2022-2023学年九年级数学上册《二次函数的应用：图形运动问题》重难点培优题

【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】

专题22.14二次函数的应用：图形运动问题（重难点培优）

【典例剖析】

【例1】（2021•北京・人大附中九年级期中）如图，RdABC中，ZC=90°,AC=6,8c=8,

动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P点沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，

。点沿边BC向8以每秒4个单位长度的速度运动，当P、。到达终点C、B时，运动停止，

设运动时间为，（s）.

（1）①当运动停止时，f的值为;

②设P、C之间的距离为y,则y与f满足关系（填”正比例函数”、”一次函数

或“二次函数”）；

（2）设4PC。的面积为S.

①求S的表达式（用含，的式子表示）；

②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？

A

CQB

【变式1】.（2021•广东・连南瑶族自治县教师发展中心九年级期中）如图，在矩形A8C。中，

AB—6cm,BC=12cm,点、P从点A开始沿AB边向点B以\cmls的速度移动，点Q从点B

开始沿BC边向点C以2c7Ms的速度移动.如果点P、。分别从点A、B同时出发.

（1）设经过f秒后，PB=_（用含/的代数式表示）.

（2）经过几秒，△尸8。的面积等于9c4?

（3）经过多少时间，五边形AP0CD的面积最小，最小值是多少？

【例2】.（2021•辽宁大连•八年级期中）如图，△ABC中，乙4cB=90。，AC=BC=4cm，

点。是AB的中点，点P从点A出发，沿边4C-CB以2cm/s的速度向终点8运动，连接

DP,以。P,02为邻边作@OPEB.设点尸的运动时间为t（s）,I2OPE8与A4BC重合部分面

积为SQ

（1）当点£在BC边上时，，的值是；

（2）请用含有r的式子表示面积S,并直接写出r的取值范围.

【变式2］（2021•吉林辽源•九年级期末）如图，在RdABC中，NC=90。,AC=BC,AB=

4cm,线段AB上一动点。，以lcm/s的速度从点A出发向终点B运动.过点。作。ELAB,

交折线AC—CB于点E,以DE为一边,在。E右侧作正方形OEFC.设运动时间为x（s）

（0<x<4）.正方形。EFG与△ABC重叠部分面积为y（cm2）.

备用图

（1）当》=s时，点F在BC上：

（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

【满分训练】

—■、单选题

1.（2022•浙江•诸暨市大唐镇初级中学九年级开学考试）如图1,等边4ABC中，点P为8c

边上的任意一点（不与点B、C重合），且/APO=60。，PD交AB于点D.设BP=x,BD

=y，如图2是y关于x的函数图象，则等边AABC的边长为（）

A.2B.2V3C.4D.3遮

2.（2022•辽宁本溪•三模）如图，在MBC中，N4BC=90。，NACB=30。，AB=2,BD是

AC边上的中线，将△BCQ沿射线CB方向以每秒百个单位长度的速度平移，平移后的三角

形记为A3/GD,设△囱。。/与AAB。重叠部分的面积为y,平移运动时间为x,当点。与

点8重合时，△B/GS停止运动，则下列图象能反映y与x之间函数关系的是（）

F

3.（2022•河南南阳•三模）如图，正方形ABCD的边长为5,动点P的运动路线为ZtB-C,

动点。的运动路线为点尸与Q以相同的均匀速度分别从A,8两点同时出发，当一

个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止.设点P运动的路程为x,△BPQ的面积

为y,则y随x变化的函数图象大致是（）

4.（2021•辽宁•盘锦市双台子区第一中学九年级期中）如图，正方形A8CO的边长为2cm,

点P，点。同时从点A出发，速度均为2cm/s,点P沿A-O-C向点C运动，点。沿A—8

一C向点C运动，则AAP。的面积S（cm2）与运动时间r（s）之间函数关系的大致图象是

5.（2022•辽宁锦州•中考真题）如图，四边形力BCD是边长为2cm的正方形，点E，点尸分别

为边4。，中点，点。为正方形的中心，连接OE,OF,点尸从点E出发沿E-。-•产运动，

同时点。从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为km/s，当点夕运动到点尸时，两点同

时停止运动，设运动时间为ts，连接BP,PQ,A8PQ的面积为Scm2,下列图像能正确反映出

S与f的函数关系的是（）

6.（2022•江苏•苏州高新区实验初级中学三模）如图，平面图形A3。由直角边长为1的等腰

直角AAO力和扇形800组成，点尸在线段AB上，PQLAB,且P。交AO或交朝于点。.设

AP=x（0<x<2）,图中阴影部分表示的平面图形APQ（或APQQ）的面积为>,则函数y

关于x的大致图象是（）

一点，连接。尸，将DP绕点P顺时针旋转90。得到线段EP,过B作EP平行线交DC延长

线于凡设BP长为x,四边形BFEP的面积为以下列图象能正确反映出y与x函数关系的

是（)

8.（2022・辽宁•中考真题）如图，在RtAABC中，乙4BC=90。,力B=2BC=4,动点尸从点

A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段4B匀速运动，当点P运动到点8时，停止运动，

过点尸作PQ14B交AC于点Q,将以APQ沿直线PQ折叠得到4A'PQ,设动点P的运动时间

为/秒，△?!?（?与AABC重叠部分的面积为S,则下列图象能大致反映S与1之间函数关系

的是（）

A.

D.

二、填空题

9.（2022・全国•九年级课时练习）如图，矩形4BCD中，48=5叩，BC=10皿，点「从点人出

发，沿2B边向点8以lcm/s的速度移动;点Q从点B出发，沿8c边向点C以2cm/s的速度移动.P,

Q同时出发，分别到B,C后停止移动，则△PQD的最小面积是cm2.

10.（2022・全国•九年级专题练习）如图1,正方形ABCQ中，点E为AB的中点，连接CE,

动点尸从A点出发，沿AB-BC-CO运动，同时，动点。从A点出发，沿向点。运动，

P,Q两点同时到达点。，设点尸的运动时间为x（s）,△APQ的面积为y（cn?）,则），关于

x的函数图象如图2,当△APQ与△C8E全等时，OP的长为cm.

11.（2022•全国•九年级课时练习）如图，在44BC中，48=90。，4B=8mm,BC=16mm,

动点P从点4开始沿边4B向B以lmm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC

向C以2mm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P,Q分别从A,B同时出发，那么经过

秒，四边形4PQC的面积最小.

12.（2022•辽宁营口・中考真题）如图1,在四边形力BCD中，BC||AD,Z.D=90°,ZA=45°,

动点P，。同时从点4出发，点P以四cm/s的速度沿4B向点B运动（运动到8点即停止），

点Q以2cm/s的速度沿折线A。一DC向终点C运动，设点。的运动时间为4S），△APQ的面

积为y（cm?），若y与x之间的函数关系的图像如图2所示，当x=*s）时，则

2

y=-cm,

图i图2

13.（2022・山东烟台・中考真题）如图1,ZiABC中，/A8C=60。，。是BC边上的一个动点

（不与点B,C重合），DE^AB,交AC于点E,EF^BC,交AB于点F.设8。的长为x,四

边形BDEF的面积为y,y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为

（2,3）,则AB的长为

14.（2021.四川成都.九年级期末）如图1,点E是等边△ABC的边BC上一点（不与点B,C

重合），连接AE,以AE为边向右作等边AAEF,连接CF.若AECF的面积（S）与BE的长

（%）之间的函数关系如图2所示（P为图象顶点），则等边AABC的边长AB=

AC=BC="，D

是A8上的一个动点，连接C£>,将△8CZ）绕点C顺时针旋转90。得到△ACE,连接。E,则

△AOE面积的最大值等于.

A

16.(2020.江苏•苏州市平江中学校九年级期中)如图一段抛物线y=/一3尤(0WxW3),

为G，它与x轴于点。和&：将G绕&旋转180。得到C2，交x轴于4；将绕&旋转180°得

到。3,交x轴于A，如此进行下去，若点P(2020,m)在某段抛物线上,则m的值为.

三、解答题

17.(2021•辽宁大连•九年级期中)在AABC中，ZC=120°,CB=AC,AB=2®D,E

两点同时从点A出发，以相同的速度分别沿折线A-C-B、射线4B运动，连接DE.当点

£＞到达点8时，D,E两点同时停止运动，设AE=x,A/lOE与A/IBC重叠部分面积为S.

(2)求S关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围.

18.(2020•山东•日照港中学九年级期中)己知:如图所示,在△ABC中，NB=90°,AB=10cm,

BC=14cm.点P从点A开始沿4B边向点B以lcm/s的速度移动，点。从点B开始沿BC边

向点C以2cm/s的速度移动，其中一个点停止移动时另一个点也停止.

o

A---->PB

（1）如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于10cm?

（2）如果P,。分别从A,3同时出发，那么几秒后，四边形APQC的面积最小？最小面积

是多少？

19.（2021•北京•九年级期中）如图，上△力BC中，ZC=90°,AC=6,BC=8.动点P,Q分

别从4