2022-2023学年广东省清远市高二年级上册学期期末数学试题含答案

2022-2023学年广东省清远市高二上学期期末数学试题

一、单选题

1.已知数多」1，一夜，6，-2,6，…，则该数列的第200项为（）

A.10&B.-10&C.-106D.106

【答案】B

【分析】根据所给数列归纳通项公式为""=（7）”"^,从而得解.

【详解】由题可得该数列的通项公式为凡

所以，。。=（-1严廊=T0枝.

故选：B.

2.已知等轴双曲线C的焦距为12,则。的实轴长为（）

A.3及B.6&C.12^2D.6

【答案】B

【分析】根据双曲线的焦距得到c=6,根据双曲线为等轴双曲线得到a=6,然后利用力+从=，2列

方程得到。=3丘,即可得到实轴长.

【详解】因为2c=12,所以c=6.因为a=b,所以2a2=c;2=36,所以a=30,故实轴长为6五.

故选：B.

■.2上

3.已知椭圆C：机+机+6=1的离心率为2,则C的长轴长为（）

A.8aB.4&C.2及D.4

【答案】B

【分析】直接利用椭圆的标准方程性质和离心率的定义即可求解.

Xm+6-m73

【详解】依题意，因为椭圆C的离心率为2,所以标而=2,得加=2,

故长轴长为2而^=4血.

故选：B.

4.已知数列｛4｝满足"

其前〃项和为E，，贝!!$2022=()

_72_］_1_6

A.2B.2C.2D.0

【答案】D

【分析】求出数列的周期，从而利用周期进行求和.

an=sinf2%兀+型］

［详解］当〃=4%+l，％eN时，(4)2,

.7141

=sin2E+TC+工=-sin-=----

当几=44+2,A£N时，”I442

.(3兀7T兀

a=sinI2Ar7i+—+—=­cos-V2=----

当〃=4k+3,左£N时n42

.兀41

an=sinI2E+2兀+:=sin—=—

当〃=44+4,左cN时,42

所以｛“"｝是周期为4的周期数列，且$4=0,所以反叱=5055,+《+4=0.

故选：D

5.在三棱锥P-/8C中，〃是平面48c上一点，且5而=f万+2而+3砒，则片()

A.1B.2C.3D.-2

【答案】C

【分析】根据四点共面的性质进行求解即可.

【详解】因为5而=f苏+2而+3流=£莎+2而+3(PC-PM),

t—-1—-3.,-

—.————-一-PA-PB-PC

所以8PM=刃+2尸8+3PC,即PM=8+4+8.

£13

因为M是平面48c上一点，所以§+工+@=1,所以片3.

故选：C

邑=_1显=

6.已知等比数列｛刖｝的前〃项和为S〃，若$67,则$6()

4341

A.7B.43C.亍D.41

【答案】A

【分析】利用等比数列性质邑62.-S.，S3“-52.成等比数列即可求解

【详解】设M=x,则$6=7"

因为｛“"｝为等比数列，

所以号，S「S"s«-$6仍成等比数列.

-6-S3=7x_x=6

因为S3x,所以Sg—S6=36x,

员=上

所以I=43x,故$67.

故选：A.

7.若过点尸(2,4)且斜率为左的直线/与曲线V=有且只有一个交点，则实数上的值不可能

是()

344

A.4B.5c.3D.2

【答案】B

【分析】根据半圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解，然后根据图象即可求解

曲线即/+/=4&20)表示以。为圆心，2为半径的上半圆，

1一2左+4|3

-1k=—

因为直线L丫=山-2)+4即日-y-2%+4=0与半圆相切，所以收+T=2,解得一心

4-0

因为P(2,4),AG20)所以3-2一(-2)一：

又直线/与曲线y=j4-r有且只有一个交点，所以"，或一兄，

(L+8)U［；］

所以实数无的取值范围是MJ

故选：B

8.已知数列｛劭｝的前〃项和为S，，，6=2且满足5田=25"+2”,若存在实数人使不等式

血,4(〃-19)S”对任意〃€N*恒成立，则2的最大值为()

6870

A.-24B.-18C.-3D.-3

【答案】A

【分析】先通过递推公式S"+I=2S,,+2向求出S”的通项公式，再通过。“与S,的关系求出的通项

公式，代入不等式T9)S"即可表达出力关于〃的表达式，再利用作差法即可求出4的最大

值.

+is“=]

【详解】因为S"+I=2S,,+2"",所以广一下一.因为％=2,

盘

所以｛2"｝是首项为1,公差为1的等差数列，

所以5r=",所以S"="・2",

所以a-g也满足)

因为枇4(〃-I9)S“，所以彳(〃+1>2，14(〃-19>〃2,

即〃+1.令'/H+1,

2(〃+1)(〃-18)2〃(〃-19)

/("+1)-/(〃)=〃+2n+\

2(川+3〃-182(〃-3)(,+6)

=(〃+1)(〃+2)=(〃+1)(〃+2),

所以/⑴>/(2)>/(3)=/(4)</(5)〈..，

所以=/(3)=〃4)=一24,

故力的最大值为-24.

故选：A.

二、多选题

9.已知｛劭｝为等差数列，。/+的+。5=66,。2+。4+即=57,则()

A.｛〃〃｝的公差为.2B.｛〃〃｝的通项公式为前=31-3〃

59〃-3〃2

C.｛助｝的前〃项和为2D.｛|“川｝的前50项和为2575

【答案】BC

【分析】根据等差中项的性质得到%=22,4=19,然后求公差，即可判断A选项；根据%=22,

d=-3得到4=28,然后求通项即可判断B选项；利用等差数列求和公式得到S”即可判断C选项;

根据""=31-3“得至熠“>1°时，«„<0；即可得到Ml｝的前50项和为-Ss°+2S”>,然后代入求和

即可判断D选项.

［详解］设｛""｝的公差为a,前“项和为S",因为4+%+6=3%=66,%+为+&=3%=57,

所以处=22,4=19,所以“=_3,故人错.

因为％=%-2d=28,所以％=28-3（〃-1）=31-3〃,故B正确,

5_（28+31-3n）n_59«-3n2

'~~—2一,故C正确，

3X502-59X50590-3X102

%<0，所以M」｝的前50项和为一‘°+10-2+X厂=2565

当”>10时、

故D错.

故选：BC.

10.已知直线4：3+37一5=0与直线/2：5x+（加-2）尸5=0,则下列选项正确的是（）

3

A.若I,则4

B.若〃〃2,贝1］m=-3

C.4被圆/+F=9截得的弦长的最小值为4后

D.若圆x2+V=4上有四个点到4的距离为］,则机e（-4,4）

【答案】BC

/«=—3

【分析】A选项，由直线垂直列出方程，求出4；B选项，由直线平行列出方程，求出加的值;

C选项，求出直线12过定点"（L°）,确定当直线12与4°垂直时，截得的弦长最短，求出最小值；

D选项，数形结合得到圆心°（°'°）到4的距离小于1,列出不等式，求出“，的取值范围.

_3

【详解】若4U,则5加+3（，〃-2）=0,解得"七，故A不正确；

若〃〃2,则"?(加-2)-15=0,解得机=-3或加=5.

当加=5时，/A重合，当机=-3时，符合题意，故B正确.

因为直线‘2过定点"°，°),犬+「=9的圆心为。(0,0),|/。|=1,

当直线12与垂直时，即当机=2时，〃"=1被圆/+/=9截得的弦长最短，最小值为

2xJ32T2=4色故C正确.

因为圆V+V=4的圆心°(。,0),半径为2,

/+『=4上有四个点到4的距离为1,所以圆心°(°，°)到4的距离小于1,

|-5|

I-<1

由J/+9,解得机>4或用<-4,故D不正确.

故选：BC

ZABC=-

11.如图，在四棱锥尸-18CD中，尸4,平面N8CD,AB//CD,2,

AR=PA=_cr>=7

2,BC=4,M为尸。的中点，则()

A.BM1PC

V30

B.异面直线8M与/。所成角的余弦值为丁

巨

C.直线BM与平面P8C所成角的正弦值为7

D.点加到直线8c的距离为所

【答案】ACD

【分析】建立空间直角坐标系，根据题意求出点的坐标，利用空间向量的方法逐项分析即可求解.

【详解】过A作"E'CO,垂足为E,则。£=2,以A为坐标原点，分别以ZE,AB,ZP所在

直线为x,九z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则8(020),C(4,2,0),0(4,-2,0),

产(0,0,2),则两=(2,-3,1),PC=(4,2,-2)；团=(4,0,0),而=(0,-2,2),

仞=（4,一2,0）

[p

因为8M•PC=2x4+(-3)x2+lx(-2)=0,故选项A正确;

BM»AD2x4+(-3)x(-2)+l>0屈

cos<BM,AD>=

|诙||囹714x275-10

因为

V70

所以直线与4。所成角的余弦值为记，故选项B错误;

设平面P8C的法向量为机=（x,%z）,

mBC=4x=0

«

则[而BP=_2y+2z=0,令y=l,得而=(0,1,1)

।___.一।BM•机=昱

sina=cos<BM,m>\=一,1

设直线BM与平面P8C所成角为a,则BM\\m一7

V7

所以直线8M与平面P8C所成角的正弦值为7,故选项C正确;

设点M到直线8c的距离为d,则

即点"到直线8c的距离为Ji6,故选项D正确,

故选：ACD.

12.如图，圆锥尸。的轴截面PZ8为直角三角形，E是其母线尸8的中点.若平面a过点E,且

P8_L平面a,则平面a与圆锥侧面的交线CED是以E为顶点的抛物线的一部分，设此抛物线的焦

点为F,且b=3.记OD的中点为M,点N在曲线CEZ）上，则（）

A,圆锥尸。的母线长为4

B.圆锥底面半径为2及

C.建立适当坐标系，该抛物线的方程可能为产=6x

D.|MN|+|N/|的最小值为3

【答案】ABD

【分析】设圆锥P0的母线4=2.,根据圆锥的轴截面为直角三角形得到底面半径为血〃，然后以

E为原点，E0所在直线为x轴建立平面直角坐标系，得到C（〃，-亚“），然后利用抛物线的定义

和点C在抛物线上列方程得到a=p=2,即可判断ABC选项；根据几何知识得到当MN平行于x轴

时，|MN|+|A户|取得最小值，然后得到最小值即可判断D选项.

【详解】设圆锥尸。的母线尸/=2a,则底面半径为

以E为原点，E0所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则C（〃，-&q），设抛物线的

方程为俨=2.（p>0）,

£

因为2=3,2屋=22〃，所以a=p=2,所以圆锥尸。的母线长为4,底面半径为2近，故

A,B正确.

因为该抛物线的方程为V=4x,M（2,a）,且|NF|=xN+l,所以也火|+|加|=|九0|+3+1.当MN

平行于x轴时，|"N|+|N/|取得最小值，最小值为xM+l=3,故C不正确，D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13.已知平面。内一点尸（9型），点。（666）在平面口外，若。的一个法向量为〃=（2,1,1）,则0

到平面a的距离为.

巫［瓜

【答案】6##6

【分析】求出°°=（一3，-2，1）,得到点到平面的距离公式求出答案.

【详解】因为P°=(T-2,1),

\PQ-n\|(-3,-2,1).(2,1,1^77V6

所以。到平面a的距离为H,4+1+1一n-6

776

故答案为：W

14.已知两圆G：(x_2f+(y_6)2=9与。2：/+/+2》_仙_3加=0外离，则整数机的取值是

【答案】-1

【分析】分别求出两圆的圆心和半径，根据两圆外离可知圆心距大于两半径之和，即可解出加的取

值范围，再取整数即可得到结果.

【详解】因为圆G的圆心为(2母)，半径6=3

_5

圆的标准方程为C2：(x+l>+(y_2)2=5+3〃7,所以5+3〃i>0,Bp，M>-3.

圆G的圆心为(T，2),半径々=>+3加

两圆圆心的距离为J(2+lf+(6_2)2=5,

1

由两圆外离可得4+々<5,即3+j5+3m<5,解得3

51

——<m<——

所以33,

故整数m的取值为T.

故答案为：-1

15.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的

球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠'’的表面上有四个点

P,A,B,C,满足尸工=2,平面/8C,ACJ.BC,若三棱锥尸-48C的体积为2,则制作该

“鞠”的外包皮革面积的最小值为

【答案】167r

【分析】%的=2,所以4CCB=6,由基本不等式和勾股定理可求得球体半径的最小值，再求

最小表面积.

OD=-PA=\

【详解】如图所示，取45的中点。，过D作0D//P4,且2

因为尸平面N8C,所以平面Z8C.

因为4c_ZBC,所以。4=。8=。。，所以04=04=OC=。尸,

所以。是三棱锥P-/8C外接球的球心，0A为球的半径.

V,=-x-AC-CBPA=2

因为pBnCc32,所以/CC8=6.

2

R=OA=OD+\^AB2

因为/公=ZC2+8C222/C-8C=12,所以球的半径

当且仅当"C=BC="时，等号成立，此时43=26,所以《血=2,故所求表面积的最小值为

4nR~=16兀

四、双空题

16.一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，往前跳两格，若反面朝上,

往前跳一格.记跳到第"格可能有""种情况，若％=1,{%}的前"项和为S，

则

“8=,1=.

【答案】34231

【分析】由题意得出递推公式%，2=见+4川，逐个代入依次求解出4至《。，即可得出4,S>0.

【详解】根据题意，跳到第〃+2格有两种可能，一种是从第"+1格跳过来，有“向种方式，

另一种是从第〃格跳过来，有“"种方式，所以《，+2=4,+。1.因为q=L4=2,

所以%=3,%=5,as=8,4=13,%=21,。8=34,%=55,4°=89,S10=231

故答案为:34：231

五、解答题

17.设等差数列｛""｝的前”项和为S"，且$6=2s4,a2ll=2an-l_

（1）求｛“"｝的通项公式.

b“=-7,

（2）令”（2〃-l）V,数列也｝的前〃项和为*证明：B<8.

【答案】⑴"”=2〃+1

（2）证明见解析

【分析】（1）由等差数列通项公式和求和公式列出方程组，求出首项和公差，得到通项公式;

1

&„=1［__L__

（2）化简得到（2〃+1）］,裂项相消法求和，证明出结论.

【详解】（1）设等差数列｛%｝的公差为d,

6q+15d=2（4%+6d）

解得%=3,d=2,因此a,=3+2（〃T）=2〃+l；

（2）证明：因为例=2〃+l,

fnif11

b---------------=-------------------

所以"（2〃-1）2（2〃+1）24（2«-02（2〃+1）［,

T1111111111

所以”8［323252(2n-l)2(2«+1)2］88(2/7+1)28

18.已知的顶点分别为/(-1,7),8(~4,-2),C(3,-1).

(1)求“8C外接圆的方程；

(2)设P是直线/：4X-3、-25=°上一动点，过点「作”8c外接圆的一条切线，切点为0,求

俨5最小值及点P的坐标.

［答案］⑴'+y-+2x-4y-20=0

⑵同LA何「停一2

【分析】(1)设出圆的一般方程将4民。三点坐标代入，利用待定系数法即可求得“8C外接圆的

方程；(2)根据切线长公式可知，当尸与圆心之间的距离最小时，切线长俨9最小，根据点到直

线距离公式和两直线垂直关系即可求得最小值及点P的坐标.

【详解】(1)设“8C外接圆的方程为一+/+b+切+尸=0,

'50-Z)+7E+F=0

■20-4D-2E+尸=0

将48,C分别代入圆方程可得［10+3O-E+尸=0,解得£)=2,E=~4,F=-20,

所以ZU8C外接圆的方程为厂+»+21—0=0

(2)"BC外接圆(x+l)2+(y-2)2=25的圆心为M(-l,2)，半径R=5；

因为陷L-*=北所-25,所以要使|图最小，只需|尸%小即可，

面」.432-2储

当时，归M最小，所以也、(-3)2,

所以1POL="石=2几；

%-2_3

«%+14

设尸(小，为)，则〔4%-3%一25=0；

尸偿"

即点尸的坐标为155J

19.如图，在四棱柱/BCD-38/G。中，侧棱44,平面

ABCD,ABWC,ABLAD,AD=CD=2,AA,=AB=4,E为棱44/的中点.

（1）证明：BCLCiE.

⑵设CM=/CE（O<A<1）,若C/到平面的距离为5,求九

【答案】（1）证明见解析；

（2）3.

【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法证明直线垂直；

（2）用空间向量法求点面距，根据条件列方程求出参数值.

【详解】（I）以Z为坐标原点，AD,AA„所在直线分别为x轴，夕轴z轴建立如图所示的空

间直角坐标系，

则8(0,0,4),£>(2,0,0)；C(2,0,2),£(0,2,0)(£(2,4,2),5,(0,4,4)

所以数=(2,0,-2),鬲=(2,2,2),

所以BC.ECi=2X2+O+2X(-2)=O,

所以工_L"G,故5ClC/£；

(2)因为=(0,4,0),C£=(-2,2,-2),

所以^7=BC+CM=BC+;vCE=(2-22,2/1,-2-22),

设平面88〃的法向量为％=（x，乂叽

n-BB}=4y=0

则五=(2-2%)x+24y-(24+2)z=0,令%=]+加贝ij刀=(1+九,0」一九)

因为南=(2,0,-2),

4£.〃422后

|n|72+2/P5

所以G到平面BBiM的距离

A=-

解得3.

20.已知数列｛“J的前〃项和为满足3，=2勺-1,也｝是以4为首项，且公差不为0的等差

数列，&也，打成等比数歹八

⑴求｛%｝,也，｝的通项公式；

⑵令生=。也，求数列匕｝的前〃项和4.

,L35

【答案】（1产/,-一-/（一八2）"T,b“—2—n--2-

T_2-（3n-4）-（-2y-'

ln=；

⑵3

Q-[*"=1Q〃2

【分析】（1）根据"1S，，-S"T，〃N2求出.，故包｝是首项为/,公比为一2的等比数列,

求出通项公式，再设出等差数列｛"｝的公差，列出方程，求出公差，得到通项公式；

（2）求出J=（3〃-5》（-2）,错位相减法求和

[详解]（1）因为3s“=2/7,所以当〃=1时，3%=2%-1,所以4=-1,

当〃22时，3S〃_]=2/_]_1,

巴」2

两式相减可得，3。,=24-2%,所以明,

所以｛%｝是首项为-1,公比为-2的等比数列，

所以％=一（一2）"'

设等差数列也｝的公差为d,

因为4=4=T,所以&=-1+"，4=-1+2乩&=_1+6"

因为打也也成等比数列，所以（T+2"）一=（T+"）（-1+64）,

3

解得：d=0（舍去）或45,

b=—1+—（1）=-n——

所以2、M—,22；

（2）。”=。也=（3〃-5）（-2）"'

2

故9=(-2)x(-2)'+1x(-2)°+4x(-2)+…+(3〃—5)(-2)"(

所以-29=(-2)x(-2)°+lx(-2)+4x(-2)-+…+(3〃-5)(-2)"',

两式相减得阳二.乂收了+⑸+⑷+…+㈠门—。…).所

=l+3x匕£？——(3〃—5)(-2)"'=2-(3“-4)-(-2)，，­'

7=।

所以3.

B+C

21.在A/8C中，a,b,c分别是角4,B,C所对的边，csin2=sjnc,且a=l.

⑴求/;

⑵若/I8=/C,D,E两点分别在边8C,上，且CD=DE,求CO的最小值.

71

【答案】⑴3

(2)2^-3

【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用三角形内角和、诱导公式和二倍角公式得到

H1

sin2=2,即可得到A；

71

（2）WAB=AC,J=3,得到△/BC为等边三角形，然后在ABDE中利用余弦定理得到CD=2-

———3

BE+2-BE,最后利用基本不等式求最值即可.

B+CB+C

【详解】(1)因为csin2=sinC,且a=l,所以csin2=asinC,

B+C

所以sinCsin2=sin/sinC.

nAA

因为C€(O,Jt),sinC/0,B+C-n-A,所以sin(2-2)=sin4即cos2=sin4,

AAA

所以cos2=2sin2cos2.

AitA\An兀

因为5日0,5),所以cos,和，所以sin'=5,所以彳=k,即Z=3.

因为N8=NC,4=3,所以448。为等边三角形，AC=BC=AB=\.

如图，在△8Z)E中，BD=\-CD,DE=CD,

BD，+BE?-DE2BE?+(£)c£>2-CD?「1

由余弦定理得cos3=2BD.BE2S£(D-CZ>2,

所以BE2+(1-CD)2-CD2=BE-(\-CD),

BE?-BE+1_(-2-3(2-㈣+3_3_3

所以CD=2-BE2-BE2-BE+2-BE,

3

因为0<BE<1,所以修