2022-2023学年江苏省南京市高二年级上册学期期末数学试题含答案

2022-2023学年江苏省南京市高二上学期期末数学试题

一、单选题

1.椭圆工+亡=1的短轴的长是（）

169

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】根据椭圆方程确定其焦点位置，再根据短轴长的定义确定其短轴长.

【详解】椭圆《+£=1的。=4,b=3,且焦点在X轴上，

169

所以椭圆的短轴长为4=6,

故选：C.

2.过抛物线/=4x的焦点作直线/交抛物线于4,B两点,若线段A8中点的横坐标为3,则恒.等

于（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】根据抛物线方程得它的准线为/：x=-l,从而得到线段A8中点M到准线的距离等于4.过

A、B分别作AC、3。与/垂直，垂足分别为C、。，根据梯形中位线定理算出|4C|+IBD|=2|仞V|=8,

结合抛物线的定义即可算出AB的长.

【详解】解：抛物线方程为＞2=4x,.•.抛物线的焦点为尸（1,。），准线为/:x=-l

设线段A3的中点为M（3,%）,则航到准线的距离为：|MV|=3-（-l）=4,

过A、8分别作AC、与/垂直，垂足分别为C、D,

根据梯形中位线定理，可得|4C|+|B0=2|仞V|=8,

再由抛物线的定义知：|AF|=|AC|,I8FHBDI,

.」A8|=|AF|+|BFHAC|+|BD|=8.

故选：D.

111cc

3.已知等比数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃，若7+丁+7=2,出=2,则邑=()

A.8B.7C.6D.4

【答案】A

【分析】结合等比数列性质化简已知条件，由此可求邑.

【详解】已知｛《,｝为等比数列，，4“3=42，且%=2,

1114+41工-

所以一+—+—=」~-+—=-一1=乎=2,则3=8.

4a2a3ata3a-,a24

故选：A.

4.若曲线y=a(x-l)-lnx在x=2处的切线垂直于直线y=-2x+2,则〃=()

A.2B.1C.4D.3

【答案】B

【分析】求导，利用导函数的几何意义得到切线斜率，根据两直线垂直得到斜率乘积为-1,列出方

程，求出〃的值.

【详解】/'(x)="J/'(2)=«-1,

由题意得：=解得：“=1

故选：B

5.我国古代数学著作《张丘建算经》记载如下问题：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱,

次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？”意思是：

“某人赠与若干人钱，第一人赠与3钱，第二人赠与4钱，第三人赠与5钱，继续依次递增1钱赠与

其他人，若将所赠钱数加起来再平均分配，则每人得100钱，问一共赠钱给多少人？”在上述问题中,

获得赠与的人数为()

A.191B.193C.195D.197

【答案】C

【分析】利用等差数列前”项和公式求解.

【详解】设有〃人，第〃人赠与钱数为凡,仅“｝是等差数列，4=3,公差d=i,

则5,,=3〃+皿二^=100〃，”=195,

2

故选：C.

【答案】A

【分析】令g(x)=/sinx+J,易知g(x)是奇函数，则〃x)的图象关于点对称，排除部分

选项，然后再利用特殊值法确定.

【详解】因为g(-x)=x2sin(-x)+^j=-(x2sinx+g)=—g(x),

所以g(x)是奇函数，

所以“x)=g(x)-5的图象关于点(0,一5对称，排除B、C两个选项,

又/'(万)=0,当xe(0,;r)时，x2sinx>0,—>—,

X71

所以/(x)>0,排除D.

故选：A

【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了理解辨析，转化求解问题的能力，属于中档题.

7.若双曲线£-《=1（。>0乃>0）的一条渐近线被圆0+3）2+丁=4所截得的弦长为2,过右焦点且

a'b'

垂直于x轴的直线与双曲线交于A,8两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8,则

双曲线的方程为（）

【答案】C

【分析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为云-欧=0,根据被圆。+3尸+丁=4所截得的弦长为2,

利用弦长公式求得db的关系，再根据A,8到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8,由右焦点

到渐近线的距离为A,8到双曲线的同一条渐近线的距离的中位线求解.

【详解】不妨设双曲线5-，=1（。>08>0）的一条渐近线方程为法-@=0,

,、一13b3b

圆（x+3）2+V=4的圆心到渐近线的距离为d=下+1=y

因为被圆*+3）2+/=4所截得的弦长为2,

所以（，J+1=4,即3/=。2,即2〃=/

右焦点到渐近线的距离"=^=7=b,

因为A,B到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8,

且右焦点到渐近线的距离为A,2到双曲线的同一条渐近线的距离的中位线，

所以b=4,则/=32,

所以双曲线的方程为片-亡=1,

3216

故选：C

8.己知&=2」如，b=L24i,c=2.r°2,则a，b,c的大小关系为（）

A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】B

【分析】由于°=2.1《2=4.41如，进而结合幕函数y=在（0,+e）上单调递减比较大小即可.

【详解】解：C=2.1F2=［（2.1）1'°，=4.41如，

因为幕函数丫=》皿在（0,转）上单调递减，1.2<2.1<4.41,

所以1.2-0,1>2.产>4.41如，即匕>a>c.

故选：B

二、多选题

9.设函数丫=〃力在??上可导，其导函数为y=/'(x),且函数y=(l-x)/'(x)的图象如图所示，则

下列结论中一定成立的是()

A.函数y=/(x)在(YO,-2)上递减，在(2,+8)上递减

B.函数y=/(x)在(―,-2)上递增，在(2,y)上递增

C.函数y="X)有极大值”2)和极小值/(-2)

D.函数y=/(x)有极大值/(-2)和极小值/(2)

【答案】BD

【分析】结合函数图象，对x分区间讨论/(X)与0大小关系，从而推导出f(x)在区间上的单调性即

可；

【详解】解：由图可知：当x<—2时y>0,l-x>0n/'(x)>0,故/(x)在(-8,-2)上单调递增；

当一2a<1时y<0,I-x>0nr(x)<0,故/(X)在(-2,1)上单调递减；

当1<X<2时y>0,l-xv0=>r(x)<0,故f(x)在(1,2)上单调递减；

当x>2时"0,l-x<0=>/'(x)>0,故/*)在(2,+8)上单调递增；

故函数在x=-2时取得极大值，在x=2时取得极小值，

即函数y=/(x)有极大值〃-2)和极小值〃2)；

故选：BD.

10.等差数列｛%｝中，前”项和为S“，^S12<5I3,5I3>S)4,则下列命题中真命题的是()

A.公差d<0

B.九<S\2

C.小是各项中最大的项

D.力是S”中最大的值

【答案】ABD

【分析】由几<九，儿>几得：«13>0,«14<0,进而结合等差数列的性质逐个判断即可

【详解】因岳2<$3，耳3>514,所以43>0，卬4<0，

所以公差”<0成立，所以A正确，

因为公差”<0,所以等差数列｛/｝为递减数列，所以各项中4是最大的项，C错误，

因为SI5-SI2="15+”14+”13=3。[4<0,所以S[5<S|2，B成乂.

,、f5,.>S,...fa,..,<0

设等差数列｛4｝的前％项的和最大，则js>s，故1a]0，

又等差数列｛a,,｝为递减数列，且％,>0，卬<0，

所以％=13,即以是」中最大的值,D正确.

故选：ABD.

11.下列命题中是真命题有()

A.若/'(%)=0,则一是函数〃x)的极值点

B.函数y=〃x)的切线与函数可以有两个公共点

C.函数y=/(x)在x=l处的切线方程为2x-y=o,则当—0时，./⑴二/(1+-)=1

2Ar

D.若函数y=〃x)的导数r(x)<l,且/⑴=2,则不等式〃x)>x+l的解集是(y,l)

【答案】BD

【分析】利用极值点的定义，举例判断A；举例判断B；利用导数的极限定义判断C;构造函数，利

用单调性解不等式.

【详解】A：例如/(x)=V在x=0处导数/'(。)=0,但当x<0B寸，函数f(x)单调递增，当x>0时,

函数“X)也单调递增，故0不是函数/(x)的极值点，故A选项错误；

B：例如〃x)=sinx,xe[0,3句，在点(]』)的切线y=1与〃x)有两个交点，故正确；

C：根据导数的定义可知Ax70,尸(1)=/』+例二/⑴=2,即-0,/⑴二/1少)=_l,

v7Ztv2Ax

故错误；

D：令g(x)=/(x)-x-l,则有g，(x)=,/"(x)-l<。，g(l)=/(l)-l-l=0,故g(x)>0的解集是

（e,l）,故〃x）>x+l的解集是（7,1）,正确：

故选：BD.

22

12.已知｛%｝是公比为q的等比数列，且q=l,曲线C“：三+工=1,〃eN*.（）

an4+1

A.若4>。且4#1,则C“是椭圆

B.若存在〃wN\使得C.表示离心率为3的椭圆，则4

C.若存在〃GN*,使得C,表示渐近线方程为x±2y=0的双曲线，则4=-:

D.若4=一2,或表示双曲线C,,的实轴长，则4+d+…+%=6138

【答案】ACD

【分析】由等比数列的定义判断项的正负，并结合椭圆、双曲线的方程及其几何性质，逐项判定,

即可求解.

【详解】因为g>。且4",所以为>0,且%,尸为，所以C“表示椭圆，所以A正确.

当C.表示椭圆时，显然4>0且qwl,若4>1,贝,令

14

=；,解得4=^;

若0<q<l,则0=归^十誓=历，令g=；，解得4=5，所以故B错误.

若C“表示双曲线.显然4<0,故双曲线C.的一条渐近线方程为），=，父=日孙

令日=；,解得4=-；，所以C正确.

若q=-2,当"为偶数时，〃“<0,«„+1>0,双曲线C”的焦点在》轴上，则4=2向;；当〃为奇数

时，«„>0,a„+l<0,双曲线C”的焦点在x轴上，则方,,=2版，

所以力।+H+•,•+%=2(8+>/^+・-+7^)+2(7^+7^+…+\[^i)=4(®++…+-2+2y/^

1_6。

=4x---------2+2xlx210=3x2,,-6=6138,所以D正确.

1-2

【点睛】方法点睛：解决本题的关键有两个：（1）能根据公比q的取值情况判断。向，％的正负；（2）

能根据椭圆、双曲线的方程和几何性质建立。，用，,的数量关系.

三、填空题

13.写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴

上;③离心率为"

【答案】[+(=1(答案不唯一)

【分析】根据题干要求得到椭圆方程，要满足8〃2=沥2,答案不唯一

【详解】只要椭圆方程形如二+上=1(相>0)或£+三=1(〃?>0)即可.

9m8/n9m8"7

故答案为:卷+.”(答案不唯一)

14.现有一根长为81米的圆柱形铁棒，第1天截取铁棒长度的g,从第2天开始每天截取前一天剩

下长度的;，则第5天截取的长度是米.

【答案】y

【分析】设第"天截取铁棒的长度与原铁棒长度的比值为%,由等比数列计算为，进而可求解出答

【详解】设第〃天截取铁棒的长度与原铁棒长度的比值为劣，

由题意，数列｛4｝是首项为:，公比为目的等比数列，

J。

/、4,,

则%¥故第5天截取的长度是竽x81若米.

故答案为：

15.已知函数/(x)=+柩+(。-6)/在(；,+co)上是增函数，则实数。的取值范围是—.

【答案】[e-29+8)

【分析】由题意得到r(x)=x+1+a-e..0(x>3恒成立，利用分离参数法和基本不等式即可求出。的

取值范围.

【详解】解：=心+(a-e)x在(g,+8)上是增函数，

fXx)=x+—+a-e..0(x>―),

x2

•.•一。+6,（X+—）min，

X

由基本不等式得：X+-..2（当且仅当x=,，即x=l时取“=”），

XX

•e•（X+—）min=2，

X

一〃+g,2,角军得a..e-2,

故答案为：丘-2,+孙

16.如图，抛物线此丁=4元的焦点为尸，点时与尸关于坐标原点。对称，过产的直线与抛物线交

于A8两点，使得A3_L8M,又A点在x轴上的投影为C,则+\AC]-\BF\-\BC]=

【答案】4

【分析】由题意结合抛物线的性质和点的坐标分别求得|AF|-|5F|的值和的值即可确定

gq-忸尸卜忸q的值.

【详解】设Aa，x）,B（孙力），

对于一般的抛物线方程丁=2px和过焦点的直线方程X=如+勺

22

联立直线方程与抛物线方程有：y-2pmy-p=0,则x%=-p2,林=再手=。，

2〃2〃4

据此可得本题中与々=1，又得8在以何尸为直径的圆上，

得1-X2?=必2=4*2,

又|4/|一|8尸|=1+X]-(1+%,)=%1-~—=^2-=4,

由1-々~=4%,可得：x2=>/5—2（负值舍去），

则%=:=有+2,从而可得：A（石+2,216+2卜8脂一2,一2,6一2卜

注意到C（石+2,0）,据此可得：,。2_网「=4（6+2卜卜2+4（6-2）］=0,

则照_|明=0,

故|"|+Mq-忸尸卜忸C|=4

【点睛】本题主要考查抛物线的性质，抛物线定义的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算

求解能力.

四、解答题

17.在等差数列数,｝中,已知％=12,阳=36.

（I）求数列｛%｝的通项公式4;

（2）若—,求数列也,｝的前“项和S”.

4

在①2=-----，②"=（-1）、％,③"=2%吗这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求

℃+i

解.

【答案】（1）a„=2n,n&N*.（2）答案见解析.

【分析】（1）设等差数列｛%｝的公差为d,然后根据条件建立方程组求解即可；

（2）若选条件①，用裂项相消法求解，若选条件②，用分组求和法求解，若选条件③，用错位相减

法求解.

【详解】（1）由题意，设等差数列①,J的公差为d,则

4+5d=124=2

q+皿=36'解得

d=2

:.an=2+(n-l)x2=2/i,ZIGN*.

(2)方案一：选条件①

441

由(1)知‘L不二;=菰诉=而石'

s“=4+&+・・・+d

ii1

=------1----------F•••H------------

1x22x3〃(〃+l)

11111

=1----1----------F...H-------------

223nn+1

=1———

n+1

n

-n+T-

方案二：选条件②

由(1)知，2=(-1)".4=(-1)".2",

Sn=b、+b,+...+bn=—2+4—6+8—...+(—1)"*2/2,

⑴当〃为偶数时，

5.=仄+瓦+…+b”

=-2+4-6+8-…+(-1)"・2〃，

=(-2+4)+(-6+8)+...+[-25—1)+2川

=2+2+...+2

=42

2

="，

⑺当〃为奇数时，n-l为偶数，

s”=4+4+・・•+〃

=—2+4—6+81)"9

=(-2+4)+(-6+8)+...+[—2(〃-2)+25—1)]一2〃

=2+2+...+2—2〃

72_1__

=-----x2—2n

2

=—n—1,

,=[〃,〃为偶数，

为奇数「

方案三：选条件③

由(1)知,6"=2"”"=22”・2”=2M",

=4+4+…+6“=2x4'+4x4°+6x4,+…+2〃x4”,

4S„=2x42+4x4,+...+2(n-l)x4"+2nx4"tl,

两式相减，可得

-3S„=2x4'+2x42+2x43+...+2x4n-2/?x4n+,

=8x(l+4'+4?+…+4"7)-2〃x4"i

l-4,r

=8X=--2〃X4”M

1-4

=2(1—3〃).什8

33,

.<_2(3〃-1).,t+i8

”=~9~9"

【点睛】本题考查的是等差数列的基本运算和数列求和的方法，考查了学生对基础知识的掌握情况,

较简单.

18.已知函数/(x)=/-3x.

(1)求曲线/(x)在x=0处的切线方程；

(2)求函数“X)的单调区间与极值.

【答案】⑴y=-3x；⑵增区间(1,+00),减区间(—1,1),函数y=〃x)的极大值为2,

极小值为-2.

【解析】(1)求出“0)和尸(0)的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

(2)求出函数y=/(x)的极值点，列表分析函数y=/(x)的单调性以及导数符号的变化，即可得出

函数y=/(X)的单调区间和极值.

【详解】(1)/(x)=d—3x,••J'(X)=3X2-3,则y(O)=O,r(0)=-3.

因此，曲线y=/(x)在X=()处的切线方程为y=-3x；

(2)令_/'(耳=3/-3=0,得*=±1,列表如下：

X-1(-M)10，+8)

/'(X)+0-0+

*

“X)极大值■极小值

所以，函数y=/(x)的增区间为(ro,T),(1，+°°),减区间(T,l),

极大值为"-1)=2,极小值为/(I)=-2.

【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的单调区间和极值,

考查计算能力，属于基础题.

19.如图，圆〃：(x-2)，丫2=1,点p(Tj)为直线/：x=_i上一动点，过点尸引圆〃的两条切线,

切点分别为A,8.

(1)若f=T,求切线所在直线方程;

(2)求|A3|的最小值.

【答案］(l)y=T或31y7=0

⑵或

3

【分析】(1)假设切线方程，由圆心到直线距离等于半径可构造方程求得斜率，由此可得切线方程;

(2)设NMB4=NM4N=，，可得|45|=2cos。，结合sin”向4g可求得|A臼最小值.

【详解】(1)由题意知：切线的斜率存在，可设切线方程为y+l=Mx+l),即依-y+A-l=0,

由圆的方程知：圆心为(2,0),半径/•=1,

则圆心M到切线的距离d=岩工=1,解得：£=0或&==,

42+14

所求切线方程为：y=-l或3x—4y—1=0.

(2)连接交于点N,

设NMA4=NM4N=9,则|明=2|AM|cos9=2cos夕，

八\AM\1

在RtZ^MAP中，疝。=阿=画，

Q|PM|N3,.-.(sin^U..-.(cos^)而“=R考,而.=^f.

20.已知数列｛4｝的各项均为正数，前"项和为'，4=1,anall+l=2S„+l.

(1)求数列｛%｝的项句i；

(2)求数列｛为｝的前2〃项和S2〃.

2

【答案】(1)a2„,,=2n-l(2)S2a=2n+2n

【分析】(1)由递推关系式确定数列的特征，然后结合等差数列通项公式可得数列｛仆｝的项%I；

(2)结合题意和(1)的结论首先确定数列的通项公式，然后分组求和即可确定数列的前2“项和52.

【详解】(1)由44+i=25,+1得，4“I4+2=2s,川+1,

两式相减得an+l(a„+2-a„)=2an+l,因为数列｛«„｝为正项数列，

所以4+2-%=2,又q=l,

故数列｛生i｝是以4=1为首项，公差为2的等差数列，

所以%-=1+(/?-1)X2=2M-1.

(2)由(1)知，an+2-an=2,由4=1及“⑼川=2S“+1得%=3

故数列｛%“｝是以%=3为首项，公差为2的等差数列，

所以%,=3+("-l)x2=2"+l-

a

所以S?”=。|+%+。3++2n-\+

（1+2n-l）xn（3+2〃+l）x〃

=2n2+2n.

~22~

【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，等差数列前〃项和公式及其应用等知识，意在考查学

生的转化能力和计算求解能力.

22

21.已知椭圆C:三+与=1（"＞人＞0）,右焦点尸的坐标为（2,0）,且点（2,&）在椭圆C上.

a'b

（1）求椭圆C的方程及离心率；

（2）过点F的直线交椭圆于AB两点（直线不与x轴垂直），已知点A与点P关于x轴对称，证明:

直线P8恒过定点，并求出此定点坐标.

【答案】（1）—+^=1,正（2）答案见解析.

842

【分析】（1）由题意得到关于〃力,c的方程组，求解方程组确定。力,c的值即可确定椭圆方程和椭圆

的离心率;

⑵设P（X］，X），3（马,必），4（七,一%）,联立直线方程与椭圆方程，由题意可得=结合韦达

定理和直线斜率的定义得到，"与女的关系，代入直线PB的方程即可证得直线过定点.

42,

~2--2=12

【详解】（1）由已知得｛.=£+。2，解得｛il：，

c=2

22

椭圆C的标准方程3=1,

84

•••椭圆C的离心率6，=/==变.

a2V22

（2）设P（XQJ,B（x2,y2）,则A（%,-y）,

可设PB的直线方程为y=kx+m,

y=kx+m

联立方程｛JV,，整理得（2/+1卜2+45a+2加-8=0,

---1----1