高中数学-优质课2.5.1平面几何中的向量应用教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计：引言：前面我们学习了向量的有关知识，一直讲向量是一有力的工具，这节课我们来学以致用，看看向量是如何给力的。(一)回顾双基，温故知新1.向量加（减）法的法则2.3.平面向量的基本定理（设计意图：接受知识的主体是学生，在已达的认知水平上接受新知，学习更有效。）(二）学生探索，激起兴趣教师：我们以前学过的很多定理，都可以用向量来证明，比如三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半）初中是用三角形相似证明的。我们已经学过向量了，能不能用一下新式武器。学生活动：观察到，问题顺利解决。（设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，引出学习目标，用向量来解决几何问题，并且让学生发现向量这一工具的巧妙，认清向量方法的优越性。）（三）合作探究、精讲点拨。活动一：由几何画板演示，长方形的对角线与两邻边之间的关系是什么？猜想平行四边形的对角线与邻边之间是否有类似的关系呢?教师线段长度可以转化成向量的模长的问题，而解决模长问题往往要求模长的平方。由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.活动二：证明结论。活动三：总结向量解决几何问题的三步曲。（设计意图：归纳猜想发现结论，找到解决问题的方向，培养学生合情推理的意识和能力。一系列的探究过程中，让学生建立起向量解决几何问题的三部曲，自主探究，发现规律。）例2如图,平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？教师：利用多媒体《几何画板》,作出上述图形,测量AR、RT、TC的长度,让学生发现AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点,动态观察发现,AR=RT=TC这个规律不变,因此猜想AR=RT=TC.学生活动:探究可以用哪些向量表示？是否可以转化为同一组不共线的相量来表示?教师：引领证明结论。（设计意图：几何画板的动态演示，培养学生的观察、发现、猜想能力,让学生能动态地发现图形中AR、RT、TC之间的相等关系,让学生体会现代技术在数学中的直观实用；的基底表示，让学生想到平面向量的基本定理，系数唯一确定，使数学上的待定系数法，方程的思想渗透于分析过程中。根据已有知识经验获得一般的结论，培养学生合情推理的意识和习惯）(四)反思小结，观点提炼问题8（1）通过本节课的学习你有什么收获，请从数学知识、思想方法，解决问题的经验等方面谈谈。（2）在本节课的学习过程中你有哪些疑问或者质疑？课后反思1.本节是对用向量方法研究平面几何方法的探究与归纳,设计的指导思想是:充分使用多媒体这个现代化手段,引导学生展开观察、归纳、猜想、论证等一系列思维活动.本节知识方法容量较大,思维含量较高,注重学生的已有知识经验的作用，并力求通过本课时的教学使得学生认识再上一个层次；注重设计与生成的有机结合。2.结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。3.由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现,特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题.因此在实际授课时注意引导学生关注向量知识、向量方法与本书的三角、后续内容的解析几何等知识的交汇,提高学生综合解决问题的能力.4.平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算.相比较而言,学生对向量的代数运算要容易接受一些,但对向量的几何运算往往感到比较困难,无从下手.向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算,向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等,它们在处理平面几何的有关问题时,往往有其独到之处,教师可让学有余力的学生课下继续探讨,以提高学生的思维发散能力.课标分析：该课时的内容是平面向量的几何应用，向量知识，向量观点在数学和物理等学科的很多分只有这广泛的应用，二她具有代数形式和几何形式的“双重身份”能容数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。所以。新教材在以前教材的基础上增加了平面向量的几何应用和物理应用，强调了向量的工具作用。该部分内容是在学生学习了直线和圆，学会了用代数方法解决几何问题，并且已经明确了平面向量的定义，定理，以及各种运算性质之后，运用平明向量的基本原理去解决几何问题。这也是本节要解决的问题。在解决这些问题的过程中，首先要对学生已有的知识进行再认识，提炼出解决问题的一般思想——转化的思想，总结出一般的解决方法。类比几何中的代数方法到向量方法，获得解决新问题的思路，对以后空间向量学习具有重要意义，这部分知识可以类比到选修2-1的空间向量中去，也为空间向量解决几何问题奠定基础。课程标准的要求是：经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题，力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题，物理问题等等工具，发张运算能力和解决实际问题的能力。因此在本课时学习过程中只能通过探究解决问题，升华，归纳规律的方式展开教学。据此确定本课时的教学重点是：通过对实际问题的分析和求解，学生体会平面向量是沟通代数与几何的一种重要工具，体会数学思想方法的应用，展示思路的形成过程，总结解题规律。灵活运用向量帮之我们解决几何问题。教材分析1．运用向量的有关知识（向量的加减法与向量的数量积的运算法则等）解决平面几何中的线的问题。（能解决练习中的问题。）2．通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法----向量法和坐标法，体会向量是一种处理几何问题，物理问题等等工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。在解决问题的过程中渗透化归的数学思想，培养学生通过化归解决问题的能力和意识，体验合情推理的方法和作用。（在解决后面的问题时能主动用化归思想。）3．通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用，认识向量的科学价值，应用价值，和文化价值，提高学习数学的兴趣，梳理学好数学的信心，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。（学生并不习惯于质疑，可以通过教师的质疑逐步引导，培养理性的精神。）学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，也是向量几何运算的重要载体。借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何问题中的应用。本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:则向量方法的流程图可以简单地表述为:这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.对以后空间向量学习具有重要意义，这部分知识可以类比到选修2-1的空间向量中去，也为空间向量解决几何问题奠定基础。但在运用向量知识解决几何问题的时候，需要一定的知识迁移，语言转换能力，将几何语言转换成向量语言，而高一学生的应用意识和应用能力比较弱，这些要求对学生的学习造成了一定的困难。在思维层面上，学生往往没有想到平面几何与向量之间会有联系，更不善于将几何问题转化为向量问题来解决。因此，在本节课的教学中，将教学重点放在向量的几何背景知识上，重在引导学生怎样将几何问题转化为向量的问题。因此确定本课时的教学难点是：让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,并体会向量在几何和现实生活中的意义,灵活的将几何等实际问题化归为向量问题.测评练习1．在△ABC中，若(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝0，则△ABC为()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．无法确定解析：∵(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\o(CA,\s\up6(→))2－eq\o(CB,\s\up6(→))2＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2－|eq\o(CB,\s\up6(→))|2＝0，∴|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|2.故|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|.△ABC为等腰三角形．答案：C2．已知，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．求证：AC⊥BD.证明：∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝0.∴eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，即AC⊥BD.3.如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于E，求BE∶EC.解：设eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2.a·b＝|a||b|cos60°＝1，eq\o(BD,\s\up6(→))＝a＋b.设eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＝λb，则eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝λb－a.由AE⊥BD，得eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，即(λb－a)·(a＋b)＝0.解得λ＝eq\f(2,5)，∴BE∶EC＝eq