直线与双曲线位置关系

1/13直线与双曲线位置关系的位置关系1.直线与双曲线的位置关系的判断x2y2设直线y=kx+b，双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)联立消去y得Ax2+Bx+C=0(a≠0)，Δ=B2若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点；若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点；Δ<0，直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。2.弦长问题且由，消去y→ax2+bx+c=0(a≠0)，Δ=b2－4ac。1弦长公式：|PP|=1+k2xx=1+yy(k为直线斜率)1212k212例题选讲：数k的取值范围；解(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，整理得依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，2/13直线与双曲线位置关|Δ＝(2k)2－8(k2－2)>0，|k2－2.21例2：已知中心在原点，顶点A,A在x轴上，离心率为123的双曲线经过点P(6,6) (Ⅰ)求双曲线的方程； (Ⅱ)动直线l经过APA的重心G，与双曲线交于不同的两点M,N，问是否存在直线l12使G平分线段MN。试证明你的结论。3/13直线与双曲线位置关系x2x例3：已知椭圆C1的方程为4＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．(1)求双曲线C2的方程；x2y2解(1)设双曲线C2的方程为a2－b2＝1，x2x故C2的方程为3－y2＝1.x2x3(2)将y＝kx＋2代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0.3l与双曲线C2交于不同的两点，得13∴k2≠且k2<1.3①62k－9AxyBxyx＋x2＝1－3k2，x1x2＝1－3k2.3k2＋7＝(k2＋1)x1x2＋2k(x1＋x2)＋2＝3k2－1.3k2＋7－3k2＋91例4：已知双曲线的中心在原点，焦点F,F在坐标轴上，离心率为2，且过点(4,_10)．12 (1)求双曲线方程； (2)若点M(3,m)在双曲线上，求证：MF.MF=0；12 (3)对于(2)中的点M，求编FMF的面积．24/13直线与双曲线位置关系 212122 122122∴编FMF的面积为6．2平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．质xp标准方程O)(p)范围对称轴顶点坐标焦点坐标(p)5/13直线与双曲线位置关系e＝1准线方程离心率22By3A.45C.474与它到抛物线C的焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()3315(2)由题知点A在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线物线的交点，故所求P点的坐标是(1,2)．[答案](1)C(2)B由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标6/1322AAFy2(x－1)．(1)1322.22.322程及几何性质x2y2例2：(1)(2012·山东高考)已知双曲线C1：a2－b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物831633333(2)(2012·四川高考)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点7/13直线与双曲线位置关系(p∴双曲线的渐近线方程为3x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点|0，2|到双2曲线的渐近线的距离为|3×0±|＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.2p2(2)依题意，设抛物线方程是y2＝2px(p>0)，则有2＋＝3，得p＝2，故抛物线方程2[答案](1)D(2)B[解析]设点A'是点A在准线上的射影，则|AA'|=3，由勾股定理知|MA'|=22，点A的y(1)若m≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．(2)若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行．2p(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝sin2θ(θ为AB的倾斜角)．p2p(3)S△AOB＝2sinθ(θ为AB的倾斜角)．直线与双曲线位置关系112＋为定值|AF||BF＋为定值(5)以AB为直径的圆与准线相切．y(1)求抛物线E的方程；证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．因为点B(43，12)在x2＝2py上，所以(43)2＝2p×12，解得p＝2.E的方程为x2＝4y.1142421111由|ly＝－1，18/139/13直线与双曲线位置关系x－4即(y＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)1|ly＋y1－2＝0，解得y1＝1.12(2)设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为当直线l的斜率不存在时，即x＝1不符合题意．|－k|13所以，1＋k2＝2，解得k＝±3.333(2)直线AB与抛物线相切，证明如下：y010/13把方程①代入y2＝4x得：y0y2－8x0y＋4x0y0＝0，所以直线AB与抛物线相切．基础练习：x2y2491．(2012·济南模拟)抛物线的焦点为椭圆＋＝149物线方程为()yxCxyD．y2＝－413xp)(p)pp20p＋36＝0，解得p＝2或18.11/13直线与双曲线位置关系则p的值为()11CD.24p解析：选A注意到抛物线y2＝2px的准线方程是x＝－2，曲线x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆．于是依题意有|＋3|＝4.又p＞0，因p2此有＋3＝4，解得p＝2.2是()66π66A.或44π44B.或33π33π22π3π所以sinθ＝2，所以θ＝4或4.BCBCxF由①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)12/13直线与双曲线位置关系y1－y24得kBC＝x1－x2＝yy1－y24x1＋x2＋1kmaax2y2