．故选C3.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC是(

) A．钝角三角形

B．直角三角形 C．锐角三角形

D．等边三角形参考答案：A由得，，所以，所以,即三角形为钝角三角形，选A.4.若，则的定义域为()A．

B．

C．

D．(0，＋∞)参考答案：A5.已知函数的定义域为实数集,满足(是的非空真子集),在上有两个非空真子集,且,则的值域为A．

B．

C．

D．

参考答案：B若，则，；若，则；若，则，，故选B.6.已知集合,则集合的真子集有7个

8个

9个

10个参考答案：A7.在一圆柱中挖去一圆锥所得的工艺部件的三视图如图所示，则此工艺部件的表面积为（）A．（7+）π B．（7+2）π C．（8+）π D．（8+2）π参考答案：A【分析】通过三视图可知该几何体中圆柱高、底面半径以及圆锥的高，进而利用公式分别计算出圆柱侧面积、圆柱上底面面积、圆锥侧面积，相加即得结论．【解答】解：由三视图可知，该几何体中圆柱高h=3，底面半径R=1，圆锥的高h'=2，圆柱侧面积S1=2πRh=6π，圆柱上底面面积S2=πR2=π，圆锥侧面积S3=πR=π，则所求表面积为S1+S2+S3=6π+π+π=7π+π，故选：A．【点评】本题考查通过三视图求几何体的表面积，涉及圆锥、圆柱的侧面积，注意解题方法的积累，属于中档题．8.已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（）A．2 B．1 C． D．参考答案：C考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 计算题；空间位置关系与距离．分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱；结合图中数据求出它的体积．解答： 解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱柱；且该三棱柱的底面是边长为1的等腰直角三角形1，高为1；所以，该三棱柱的体积为V=Sh=×1×1×1=．故选：C．点评： 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．9.在各项均为正数的等比数列{an}中，，成等差数列，Sn是数列{an}的前n项的和，则

A．1008

B．2016

C．2032

D．4032参考答案：B10.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点且，则下列结论中错误的是A.

B.三棱锥的体积为定值C.

D.异面直线所成的角为定值参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数若关于的方程至少有两个不同的实数解，则实数的取值范围为

．参考答案：12.从这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为

▲

．参考答案：13.已知θ∈（0，π），且sin（θ﹣）=，则tan2θ=

．参考答案：﹣考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：依题意，可得sinθ﹣cosθ=①，sinθ+cosθ=②，联立①②得：sinθ=，cosθ=，于是可得cos2θ、sin2θ的值，从而可得答案．解答： 解：∵sin（θ﹣）=（sinθ﹣cosθ）=，∴sinθ﹣cosθ=，①∴1﹣2sinθcosθ=，2sinθcosθ=＞0，依题意知，θ∈（0，），又（sinθ+cosθ）2=1+sin2θ=，∴sinθ+cosθ=，②联立①②得：sinθ=，cosθ=，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣，∴tan2θ==﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查同角三角函数间的关系式的应用，考查二倍角的正弦、余弦与正切，属于中档题．14.若方程＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是__________．参考答案：略15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是

.参考答案：如下图:.16.已知半径为的球中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_____________.参考答案：3217.已知则在方程有实数根的条件下，又满足m≥n的概率为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角C的大小。（2）求函数的值域。参考答案：（1）；（2）.试题分析：（1）由利用正弦定理得，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得，可求出的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域.试题解析：（1）由，利用正弦定理可得，可化为，.（2），，，，.19.选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；

（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。参考答案：解：（Ⅰ）由

从而C的直角坐标方程为

………5分（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为所以P点的直角坐标为所以直线OP的极坐标方程为

…………10分

20.设函数f（x）=lnx．（1）证明：f（x）≤x﹣1；（2）若对任意x＞0，不等式恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）构造函数，根据导函数求出函数的最值即可；（2）构造函数h（x），求出导函数h'（x），根据导函数对a进行分类讨论，逐步确定满足体题意的a的范围．【解答】（本小题满分12分）解：（1）证明：令g（x）=f（x）﹣（x﹣1），则．当x=1，g'（x）=0．所以0＜x＜1时，g'（x）＞0，x＞1时，g'（x）＜0，即g（x）在（0，1）递增；在（1，+∞）递减；所以g（x）≤g（1）=0，f（x）≤x﹣1…（2）记h（x）=ax+﹣lnx，则在（0，+∞）上，h（x）≥1，，…①若0＜a≤，﹣1+＞1，x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）＜h（1）=2a﹣1≤0，这与h（x）≥1上矛盾；…②若＜a＜1，0＜﹣1+＜1，（1，+∞）上h'（x）＞0，h（x）递增，而h（1）=2a﹣1＜1，这与这与h（x）≥1上矛盾；…③若a≥1，﹣1+≤0，∴x∈（0，1）时时h'（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（1，+∞）时h'（x）＞0，h（x）单调递增∴最小值h（1）=2a﹣1≥1，即h（x）≥1恒成立…④若a=0，，x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）≤h（1）=﹣1＜0，这与h（x）≥1矛盾…⑤若a＜0，，x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）≤h（1）=2a﹣1＜0，这与h（x）≥1矛盾…综上，实数a的取值范围是[1，+∞）…21.兰州一中在世界读书日期间开展了“书香校园”系列读书教育活动。为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查。下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图，且将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”。

非读书迷读书迷合计男

15

女

45

（1）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？（2）利用分层抽样从这100名学生的“读书迷”中抽取8名进行集训，从中选派2名参加兰州市读书知识比赛，求至少有一名男生参加比赛的概率。附：0.1000.0500.0250.0100.001-k02.7063.8415.0246.63510.828

参考答案：

（1）2×2列联表如下：

非读书迷读书迷”合计男401555女202545合计6040100…

………2分

易知的观测值

………4分因为，所以有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.

……………6分（2）利用分层抽样抽取的8名“读书迷”中有男生3名，女生5名，分别设男生和女生为、，

……8分设从8名“读书迷”中选派2名，至少选派一名男生参加比赛的事件为则基本事件共有28种，其中至少选派一名男生参加比赛的事件有18种，

……10分所以，

所以，至少有一名男生参加比赛的概率为

………………12分22.已知函数f（x）=（a＞0）（Ⅰ）求证：f（x）必有两个极值点，一个是极大值点，一个是极小值点；（Ⅱ）设f（x）的极小值点为α，极大值点为β，f（α）=﹣1，f（β）=1，求a、b的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设g（x）=f（ex），若对于任意实数x，g（x）≤恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）利用极值的定义证明即可；（Ⅱ）利用韦达定理，结合f（α）=﹣1，f（β）=1，求a、b的值；（Ⅲ）原问题可化为m≤对一切x∈（﹣∞，0）∪(

)，+∞）恒成立，构造函数，研究函数的值域，即可求实数m的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：f′（x）=﹣令f′（x）=ax2+2bx﹣a=0

…△＞0，∴f′（x）=0有两实根不妨记为α，βx（﹣∞，α）α（α，β）β（β，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）

极小

极大

∴f（x）有两个极值点，一个极大值点一个极小值点

…（Ⅱ）解：ax2+2bx﹣a=0，由韦达定理得α+β=﹣∵f（α）=﹣1，f（β）=1，∴α2+αα+b+1=0，β2﹣αβ﹣b+1=0．∴（α+β）（α﹣β）=0…∴α+β=0，∴b=0，α=﹣1，β=1，∴a=2

…（Ⅲ）解：∵g（x）=f（ex），∴m≥0

…当x=0时，不等式恒成立∴原问题可化为m≤对一切x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立设u（x）=，则u′（x）=设h（x）=（ex﹣e﹣x）x﹣2（ex+e﹣x﹣2），∴h′（x）=（ex+e﹣x）x﹣（ex﹣e﹣x），h″（x）=（ex﹣e﹣x）x，当x＞0时，ex＞e﹣x，∴h″（x）＞0，当x＜0时，ex＜e﹣x，∴h″（x）＞