高斯光束基本性质及特征参数课件

三、圆形镜共焦腔－拉盖尔～高斯近似解缔合拉盖尔多项式基模高阶模本征值本征函数模的振幅分布旋转对称

TEMmn

m－暗直径数；n－暗环数(半径方向)TEM01TEM02TEM20TEM10TEM22TEM00TEM01TEM02TEM10TEM20TEM30TEMmn模沿幅角（）方向的节线数目为m，沿径向（r方向）的节线圆数目为n，各节线圆沿r方向不是等距离分布的。TEM11TEM12TEM22TEM34单程相移

相位分布－与方形镜共焦腔相同，等相位面为镜面谐振频率单程衍射损耗

同一横模的相邻纵模的频率间隔

同一纵模的相邻横模的频率间隔圆形镜共焦腔模在频率上是高度简并的所有自在现模的损耗为零此结果的条件是¥®N当N为有限时，拉盖尔-高斯近似能满意描述场分布及相移等特征，但不能用来分析模的损耗。只有用精确解才能给出共焦腔模的损耗分析。圆形镜共焦腔模的单程功率损耗低阶模的损耗小与方形镜比较，N相同情况下，圆形镜损耗方形镜损耗，大几倍。自再现模积分方程

本征函数、本征值方形，圆形共焦腔镜面场分布，D，nmnq腔内、外行波场高斯光束一般稳定球面镜腔对称共焦腔*等效解析E0，Amn,w0

均为常数，

w0－基模高斯光束腰斑半径(2.6.1)§2.6

方形镜共焦腔的行波场－厄米～高斯光束基尔霍夫衍射积分公式镜面上的场腔内、外任一点的场坐标原点设在腔中心模场的空间分布共焦腔镜面上腰斑尺寸基模光斑尺寸

基模场振幅分布基模光斑大小变化规律腔中不同位置处的光斑大小不相同极小值模体积－模式在腔内所扩展的空间范围

共焦腔基模体积实例：=10.6m,L=1m,2a=20mm=5.3cm3V=314cm3

/V=5.3/314=1.7%难以获得高功率的基模输出高阶模体积－模阶次，模体积

模体积～有贡献的激发态粒子数～输出功率w0s等相位面(波面)其中对于一个等相位面应有近轴情况抛物面方程=f+z=f+z0cR0(x,y,z)zz00球面波y取一级近似

球心C在负z轴上近轴球面波近轴高斯光波比较

高斯光波在腔轴附近可近似为球面波抛物面方程上式整理后得球心C在正z轴上，处理方法相同在腔轴附近，抛物面球面，与m,n模序数无关R(z0)

相等，共焦腔光束的波面在中心两侧对称分布无穷远处，等相位面为平面共焦腔中心，波面为垂直腔轴的平面波面与共焦腔镜面重合可证明：共焦腔反射镜面是共焦腔中曲率半径最大的等相位面。显然，如果在场的任意一个等相位面处放上一块具有相应曲率的反射镜片，则入射在该镜片上的场将准确地沿着入射方向返回。这样共焦场分布将不会受到扰动。共焦腔等相位面的分布光束波面的曲率中心（球面波“发光点”）曲率中心永远不会在共焦腔中心波面离腔中心越远，曲率中心离中心越近LL/2R0|z0|(共焦腔基模光束)远场发散角q[弧度]圆形镜共焦腔的行波场特性的分析方法与方形镜相同,其基模光束的特征完全相同

实例:

He-Ne:

L=30cml=632.8nm~2.3

毫弧度

CO2:L=100cml=10.6mm~5.2

毫弧度

高阶模的发散角随模阶次m,n而增大,光束方向性变差自由空间的基模高斯光束z处等相位面曲率半径z处光斑半径共焦腔基模高斯光束共焦参数腰斑半径小结：

在N>>1时,共焦腔的自再现模可以厄米~高斯或拉盖尔~高斯函数近似描述

共焦腔光束的基本特征唯一地由焦距f决定,与反射镜尺寸a无关。参数f

或w0

是表征共焦腔高斯光束的特征参数。只有精确解才能正确描述共焦腔模的损耗特性。每一横模的损耗由腔的菲涅耳数决定，不同横模的损耗各不相同。共焦腔的特点：衍射损耗低；模简并；基模光斑尺寸沿腔轴以双曲线规律变化;等相位面近似为球面，在反射镜处，等相位面与镜面重合。§2.8

一般稳定球面镜腔的模式特征

任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价可以证明R1,R2,L满足

基本依据：共焦腔与稳定球面腔的等价性任何一个共焦腔可以与无穷多个稳定球面镜腔等价，而任何一个稳定球面镜腔只能有一个等价共焦腔是稳定球面腔等价：指它们具有相同的行波场任意一个稳定球面腔只有一个等价的共焦腔当可得能正确决定等价共焦腔的中心O的位置注意：证明的等价性是建立在共焦腔中场可由厄米特-高斯或拉盖尔-高斯光束描述。所以只有当所讨论的稳定腔的孔径足够大，腔中的场集中在轴线附近时，以上的等价才成立。等价性成立后，就可以将稳定腔模的特征表达出来。(2.8.6)镜面上的光斑尺寸一般稳定球面镜腔的模式特征非对称该公式只对稳定腔适用g1g21或g1g20，s1和s2为复数，没有意义。当g1g2=1或g1g2=0（g1g2），s1和s2中至少有一个趋于发散。模体积(2.8.9)(2.8.10)随着腔趋向稳定腔的边界，即g1g21或g1g20时，稳定腔的模体积急剧增大。在稳定区的内部，一般稳定球面腔的模体积与腔长相同的共焦腔的模体积具有相同的数量级，场也是集中在腔的轴线附近。等相位面基模远场发散角f(2.8.22)谐振频率方形镜圆形镜将式（2-8-4）中的f,z1,z2

代入上式，并由谐振条件方形镜圆形镜衍射损耗共焦腔菲涅耳数a1=a2=a(2-8-20)稳定球面镜腔的有效菲涅尔数稳定球面腔与等价共焦腔的衍射损耗遵循相同规律衍射损耗的估算方法-a+arI0I§2.9高斯光束的基本性质及特征参数一、基模高斯光束(2-9-1)高斯光束的共焦参数基模高斯光束的腰斑半径与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位面的曲率半径与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位面的光斑半径一般稳定球面腔（R1，R2，L）所产生的高斯光束，0和f与R1，R2和L间关系为注：此处以z=0处作为相位计算的起点，即取z=0处的相位为零，而非前面以z=-f（共焦腔的一个镜面）时相位为零计。(2-9-3)二、基模高斯光束在自由空间的传输规律（1）场振幅分布函数光斑大小（2）基模高斯光束的相移特性描述高斯光束在(x,y,z)点相对于原点(0,0,0)相位滞后。其中，kz是几何相移，arctg(z/f)是描述高斯光束在空间行进距离z时，相对几何相移的附加相位超前。因子kr2/2R表示与横向坐标(x,y)有关的相位移动,它表明高斯光束的等相位面是以R为半径的球面.束腰所在处的等相位面为平面；达到极小值；离束腰无限远处的等相位面为平面，且曲率中心在束腰处；等相位面曲率中心在[-f,]区间上；等相位面的曲率中心在[-f,0]区间上(3)基模高斯光束远场发散角高斯光束在其传输轴线附近看作是一种非均匀球面波。其曲率中心随着传输过程是不断变化，但其振幅和强度在横截面内始终保持高斯分布特性，且其等相位面始终保持为球面。三、高斯光束的特征参数1.用w0(或f)及束腰位置表征；

已知w0

(或

f)

w(z),R(z),2.用w(z)及R(z)表征;已知w(z),R(z)

w0,z3.高斯光束的q参数(2-9-1)横向因子放在一起改写为1/q(z)q参数(高斯光束的复曲率半径)q参数物理意义：同时反映光斑尺寸及波面曲率半径随z的变化若已知高斯光束某一位置的q参数w(z),R(z),

光腰处（z＝0）＝0

q参数表征高斯光束的优点:

将描述高斯光束的两个参数w(z)和R(z)统一在一个表达式中,便于研究高斯光束通过光学系统的传输规律

高斯光束三种描述方法的比较在空间传输后四、高阶高斯光束厄米-高斯光束沿z方向传输的厄米特-高斯光束可以写成：(2-9-13)光腰尺寸z处光斑0和z分别为基模光腰半径和z处光斑半径发散角0

为基模高斯光束远场发散角。光斑尺寸和光束发散角随m和n的增大而增大。

拉盖尔-高斯光束沿z方向传输的拉盖尔-高斯光束可以写成：光斑半径发散角光斑半径随n的增加比随m的增加更快五、高斯光束通过光学元件的变换－ABCD公式1.自由空间球面波高斯光束两式相减2.薄透镜(透镜焦距为F）球面波发散(+)会聚(-)物距像距焦距近轴情况（薄透镜）高斯光束R1R2q1q2l1l2R1R2S1S23.光学系统－传输矩阵为

的光学系统球面波高斯光束

q参数通过光学系统的变换与球面波R的变换相同－ABCD公式R1R212近轴光,自由空间透镜球面波高斯光束q参数称为高斯束的复曲率半径六、ABCD矩阵应用1－高斯光束通过透镜的变换已知：w0,l,F求：通过透镜后，高斯光束参数wc,Rc方法:由ABCD公式

qBqA

qBz=0q0=iff=w02/A处qA

=q0+lB处1/qB

=1/qA-1/FC处qc=qB+lc关键先求w0’

qc

wcqA

qB=-l’C点取在像束腰，标注的两个公式就是高斯光束束腰的变换公式，它可以完全确定像方高斯光束的特征。讨论:高斯光束成象与几何光学成象规律的比较1.

l>>F

即有

(l-F)2>>f2和几何光学成象规律相同腰斑放大率2.l=F时和几何光学成象规律不同几何光学:

l=Fl’=

(平行光)无实象有虚象=D3.l<F

仍有实象,和几何光学成象规律不同几何光学:

l<F不能成实象求透镜焦平面上的光斑大小ABCD矩阵的应用（2）－高斯光束的自再现变换§2.12高斯光束的自再现变换与稳定球面腔自再现变换：一个高斯光束透过透镜后其结构不发生变化，即参数0或f不变，则称这种变换为自再现变换。一、利用透镜实现自再现变换腰斑0

的高斯光束入射在焦距为F的透镜上，入射光束束腰与透镜距离为l，F物高斯光束在透镜表面上的波面的曲率半径为：当透镜的焦距等于高斯光束入射在透镜表面上的波面曲率径一半时，透镜对高斯光束作自再现变换R(z)二、球面反射镜对高斯光束的自再现变换对于球面反射镜，当入射的球面镜上的高斯束波前曲率半径刚好等于球面镜的曲率半径时，在反射时高斯光束的参数将不会发生变化。即像与物高斯束完全重合。反射镜与高斯光束的波前相匹配。与透镜对高斯光束的自在现变换不同之处？LLf1f2f1三、高斯光束的自再现变换与稳定球面腔LLf1f2f1对于自再现模有高斯模在参考平面上的曲率半径和光斑为：即一旦稳定腔的具体结构给定，高斯模特征可按上式完全确定，由上式还可以得到腔的稳定条件：应为实数，即：在稳定腔开腔中不存在傍轴光线的几何损耗与腔内存在着高斯光束型的本征模是等价的§2.11高斯光束的聚焦和准直一、高斯光束的聚焦:即(2.10.18)(2.10.17)1、F一定时，0，随l变化的规律（1）当l<F时，0,随l的减小而减小，当l=0时，0,达到极小值腰斑放大率：结论：当l=0时，0,总比0小，因此，不论透镜的焦距F有多大，透镜对高斯光束都有汇聚作用。并且像方腰斑的位置总处在前焦点内。进一步此时，像方腰斑位置处在透镜前焦点上，且透镜的F越小，焦斑半径也越小，聚焦效果越好（2）当l>F时，0,随l的增加而单调地减小，当ll>>F(2.9.4)(l)为入射在透镜表面上的高斯光束光斑半径若同时满足物的高斯光束的腰斑离透镜远(l>>F)时,l愈大,F愈小,聚焦效果愈好(3)当l=F，0’达到极大值仅当透镜才有汇聚作用F<f

透镜焦距足够小无论

l

为何值,均可使(1)(2)(3)F一定当F一定时，0`随l变化情况若F>f

要使要求即或才能聚焦如果不能聚焦（分母>分子）2、l一定时，0‘随F变化的情况才有聚焦作用F0F

要获得良好的聚焦效果：

使用短焦距透镜

光腰远离透镜；(l>>F)

双透镜聚焦

思考：为什么双透镜有更好的聚焦作用？

二、高斯光束的准直－改善方向性，压缩发散角高斯光波平面光波单透镜准直效果高斯光束通过薄透镜当l=F

时,w0’=F/w0

最大

•F,

长焦距透镜利于准直

•w0尽可能小

要使大发散角有限，无论l，F取何值都不可能使说明用单透镜不能实现准直F一定有较好的准直效果当F一定时，若入射光束的束腰落在透镜的后焦面上（l=F），则0`达到极小。此时F愈大，0`愈小，当可得，当l=F时，0`达到极大值，此时，0`达到极小。Q：需要寻找什么情况下，0`具有最大值（或0‘有极小值），即在l=F的条件下，像高斯光束的方向性不但与F大小有关，而且与0的大小有关。0愈小，则像高斯光束的方向性愈好。因此，如果预先用一个短焦距透镜将高斯光缩聚焦，以便获得极小的腰斑，然后再用一个长焦距透镜来改善其方向性，就可以得到很好的准直效果。准直倍率(发散角压缩比)

短焦距透镜聚焦,使w0’，并聚在长焦距透镜焦点上长焦距透镜使F光腰几乎?落在焦平面上,组成一倒装望远镜望远镜放大倍率M利用倒装望远镜准直DL1L2一个给定的望远镜对高斯光束的准直倍率（M’）不仅与望远镜本身参数有关（M），还与高斯光束的结构参数f及腰斑与副镜的距离l有关。上述推导用了一个假设F1<<l。但它对l=0的情况也适合另一个假设：透镜孔面上的光斑大小远小于透镜本身的孔径。——不考虑衍射效应；光斑等于或大于透镜孔径，提高M’来无限制地压缩高斯光束的发散角是不可能的如何评价一个激光器产生的激光光束空域质量？聚焦光斑尺寸、远场发散角经过光学系统后，光束的光腰尺寸和发散角会改变，而且减小光斑必然会使光束发散角增加。不能用单一参数评价激光光束。发现：经过理想的无