曲线积分与曲面

§1

对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分）第十二章曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质光滑曲线

----

具有连续转动切线的曲线。1.

引例：求曲线形构件的质量。设一曲线形构件位于xoy平面上的一段曲线弧L

上,线密度ρ(x,y)为L

上的连续函数，求该曲线形构件的质量M。yAB(1)分割：插入分点：x

M1

,,

Mi

,,

Mn-1

,MiMn-1˙设L

=AB思想方法：˙

˙分

AB

为n个小弧段

Mi

-1

Mi

(i

=

1,2,,

n),˙每一小弧段长

DSi

=

Mi

-1

Mi

.(2)

取近似：任取一点(xi

,hi

)˛

DSi

,则小弧段质量：DMi

»

r(xi

,hi

)DSi

,DSi(xi

,hi

)

•M1

Mi

-1n

n(3)

求和：M

=

DMi

»

r(xi

,hi

)Dsii=1

i=1(4)

取极限:令l

=max(Dsi

),当l

fi

0

时nM

=

lim

r(xi

,hi

)Dsilfi

0

i

=1nM

=

lim

r(xi

,hi

)Dsilfi

0

i

=1˙˙lim

f

(xi

,hi

)Dsi

存在lfi

0

i

=1则称此极限值为f

(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分。令l

=

max(Dsi

),

若和式的极限n点2、定义设L为xoy平面内的一条光滑曲线弧段，函数f

(x,y)在L上有界，用L上的任意M1,M2,…,Mn-1

把L

分成n个小弧段Mi

-1

Mi

,其长度为

Dsi

;

在Mi

-1

Mi

上任取一点f

(xi

,hi

)Dsi

,

(i

=

1,2,,

n),(xi

,hi

),

作乘积也称为第一类曲线积分。记作

L

f

(

x,

y)ds

L

—

积分弧段（积分路径）

ds

—

弧元素说明:f

(x,

y)

在

L

上连续,

则曲线积分必存在。f(x,y)虽为二元函数,但点(x,y)被限制在L上,变量x,y

不独立,(3)若L是光滑闭曲线,须满足曲线L的方程。常记成L

f

(x,y)ds.Gf

(

x,

y,

z)d

s(4)推广到空间曲线Γ,

有nii

i

i=

limf

(x

,h

,z

)Dslfi

0

i

=1

L

LL12f

(

x,

y)

dsf

(

x,

y)ds

=

f

(

x,

y)ds

+性质

(与定积分性质相仿)L[

f

(

x,

y)

–

g(

x,

y)]

ds=

L

f

(

x,

y)ds

–

L

g(

x,

y)ds.L

k

f

(x,y)ds

=k

L

f

(x,y)ds,（k

为常数）若L是分段光滑的曲线段，即L

=L1

+L2

.(4)设在L

上，f

(x,y)£

g(x,y),则L

f

(

x,

y)ds

£

L

g(

x,

y)ds(5)(积分中值定理)设f

(x,y)在L

上连续，则必存在(x,h

)˛

L,使得L

f

(

x,

y)ds

=

f

(x,h

)

l其中l

为L

的长度。第一类曲线积分的对称性(1)如曲线L

关于y

轴对称，L1

是L

的x

‡0

部分，则当f

(-x,y)=f

(x,y)时,

1L

Lf

(

x,

y)dsf

(

x,

y)ds

=

2当f

(-x,y)=-f

(x,y)时,L

f

(

x,

y)ds

=

0(2)若交换x,y

两变量时，L的方程不变，则L

f

(x,y)ds

=L

f

(y,x)ds

------轮换对称性二、对弧长的曲线积分的计算法定理:设f

(x,y)在曲线弧L

上有定义且连续，L

¢

¢a2

2f

[j

(t

),y

(t

)]

j

+y

dtf

(

x,

y)ds

=(a

<

b

)L

的参数方程为：x

=

j

(t

),

y

=y

(t

),

(a

£

t

£

b

),其中j

(t

),

y

(t

)

在

[a

,

b

]

上具有一阶连续导数，且

j

¢2

(t

)

+y

¢2

(t

)

„

0,则曲线积分

L

f

(

x,

y)ds

存在，

且bds

——弧元素(弧微分)说明:

(1)(2)

当

L：y

=

y(

x) (a

£

x

£

b)

时,bL

af

(

x,

y)

ds

=

f

[

x,

y(

x)]

Lcx¢(

y)

dyf

(

x,

y)ds

=

f

[

x(

y),y]

1

+2当L：x

=x(y)(c

£

y

£

d

)时,d2y¢1

+

(

x)dxds

=

(d

x)2

+

(d

y)2所以当

x

=

j

(t

),

y

=y

(t

)

时,

ds

=

j

¢2

(t

)

+y

¢2

(t

)dt

Lbaq

)cosq

,

r(q

)sinq

]f

[r(f

(

x,

y)ds

=(4)

对空间曲线G：x

=x(t

),y

=y(t

),z

=z(t

)(a

£

t

£

b

),

则

Lbaf

[

x(t

),

y(t

),

z(t

)]f

(

x,

y,

z)ds

=(3)

当

L：r

=

r(q

)

(a

£

q

£

b

)

时，r

2

+

r

2dqx¢2

+

y¢2

+

z¢2dt(5)

上述所有计算公式中，等式右边的定积分的积分下限都必须小于上限。例1:222Lxy

ds,

L为x

+

y

=

a

中的计算I

=B23

aa2一段弧(如图).

A

(0,

a),B

(

1

a,

3

a

)2

2解：法一：选x

为积分变量，2(

0

£

x

£

a

)L：y

=

a2

-

x2ds

=

1

+

y¢2

d

xa=

d

xx\

I

=a2

-

x2d

xaa2

-

x2a20=20a2

-

x2aaxdx81=

a3

.xy

Aa计算

I

=L

xy

ds,

L为x

+

y

=

a

中的2

2

2一段弧(如图).法二：选y

为积分变量，a2

-

y2L：x

=2(

3

a

£

y

£

a

)d

yaa2

-

y2=ds

=

1

+

x¢2

d

yy\

I

==

aaaydy2322a

-

y2a

3ad

yaa2

-

y2183a

.=B23

aa2xy

Aa计算

I

=L

xy

ds,

L为x

+

y

=

a

中的2

2

2一段弧(如图).法三：L

用参数方程表示:

y=

a

sin

t3

2L

:

x

=

a

cos

t

(

p

£

t

£

p

)ds

=

x¢2

(t

)

+

y¢2

(t

)

d

t=

a

dta

cos

t

a

sin

t\

I

=p2p32p2p3sin2

ta3adt

=183a

.=B23

aa2xy

Aa1y2

yds,L例2：计算ABL

yds

=

OA

yds

+

AB

yds

+

OB

yds5.L

:O(0,0),A(1,2),B(2,0)所围DOAB的整个边界。解：L

=OA

+AB

+OBOA

:y

=

2

x,

0

£

x£

1

;AB

:

y=

4

-

2

x, 1

£

x£

2

;OB

:

y

=

0,0

£

x£

2

;ds

=ds

=5

dx.5

dx.ds

=

dx.=

0

2

x2

x5

dx

+(4

-

2

x)5

dx12+02

0

dx

=

21o例3：求L

|

y

|

ds

,L

:双纽线(x2

+y2

)2

=a2

(x2

-y2

)一周。L

r

2

=

a2

cos

2qL

L1

L2

|

y

|ds

=(

+

)

|

y

|ds22)a

.解：利用极坐标。dqacos

2qds

=

r

2

+

r¢2dq

=yxpq

=

4r

2

=

a2

cos

2qL1(又y=r(q

)sinq

)=-

4p4pcos

2qdqa|

a

cos

2q

sinq

|+5p43p4cos

2qdq

=

(4

-

2a|

a

cos

2q

sinq

|L2a例4：22L+

4

y

)ds

,(2

xy

+

3

x求4

3x2

y2=1

的一周，其周长为a。L

:

椭圆

+解：L

的方程可写为3

x2

+4

y2

=12,因为L

关于x

轴对称，2xy

关于y

是奇函数，L所以

2

xyds

=0,LL(3

x

+

4

y

)ds2

2(2

xy

+

3

x2

+

4

y2

)ds

=则=

L

12ds

=

12

L

ds

=

12a.x,y

满足L

方程三、几何与物理意义(1)

当

f

(

x,

y)

”

1时,

L弧长

=

L

ds;(2)当f

(x,y)表示立于L上的柱面在点(x,y)处的高时,S柱面面积=L

f

(x,y)ds.sLz

=

f

(

x,

y)设平面曲线形的物件所占的平面曲线弧段为L，且它的线密度为r(x,y),密度在L

上连续，则：它的质量M

=

L

r(

x,

y)ds它的质心坐标(x,y)为：Mx

=L

xr(

x,

y)dsMy

=L

yr(

x,

y)ds(3)若线2例5.

求均匀半圆周

r

=

2a

cosq

(0

£q

£

p

)的质心坐标。解：由对称性，x

=a

;弧长l

=pa

,=20

L

yds

=

L

r(q

)sinq

dspsinq

2adqcosq

sinq

dq=

4

a2202a

cosqp=

2a2

.pay

=

1

Lpyds

=

2a

.p\

质心：(

a,

2a

).ds

=

2a

dq

,r

=

2a

cosq.a2a

xy0课

外

作

业习题12—1

(A)1(3),

2习题12—1

(B)1(1,

4)§2.对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.

引例: 求变力沿曲线所作的功。常力作功:变力作功,baW

=f

(

x)dx

W

=

F S

=

F S

cos(F

,

S

).力f

(x)的方向与运动方向一致,xAy

B(1)插入分点M1(x1,y1),…,M

(xn-1

n-1

n-1n个有向小弧段M˙i

-1Mi(i

=

1,2,,

n).Mn-1MiMi-1,y

),

将L任意分成F

M1设一质点在xoy面内沿光滑曲线弧L从A移动到B。移动过程中，这质点受到变力F

(

x,

y)

=

P(

x,

y)i

+

Q(

x,

y)

j

的作用，其中P,

Q在L上连续。现计算在上述移动过程中变力所作的功。˙思想方法:

(元素法)

设

L

=

ABxyBMi-1AMiDxiiDy˙近似代替Mi

-1

Mi

,˙任取(xi

,hi

)˛

Mi

-1

Mi

,i

iF

(x

,h

)

•则由常力:F

(xi

,hi

)=P(xi

,hi

)i

+Q(xi

,hi

)j

近似代替变力F

(x,y),则=

P(xi

,hi

)Dxi

+

Q(xi

,hi

)Dyi

.

M

=

Dxii

+

Dyi

ji

-1

i(2)

用MDWi

»

F

(xi

,hi

)

Mi

-1

Min»

[P(xi

,hi

)Dxi

+

Q(xi

,hi

)Dyi

].i=1n作和

W

=

DWii

=1(3)(4)取极限˙记l

=max(Mi

-1

Mi

),nW

=

lim

[P(xi

,hi

)Dxi

+

Q(xi

,hi

)Dyi

]lfi

0

i

=1˙为Mi

-1

Mi˙上的任一点，

l

=

max(Mi-1Mi

),则称此极限值2、定义设L

为xoy平面上从点A到B的一条有向光滑曲线,函数P(x,y)、Q(x,y)在L

上有界。用L上的点M1

(x1,y1

),,Mn-1

(xn-1,yn-1

)把L˙分成

n个有向小弧段

Mi-1Mi

,(i

=

1,2,,

n

;

M0

=

A,

Mn

=

B)设

Dxi

=

xi

-

xi

-1

,

Dyi

=

yi

-

yi

-1

,

点(xi

,hi

)为函数P(x,y)在有向曲线弧L

上对坐标x的曲线积分,

记作

L

P(

x,

y)dx.n同理,若lim

Q(xi

,hi

)Dyi

存在lfi

0

i

=1则称此极限值为函数Q(x,y)在有向曲线弧

L上对坐标y的曲线积分,记作LQ(x,y)dy.常用其组合形式：L

P(

x,

y)dx

+

LQ(

x,

y)dy=

L

P(

x,

y)dx

+

Q(

x,

y)dy.统称为第二类曲线积分。说明：P(x,y),Q(x,y)中的x,y

受L

的限制而相互有关。对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关。B

fi3)W

=

L

P(

x,

y)dx

+

Q(

x,

y)dy=LF

(

x,

y)

ds其中F

(

x,

y)

=

P(

x,

y)i

+

Q(

x,

y)

j

,(有向弧元素)d

s

=

d

x

i

+

d

y

j(dx)2

+

(dy)2

=

dsd

s

=Dyi

=

yi

-1

-

yi

,A

时，

Dxi

=

xi

-1

-

xi

,前述变力作功变号4)对空间曲线

L,

有=LF

(

x,

y,

z)

d

sL

P(

x,

y,

z)dx

+

Q(

x,

y,

z)

dy

+

R(

x,

y,

z)dz其中

F

(

x,

y,

z)

=

P(

x,

y,

z)i

+

Q(

x,

y,

z)

j

+

R(

x,

y,

z)k

,d

s

=

d

xi

+

d

y

j

+

dzk

.5)若P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在L上连续,则此曲线积分必存在。3、性质(1)

设有向曲线

L

,

—

L

与

L

方向相反,则有:

-L

P(

x,

y)dx

=-LQ(

x,

y)dy

=\

-L

P

d

x

+

Q

d

y

=L

P(

x,

y)

d

x,L

Q(

x,

y)

d

y,LPd

x

+

Q

d

y.注：第一类曲线积分没有这一性质。(2)

其余性质类似于对弧长的曲线积分。1

L

Lf

(

x,

y)dx

=

2

f

(

x,

y)dx,则当f

(-x,y)=-f

(x,y)时,L

f

(

x,

y)dx

=

0,第二类曲线积分的对称性如曲线L关于y轴对称，L1

是L的x

‡0

部分，方向不变，则当f

(-x,y)=f

(x,y)时,L

f

(

x,

y)dy

=

01LLf

(

x,

y)dyf

(

x,

y)dy

=

2二、对坐标的曲线积分的计算法设曲线L由参数方程

x

=

j

(t

),

y

=y

(t

)

给出则L

P(x,y)dx

+Q(x,y)dy

=则L

P(x,y)dx

+Q(x,y)dy

=ba

{P[j

(t

),y

(t

)]j

¢(t

)

+

Q[j

(t

),y

(t

)]y

¢(t

)}dtba{P[j

(t

),y

(t

)]j

¢(t

)

+

Q[j

(t

),y

(t

)]y

¢(t

)}dt(a

可大于b

)L

的起点A

(t

=a

),终点

B

(t

=

b

),j

(t

),y

(t

)在以a

及b

为端点的闭区间上具有一阶连续导数,

且

j

¢2

(t

)

+y

¢2

(t

)

„

0,当t

由a

变到b

时，M

(x,y)描出有向曲线LAB

,又函数P(x,y),Q(x,y)在L上连续,{P[

x,

f

(

x)]dx

+

Q[

x,

f

(

x)]df

(

x)}=特例：若

LAB：y

=

f

(

x),

起点

A

(x

=

a),

终点

B

(x

=

b)f

(x)

在

[a,

b]

或

[b,

a]

上有连续导数,

则L

P(

x,

y)dx

+

Q(

x,

y)dy

=ba{P[

x,

f

(

x)]

+

Q[

x,

f

(

x)]

f

(

x)}dx=ba若

LAB：x

=

g(

y),

起点

A

(y

=

c),

终点

B

(y

=

d)g(y)

在

[c,

d]

或

[d,

c]

上有连续导数,

则{P[

g(

y),

y]dg(

y)

+

Q[

g(

y),

y]dy}=L

P(

x,

y)dx

+

Q(

x,

y)dy

=dc=dc{P[

g(

y),

y]g

(

y)

+

Q[

g(

y),

y]}dy空间曲线Γ:x

=

x(t

),

y

=

y(t

),

z=

z(t

),起点

A

(t

=

a

),终点

B

(t

=

b

),=则G

P(x,y,z)dx

+Q(x,y,z)dy

+R(x,y,z)dz

==

b

{P[

x(t

),

y(t

),

z(t

)]

d

x(t

)

+

Q[

x(t

),

y(t

),

z(t

)]

d

y(t

)+

R

[

x(t

),

y(t

),

z(t

)]

dz(t

)}ba{P[

x(t

),

y(t

),

z(t

)]

x¢(t

)

+

Q[

x(t

),

y(t

),

z(t

)]

y¢(t

)+

R

[

x(t

),

y(t

),

z(t

)]

z

(t

)}

dt例1.

计算

I

=L

y

dx

-

x

dy2

2(1)

L:

圆心为原点,半径为1,按逆时针方向绕行的上半圆周。xyAB1-1解：L

:

x

=

cos

t,

y

=

sin

tB，则t

:0

fi

p

.由A

fi2

2[(

sin

t

)

(cos

t

)

-

(cos

t

)

(sin

t

)

]dt¢

¢I

=p03=

-

4

.(-sin

3t

-

cos3t)dt=p0计算

I

=L

y

dx

-

x

dy2

2xyA1B-1由A

fiB，则x

:1

fi-1.(2)

L:

直线AB.解：

L

:

y

=

0,[02

-

x2

(0)¢]dxI

=-11=

0

.计算

I

=L

y

dx

-

x

dy2

2(3)

L:

折线ACB.xABy

C1-1

y

=

1

-

x

,

y

=

1

+

x

,x

:

1

fi

0

.x

:

0

fi

-1.]2

2[(1

-

x)

-

xI

=(-1)

d

x1解：LAC

:

x

+

y

=

1LCB

:

y

-

x

=

100+

-1[(1

+

x)2

-

x

2

]d

x02=

1

(2

x

-

2

x

+

1)d

x+-10.23(2

x

+

1)d

x

=

-路径不同, 值不同。路径不同, 值不同。例2.OA(

x

+

y)dx

+

(

x

-

y)dyI

=

L(1)A

(1,

1).x

:

0

fi

1其中O

(0,0),LOA

:

y

=

x,(2)x

:

0

fi

1LOA

:

y

=

x2

,Axy1[(

x

+

x

)

+

(

x

-

x) (

x)

]dxI

=01=102

xd

x102=

1

.=

x2-

x

2

) (

x

2

)

]dx[(

x

+

x

)

+

(

xI

=10=1032-

2

x

)d

x(

x

+

3

x=

1

.Ay1(3)LOA

=

LOBA

=

LOB

+

LBA

,OA(

x

+

y)dx

+

(

x

-

y)dyI

=

L其中

O

(0,

0),

A

(1,

1).OB

:BA

:y

=

0,x

=

1,x

:

0

fi

1,y

:

0

fi

1,LOB[(

x

+

0

)

+

(

x

-

0) (0)

]dx=

10;=LBA[(1+

y

) (1)

+

(1

-

y)]dy=

10;1212=\

I

=

1.路径不同, 值却相同。B(1,0)x例3.

I

=

G

x

dx

+

y

dy

+

(

x

+

y

-1)

dz,Γ:

由点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段。解：求Γ

的方程。Γ

的方向向量：s

={1，2，3

},1

2

3t

:

0

fi

1.\

I

=(t

+1)

d(t

+1)

+

(2t

+1)

d(2t

+1)+[(t

+1)

+

(2t

+1)

-

1]d(3t

+1)0其参数式：

x

=

t+

1,

y

=

2

t

+

1,

z

=

3

t

+

1,1=10[

t

+

1

+

(2t

+

1)+

(3t

+

1)2

3

]dt

=10(14

t

+

6)dt

=

13

.Γ

的方程：x

-1

=y

-1

=z

-1

=tzox1

y其中G

由平面y=z

截球面原式=

=

2

2

4

2 2

2

1

p

-

3

1

p

例4.

计算

G

xyzdz

,x

2

+

y2

+

z

2

=

1

所得,

从

z

轴正向看沿逆时针方向.解:

因在

G上有

故三、两类曲线积分之间的联系设有向线段

L:

x

=

j

(t

),

y=y

(t

),起点

A(t

=

t1

),

终点

B(t

=

t2

),j

(t

),y

(t

)在以t1

及t2

为端点的闭区间上具有一阶连续导数,

且

j

¢2

(t

)

+y

¢2

(t

)

„

0,又函数P(x,y),Q(x,y)在L

上连续,则L

P(x,y)dx

+Q(x,y)dy

=则L

P(x,y)dx

+Q(x,y)dy

=t

2

{P[j

(t

),y

(t

)]j

¢(t

)

+

Q[j

(t

),y

(t

)]y

¢(t

)}dtt1tt12

{P[j

(t

),y

(t

)]j

¢(t

)

+

Q[j

(t

),y

(t

)]y

¢(t

)}dt又设a

,b

为有向线段L

在点(x,y)的切向量的两个方向角，L

P(

x,

y)dx

+

Q(

x,

y)dy

=L

P(

x,

y)dx

+

Q(

x,

y)dy

==

L[P(

x,

y)cosa

+

Q(

x,

y)cos

b

]

ds=

L[P(

x,

y)cosa

+

Q(

x,

y)cos

b

]

ds类似，G

P(x,y,z)dx

+Q(x,y,z)dy

+R(x,y,z)dz=

G

(

P

cosa

+

Q

cos

b

+

R

cos

g)ds,cosa

,cos

b

,cosg为G上点(x,y,z)处的切线向量的方向余弦。则可证明:例：把

L

P(

x,

y)dx

+

Q(

x,

y)dy

化为对弧长的曲线积分，L

:y

=x3

上从点(-1，-1)到(1,1)的一段。dy

=

3

x2dx,解：

y=x3

,∴曲线上点(x,y)的切线的方向余弦：dx

1=(dx)2

+

(dy)2

1

+

y¢2cosa

=dycos

b

=\

L

Pdx

+

Qdy

=

L

(P

cosa

+

Q

cos

b

)ds11

+

9

x4=

,3

x2,1

+

9

x4(dx)2

+

(dy)2

=ds=

L1

+

9

x4P

+

3

x2Q例:

设

M

=

maxP

2

+

Q2

,

P(

x,

y)

,

Q(

x,

y)证:=

L

(P

cosa

+

Q

cos

b

)ds在

L

上连续,

曲线段

L

的长度为

s,

证明L

P

d

x

+

Q

d

y

£

M

s£

L

P

cosa

+

Q

cos

b

ds设

A

=

{P,

Q},

t

=

{cosa

,cos

b

}二者夹角为qA

cosq

ds=

L

A

t

ds

=

L课

外

作

业习题12—2

(B)1(1,

3),

2,

4,

5§3.格林公式及其应用一、格林公式(Green

1793—1841

英)在一元函数积分学中,牛顿—莱布尼茨公式：baf

(x)dx

=F

(b)-F

(a)表示：f

(x)在区间[a,b]上的积分可以用它的原函数

F(x)在这个区间端点上的函数值来表达。现在要介绍的格林公式，表示在平面闭区域D上的二重积分也可以用沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达。设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD平面区域的连通性：边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D内在他附近的那一部分总在他的左边,则他行走的方向就是边界曲线L的正向。LL1L2定理1

设闭区域D

由分段光滑的曲线

L

围成,函数P(

x,

y)及Q(

x,

y)在D

上具有一阶连续偏导数,则有LD¶x

¶y

(

¶Q

-

¶P

)dxdy

=

Pdx

+

Qdy其中L

是D

的取正向的边界曲线,格林公式证明(1)先证明D是单连通区域的情形。若区域D

既是X—型又是Y

—型.c

£

y

£

d

.D

:

y

1(

y)

£

x

£y

2

(

y),dxdy

=D

¶x¶Qdx

dyd2¶Q¶xy

(

y

)c

y

1

(

y

)c2

1d=

[Q(y

(

y),

y)-Q(y

(

y),

y)]dyL3L4CE1x

=y

(

y)oyDcdx

=y

2

(

y)xLQdy

=43LLQdyQdy

+y

:

d

fi

c.L3

:

x

=y

1(

y),cdLQdy

=13Q(y

(

y),

y)dy=

-dc1Q(y

(

y),

y)dyL4

:

x

=y

2

(

y),y

:

c

fi

d

.Qdy

=43LL

LQdyQdy

+L3

:

x

=y

1(

y),y

:

d

fi

c.dL13c1Qdy

=

cQ(y

(

y),

y)dy

=

-

d

Q(y

(

y),

y)dycL(

y),

y)dy24Qdy

=

d

Q(yLL3

L4

Qdy

=

Qdy

+

Qdyd

d=

c

Q(y

2

(

y),

y)dy

-

c

Q(y

1(

y),

y)dyD

¶x=

¶Q

dxdy.L3L4CEx

=y

1(

y)oDcydx

=y

2

(

y)xLQdy=3

4LLQdyQdy

+d

d=

c

Q(y

2

(

y),

y)dy

-

c

Q(y

1(

y),

y)dy=

¶Q

dxdy.D

¶x类似，把D

看成X

—型，有LD

¶y

Pdx

=

-

¶P

dxdy.两式相加得LD¶x

¶y(

¶Q

-

¶P

)dxdy

=

Pdx

+

Qdy.若区域D

由按段光滑的闭曲线围成.如图,LL1L2L3DD1D2D3将D

分成三个既是X

-型又是Y

-型的区域D1

,D2

,D3

.1

2

3D

+D

+DD(

¶Q

-

¶P

)dxdy¶x

¶y¶x

¶y(

¶Q

-

¶P

)dxdy

=321DDD¶x

¶y

¶x

¶y

¶x

¶y=

(

¶Q

-

¶P

)dxdy+

(

¶Q

-

¶P

)dxdy+

(

¶Q

-

¶P

)dxdy=321LLLPdx

+

QdyPdx

+

Qdy

+Pdx

+

Qdy

+=

L

Pdx

+QdyFED¶x

¶y(

¶Q

-

¶P

)dxdy=

{AEFA

+AB

+BGHB

+BA

}

(

Pdx

+

Qdy)LPdx

+

Qdy

12=

{LL+

}(Pdx

+

Qdy)

=(L1,L2

对D

来说为正方向)1LAB证明(2)若区域D是一个复连通区域(如图)，则添加辅助线AB，G

L2H此时D可看作由分段光滑的曲线AEFA

+

AB

+

BGHB

+

BA围成的单连通区域，则由(1)知，L3x32-

x

)

dy(

x y

-

2

y)dx

+

(求例1.L

:

以

x

=

1,

y

=

x,

y

=

2

x

为边的三角形边界正向。2P

=

x y

-

2

y,x3Q

=

3

-

x,DPy

=

x2

-

2,

Qx

=

x2

-

1,解：Qx

-

Py

=

(

x2

-1)

-(

x2

-

2)

=

1Ddxdy由格林公式：I

==d

yd

x1102

xx

.1210=x

d

x

=xy0Lyy

+

2

y)dx

+

(

xy

+

xe

-

2

y)dy212

y例2

:

求

（e

+xBy

A

解:

作辅助线:

BC，CA，DCBL

:由点A(0，2)沿圆周x

2

+y2

=2

y

逆时针方向至点B(-1，1)的一段弧。(若顺时针至B

(1,1)呢？)用格林公式？非闭曲线。yP=

e

y

+

y

+

2

,xQ=

y

+

e

y

,Qx

-

Py

=

-

2

.L+BC

+CAD=

-

2

2dxdy

=

-

p

;(

L

+

B¢C

+CA

=

2

D

dxdy

)

BC=

?,

CALyyy

+

2

y)dx

+

(

xy

+

xe

-

2

y)dy122（e

+xyABDCL+BC

+CAD=

-

2

2dxdy

=

-

p

;,

=

?BC

CABC

:

y

=

1,x

:

-1

fi

0.=BC0-112(e

+;52+

2)

dx

=

e

+CA

:x

=

0,

y

:1

fi

2.CA2=

1

(-2

y)

dy

=

-

3

;\原式=L+BC

+CA-

BC-

CA=

-

p

-

e

+

1

.2

2故所求功为=

2D

dxdy

+=

2p

-

23

-

1y

=

2

+

4

-

2

(

x

-

1)AB的方程例3.

质点M

沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)

运动到点B(3,4),

在此过程中受力F

作用,F

的大小等于点M到原点的距离,其方向垂直于OM,且与y

轴正向夹角为锐角,求变力F对质点M

所作的功.(90考研)F

dsW

=ABFAyBDM

(x,

y)xo解:由图知F

={-y

,x},-

ydx

+

xdy

=AB=

(

+

)(-

ydx

+

xdy)AB格林公式的简单应用:¶Q

¶PD

(

¶x

-

¶y

)

dxdy

=

L

Pdx

+

QdyDPdx

+

QdyL¶Q

¶P¶x

¶y-

)

dxdy

=(令

Q

=

x,

P

=

-

y,D2

Ldxdy

=

1

xdy

-

ydx.若令

P

=

0，Q=

x, (

Qx

-

Py

=

1

)A

=

D

dxdy

=

L

xdy.若令

P

=

y，Q

=

0, (

Qx

-

Py

=

-1

)A

=

D

dxdy

=

-L

ydx.(

Qx

-

Py

=

2

)则D

的面积：A

=解：面积A

=Lxdy

-

ydx12=(cos4

t

sin2

t

+cos2

t

sin4

t

)dt3a2

2p0=2823a2

2p023psin

2tdt

=

a8例4：利用曲线积分，求下列曲线所围的图形的面积：x

=

a

cos3

t,

y

=

a

sin3

t

(0

£

t

£

2p

)

星形线的全微分,(4)

¶P

=

¶Q¶y

¶x即du

=Pdx

+Qdy.在G

内恒成立。二、四个等价命题定理2.

设函数

P(x,y),Q(x,y)在单连通域

G内具有一阶连续偏导数,

则下列四命题等价:对G

内任一光滑或分段光滑的闭曲线L

,有：L

Pdx

+Qdy

=0.对G

内从点A

到B

的光滑曲线L，L

Pdx

+Qdy的值与路径无关，只与起点A

与终点B

有关。微分式

P

dx

+

Qdy

在

G

内是某一函数

u(

x,

y)由(1)

(2)

(3)

(4)

(1)(1)

(2)

:证明：由(1)

(2)

(3)

(4)

(1)(1)

(2)

:˙

˙设G内闭曲线L由L1

(AB)与L2

(BA)围成ABL11LPdx

+

Qdy2LL2+LPdx

+

Qdy

=

0,2Pdx

+

Qdy

=-LPdx

+

Qdy.L2GPdx

+

Qdy

=

-1(

A

fi

B)(

A

fi

B)即曲线积分与路径无关，只与A,B

点有关。L

=

L1

+

L2

,

L

Pdx

+

Qdy

=

0,(2)

(3)

:(2)

(3)

:∵积分与路径无关，仅与起点M0

(

x0

,

y0

),

终点

M

(

x,

y)

有关,

固定M0

(

x0

,

y0

)(

x,

y

)(

x

,

y

)0

0P(

x,

y)dx

+

Q(

x,

y)dyu(

x,

y)

=y.M0

(

x0

,

y0

).M

(

x,

y)E(

x,

y0

)x取折线M0

EM

:x

x0P(

x,

y

)dx0+u(

x,

y)

=yy0Q(

x,

y)dy+¶yu(

x,

y)

=xx0取折线M0

F

M

:y

y0Q(

x

,

y)dy0=

P(

x,

y).¶u¶xP(

x,

y)dx

0F

(

x

,

y)\

¶u

=

Q(

x,

y);¶x¶u

=

P(

x,

y),¶y¶u

=

Q(

x,

y),\

du

=

¶u

dx

+

¶u

dy

=

P(

x,

y)dx

+

Q(

x,

y)dy,¶x

¶y即Pdx

+Qdy是某一函数u(x,y)的全微分。(3)

(4)

:(3)

(4)

:du

=

P(

x,

y)dx

+

Q(

x,

y)dy,¶y¶x其中P

=¶u

,,=¶y

¶x¶y¶P

¶2u且,=¶x

¶y¶x¶Q

¶2uQ

=¶u

,

P,Q

有一阶连续偏导数，¶y

¶x¶P

¶Q\

=

.(4)

(1)

:(4)

(1)

:

¶P

=

¶Q

,¶y

¶x∴对G

内任一条闭曲线L，其所围区域D

G,由格林公式：D

Pdx

+

Qdy

=

(¶Q

-

¶P

)dxdy

=

0

.¶x

¶yL说明：(1)常用(4)¶P

=

¶Q¶y

¶x来判定

(1)、(2)、(3)

的成立。则(2)

若¶P

=

¶Q

,¶y

¶x(

x,

y

)(

x0

,

y0

)u(

x,

y)

=

P(

x,

y)dx

+

Q(

x,

y)dy(

x,

y

)(

x

,

y

)0

0P(

x,

y)dx

+

Q(

x,

y)dyu(

x,

y)

=M0

EM

x

P(

x,

y0

)dx

y

Q(

x,

y)dy=

x0

+

y0x

y0

0M0

EM=

x

P(

x,

y0

)dx

+

y

Q(

x,

y)dyM0F

M

y=

Q(

x0

,

y)dx

+

x

P(

x,

y)dy

y0

x0y

x0

0M0F

M=

y

Q(

x0

,

y)dx

+

x

P(

x,

y)dy且

Pdx

+

Qdy

的一切原函数为

u(

x,

y)

+

c.x.M0

(

x0

,

y0

)M.(

x,

y)E(

x,

y0

)yF

(

x0

,

y)(3)

四个等价命题只适用于单连通域，不适用于多连通域。dx

+

dy,L

x

2

+

y2

x

2

+

y2-

y

x例：I

=L

:x

2

+y2

=1

取逆时针方向。2p0(sin2

t

+

cos2

t

)dt\

I

==

2p

„

0.y2

-

x2

¶Q¶y

=

(

x2

+

y2

)2

=

¶x

,设L：x

=cos

t,y

=sin

t,(0

£

t

£

2p

)在闭区域D

上，¶PI

=

0?=2p0d

txoyD。因为

D

: 0

<

x

2

+

y2

£

1

为多连通域,在此D

上四个命题不再等价.例

题例

题与路径无关，并求例1：证明：L

(x

-y)(dx

-dy)在xoy

平面内(1,1)(1,-1)(

x

-

y)(dx

-

dy).证：P

=x

-y,Q

=

-(

x

-

y)x.(1,

-1)

Py

=

-1

=

Qx

,y.(1,

1)1∴积分与路径无关。取路径L：x

=1y

:

-1

fi

1\

I

=

-1(1

-

y)(-dy)10=

-2d

y=

-2.LI

=(2

xy-

y2

cos

x)dx

+

(1

-

2

y

sin

x

+

3

x2

y2

)dy3例2：计算,1)的一段弧。2p2L

:

x

=p

y2上由点(0,0)到(xy2( ,

1)p∴积分与路径无关。( ,

0

)2p200

dx\

I

=p

2=

4

.(0,1)+1024y

)

dy(1

-

2

y

+3p

210dyI

=