2022-2023学年吉林省松原市扶余市高一年级上册学期期末数学试题含答案

2022-2023学年吉林省松原市扶余市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1.tan570°+sin300°=()

5一.5>/3

A.6B.6C.6D.6

【答案】C

【分析】由诱导公式可得答案.

tan570°+sin300°=tan(360°+210°)+sin(360°-60°)

【详解】

=tan(180°+30°)-sin60°=tan30°-sin60°

26

故选：C

2.设全集为R,集合A={x|xT>。},B={X||X|>2}；则集合=()

A.B.{x|x<-2或x>l}

c_{x|l<x<2}D.{x|x4l或x>2}

【答案】D

【分析】先分别求出集合A和集合集合B,再求出C/,与集合B求并集即可.

［详解］因为A={x〔x>l},B={x|x<—2或x>2}；

.1.CRA={x|x<1}.(Q<A)UB={X|X41由X>2}

故选D

【点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型.

3.荀子日：“故不积蹉步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了

做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积珪步”是“至千里'’的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义，分析即得解.

【详解】由题意可得：“积陛步”未必能“至千里”，但要“至千里”必须“积蹉步”，

故“至千里”是“积蹉步”的必要不充分条件.

故选：B.

小）=!噫。+3）户>0

4.已知函数I2"+2,x<0,则/（/（-2））=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据分段函数的解析式，先计算/（一2）的值，再求得/（/（一2））的值即可.

/(x)=P°g3(x+3)，x>°

【详解】由题意[2一'+2/40,所以八-2)=21>+2=6,

故/(/(-2))=/(6)=log3(6+3)=2,

故选：B.

sin(1+a)-cos(乃一a)

sin--a-sin(2^+a)

5.已知角。终边上一点0°’2),则12J()

2

A.2B.-2C.0D.3

【答案】B

【分析】通过坐标点得出角a的正切值，化简式子，即可求出结果.

【详解】解：由题意,

角a终边上一点尸O'2）,

...tana=2

2cosa

-------=-2

cosa-sina1-tana

故选：B.

.5兀

a=sin——„,.

6.己知6,6=ln2,c=2°\则。也，的大小关系为()

A.a<b<cB.c<b<ac.b<a<cD.a<。<b

【答案】A

【分析】由特殊角三角函数值、指数函数和对数函数单调性，结合临界值2可得到大小关系.

sin—=-=InVe<In74=In2<1=2°<203

【详解】62,：.a<b<c_

故选：A.

14।

—--二12

7.己知x>0，y>0且xy,若x+y>，〃+8加恒成立，则实数小的取值范围是（）

A卜口/}B.{x|x«-3}}c.{x|x*l}D{x|-9<x<l}

【答案】D

【分析】根据基本不等式可取“+卜的最小值，从而可求实数机的取值范围.

14,

---1---=1

【详解】•.-x>0^>0,且xy,

x+y=（x+y）d+&=5+上+竺*2,吃+5=9

,Xyxy\xy

当且仅当x=3/=6时取等号，...（X+y）mM=9,

由X+y>+8机恒成立可得机2+8机<（X+y）m,n=9,

解得：-9（机<1,

故选：D.

8.王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流.欲穷千里目，更上一层楼、诗句不仅刻画了祖国

的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远'’的哲理，因此成为千古名句，我们从数学角度

来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径R=6371km,如图，设。为地球

球心，人的初始位置为点M,点N是人登高后的位置（人的高度忽略不计），按每层楼高3・3m计算,

“欲穷千里目”即弧笳的长度为500km,则需要登上楼的层数约为（）

”=0.07856371«6390.8

（参考数据：6371,cos0.0785=0.9969,0.9969）

【答案】D

0.0785

【分析】根据弧长公式可求得即N4°N的大小R.在RSO/N中，即可求得

°N的大小.

【详解】。为地球球心，人的初始位置为点〃，点N是人登高后的位置，/河的长度为500km.

=—«0.0785

令ZAON=0,则R

ON=-^~R6371

X6390.8(km)

...OA1AN,OA=R,cos0cos60.9969

,MN=ON-OM=l9.S(km)

19.8x1000

=6000

又3.3

所以按每层楼高3.3m计算，需要登上6000层楼.

故选：D.

二、多选题

z.\x2+ax-3

9,若函数（3J的图像经过点I"）,则（）

A.。=-2B./（X）在（一"'1）上单调递减

1

C./G）的最大值为81D./（X）的最小值为西

【答案】AC

【分析】利用函数经过点（"）,可求出再应用函数性质每个选项分别判断即可.

/（3）=（耳"

【详解】对于A：由题意得,得〃=-2,故A正确；

对于B：令函数“=--2'-3,则该函数在（f1）上单调递减，在儿+8）上单调递增.

因为）GJ是减函数，所以/（*）在（-8，1）上单调递增，在口，+8）上单调递减，故B错误;

对于CD：因为/（x）在（-84）上单调递增，在口，+8）上单调递减，

所以"x）m「/0）=81J（x）无最小值.故C正确,D错误;

故选:AC.

10.如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点“（L°）,以x轴非负半轴为始边作锐角力,

…、它们的终边分别与单位圆相交于点6,4,P,则下列说法正确的是（）

A.\A^\=\AP\

B.扇形的面积为a-£

|4P|=2siny-/7

c.

1.

a=——sin

D.当3时,四边形044出的面积为2

【答案】AD

【分析】由题意圆的半径厂=1在平面直角坐标系中写出％'片’/「的坐标用两点间的距离公式

计算即可得A选项；选项B,利用扇形的面积公式计算即可；选项C,利用两点间的距离公式写出

化简即可；选项D,$皿/分别表示出来化简即可

【详解】由题意圆的半径厂=1

选项A：由题意得4（c°s〃，sin#），£（cosa,sina）

T4（1,0）,P（cos（a-夕）,sin（a-夕））

|4制=J（cos4一cosaj+（sin/7-sina）2

所以

=,2-2cosficosa-2sin夕sina

=2cos（a-、）

|力尸|=J[cos（a一夕）—11+[sin（a一夕）了

=^[cos（a--2cos（«-/?）+l+[sin（a-J3）]^

=j2-2cos（s一t）

所以=网，故A正确;

选项B：因为幺°々="£,

所以扇形°4々的面积S一5（"--5（”'）

故B错误；

选项C"4刊=J[cos(e一尸)一cos行+[sin(a-£)-sin02

=^1+1-2cos(ct-/3)cos-2sin(cr-/?)sinp

=^2-2cos[(a-^)-/7]

j2-2cos(a-2夕)

2-2cos2

=J2-2l-2sin2ly-/?

=2sin(|■一/

故C错误;

选项D:S°"44=S“04+

=；x1x1xsin/7+；x1x1xsin(a—77)

=；siny?+gsin(a一4)

71

a--

因为3,

11

s。伙"=-sin^+-sinfy-/7

所以22

=—sin/5+—fsinycosp-cos:sinp

22

=-sin^+—cos/?

44

=；(gsin/7+*cos/

2

=1si+

i2vl

故D正确

故选：AD.

/（x）=cosx+----

11.已知函数COSX,贝|J（）

A.I。）的最小值为2

B./（X）的图象关于y轴对称

C./（X）的图象关于直线才=兀对称

D./G）的图象关于15’J中心对称

【答案】BCD

【分析】选项A,/G）的值可以为负，所以A不正确；选项B,/（X）为偶函数，其图像关于卜轴对

称，所以B正确；选项C,/（兀一、）=/（兀+*）,所以/（X）的图像关于直线》=兀对称，所以C正确;

/仅_/=-/仅+工）、（-,o]

选项D,（2）12人所以八3的图象关于12J中心对称.所以D正确.

【详解】解：选项A.当cosx<°时，/（x）的值为负，所以A不正确.

选项——尉…+£=小）

所以/（X）为偶函数，其图像关于V轴对称，所以B正确.

1

/（7T+X）=COS（兀+X）+---------=_cosX

COS（兀+x）COSX

选项c.

f（元一x）=cos（兀-x）+---------=-cosX------

（71-X）C0SX

所以"兀-》）=/（兀+x）,所以“X）的图像关于直线X=7t对称，所以C正确.

1

sinx

选项D,

n

2

n

一+x

,所以/（X）的图象关于

所以唱72中心对称.所以D正确.

故选：BCD

/（X）=4cos（69X+9）（4>0,69>0,|夕|<、

12.已知函数的部分图像如图所示，将〃x）的图像向左平

71

移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数g（x）的图像，则（)

/(x)=2cos^2x-yg(x)=2cos(2x-1J+l

--+ICK,—+kit(keZ)

12

C.8（X）的图像关于点16'J对称D.g(x)在L12」上单调递减

【答案】AD

【分析】利用函数图像先把解析式求出来，然后逐项分析即可.

【详解】由图像可知函数"X）的最大值为2,最小值为-2,

工=史上」,二』

所以4=2,2362

兀

T=—^co=22=>2cos(2x%+°)=2

又。，又

冗兀

所以H+9=2E（A£Z）n9=2E-］（A：£Z）

\（p\<-（p=--/（x）=2cosf2x-^1

又2,所以3,所以I3人故A正确,

7U

将“X）的图像向左平移a个单位长度，

g(x)=2cos1=2呵2唱+1

再向上平移1个单位长度后得故B错误.

2x+—=—+kn(keZ)=>x=—+—(ZreZ)(、[―■J|

由6262,所以g(x)的图像关于点(6J对称，故C错误.

TTTT5兀

2E<2x+—<2kn+兀(左eZ)-----+kn<x<—+kn(keZ)

由6即1212,所以选项D正确.

故选：AD.

三、填空题

13.已知tanx>°且cosx<0,则x在第象限（用汉字填写）.

【答案】三

【分析】利用正切函数与余弦函数的符号，即可判断角x所在象限.

【详解】因为tanx>0,所以角x所在的象限是第一、三象限，

因为cosx<0,所以角x所在的象限是第二、三象限以及x的负半轴，

由于上述条件要同时成立，所以x在第三象限.

故答案为：三.

14.已知关于x的方程2x0（-百+l）x+2〃7=O的两根为sinO和cos。（行⑴㈤），则〃?的值为

【答案】4

【分析】根据给定条件，利用韦达定理结合同角公式求解作答.

【详解】关于x的方程2-—（-6+Dx+2加=0的两根为sin6和cos0,

.1—V3

sin0a+cos0a=-----

<2

则[sinOcos”加,因此

J一百）2_1

_2sincos0_（sin0+cos0）2-（sin204-cos2O'）_2_△

〃F一—2~2一一彳,经检验符合题意.

_正

故答案为：4

15.已知命题p：*e[T[],x2-3x+a>0.若命题-1P为真命题，则实数。的最大值是.

【答案】-4

【分析】先求出力，然后由命题F为真命题，可得在上恒成立，再求出

一丁+3x的最小值即可.

【详解】因为命题p：*4-1,1],xJ3x+a>0,

所以命题力：Vxet-1,1lx2-3x+«<0,

因为命题了为真命题，

所以aV-/+3x在[TJ上恒成立，

令/（幻=一/+3x,xe[-l,l],

33

x=----=—

对称轴为-22,

所以“X）在[-1,1]上单调递增，

所以/OF"-】)——,

所以

所以实数a的最大值为-4,

故答案为:-4.

n

16.如图，正方形的边长为10米，以点/为顶点，引出放射角为7的阴影部分的区域，其

兀＜X＜兀

中NEAB=X,记月E,4尸的长度之和为/（X）.则“X）的最大值为.

【答案】1076

20\/3sin(x+—)

f(x)=3

~^-r兀,「

sin(2xH—)H——«xW-

【分析】由题意结合三角恒等变换得到62且124,令

〃、乙、20^3

---j-

•,,兀、r瓜+叵f(x)=g(t)=

t=sin(x+—)e[---,1]2t--

进一步得到2/1由函数单调性求最大值即可.

【详解】由题设，cosxcosx,124,

而ZFAD=ZEAB+ZEAFe412J],故ZDAF=3--XGL[1—2,4-]J

AF=AD=10

所以MMMT

〃叩。忌+,兀

COS(y-X)2L<x<—

综上,且12-4

20\/3sin(x+；)

〃x)=10(」-+2)—]03cosx+V3sinx

COSXcosx+百sinxcosx(cosx+百sinx)

sin(2x+()+2

所以

..(、冗、rV6+V2

^Z=Sin(x+_)€[---J]

则

i/c2万、i、、

1-cos(2x+——)1-cos(—4-2x4-TC-)l+sin(2x+^)

ti23=sin2(x+—)=------------=-------------—

3222

，/、，、2073

jr/W=g(O=-------rV6+V2

sin(2x+—)=2/2-12/-—,1]

所以6,故2t在上递减,

+5/220V3

/(X%.=g«)m"=g()==10A/6

4V6+V227T71

X=­X=—

所以2V6+V2，此时12或4

故答案为：1°.

四、解答题

17.求解下列问题:

sina=——

(1)已知5,a为第二象限角，求cosa和tana的值；

35

sina=-cos(a+£)=­°„

⑵已知5,13,a,广为锐角，求sm£的值.

_2亚1

COSCt=----------tana——

【答案】⑴5,2

33

sin/?=—

⑵65

【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

(2)结合同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得正确答案.

.V5

sina=——

【详解】(1)由于5,a为第二象限角,

(2)由于a,尸为锐角，所以°＜夕+/＜兀,

sina=-cos(a+^)=—

由于5,13,

所以sinQ=sin(a+/7-a)=sin(a+/7)cosa-cos(a+/7)sincr

1245333

——x---------x—

13513565.

18.已知函数/(x)是定义在H上的奇函数，且当x＞0时，/(x)=Ux2+2x.

（1）求函数/（x）在H上的解析式;

（2）解关于x的不等式/G）<3.

-x2+2x,x>0

/(x)=<0,x=0

x2+2x,x<0

【答案】（1）

⑵(-3*)

【分析】（1）根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可.

（2）利用分段函数的表达式分别进行求解即可.

［详解］（1）当x<0时，-x>0,贝ij/（r）=_（r）-+2（_x）=_/_2x,

由/G）是定义在R上的奇函数，得/（x）=-/（r）=x2+2x,且/'（0）=0,

-x2+2x,x>0

/（x）=,0,x=0

2

故x+2xfx<0

（2）当x>0时，-V+2x<3恒成立；

当x=。时，°<3显然成立；

当x<0时，i+2x<3解得一3<x<l,即一3<x<0.

综上所述：不等式的解集为（一工田）.

19已知函数/（"）=2A/3sinxcosx+2cos2x-l（xeR）

⑴求函数/（x）在区间〔°'2」上的最大值和最小值；

f（x）=-xeJ,1

⑵若05,o142」，求cos2x0的值

【答案】（1）最大值为2,最小值为-1.

3-46

（2）1。

f（x）=2sin|2x+—|

【分析】（1）由二倍角公式、两角和的正弦展开式得I6人再利用正弦函数的单调

性与范围可得答案；

/（X）=-sinf2x0+-l=-C0s（2xo+。］

⑵由5得16J5,利用平方关系得到I6人再利用

n

cos2%=cos

6」展开可得答案.

f(x)=>/3sin2x+cos2x=2sin(2x+£

[详解](D由/(x)=2>/isinxcosx+2cos2x_l(xeR)得

717兀.nn今।兀7兀

XG0,—2x+6」，故当2x4—=—“丫、2x4—=—

因为L2」，则r62时，,（X）取最大值2；当66时,

/卜）取最小值-1;

叼上的最大值为2,最小值为一

所以函数/（X）在区间[

/(x0)=2si

(2)由(1)可知

3

/(x)=-

又因为'”05,所以5

7C兀27r7兀

xe

1句，得2x(.+—G

由°6T'T

l-sin2f2x+14

cos2X(0

从而I65

n2X+.兀

cos2x0s—+sm[0lsin—

所以66

3-473

10

3

/(x)=6cosxsin+—

20.已知函数‘2

（1）求/（X）的最小正周期和对称轴方程;

兀54

⑵若函数y=/（x）一"在X*12'12」存在零点，求实数a的取值范围.

k兀、冗17

X=------1----，左£Z

【答案】（1）最小正周期为万，对称轴方程为23

⑵[0,3]

f（x）=3sin（2x-—）

【分析】（1）化简函数6,结合三角函数的图象与性质，即可求解;

715乃7157

XG

sin(2x-----)=—xG12'12」上有解，根据12’12」时，得到

(2)根据题意转化为63在

sin(2x--)G[0,11

6J,即可求解.

底£|+|=6cosx亭nxjos*

f(x)=6cosxsin

【详解】（1）解：对于函数

=—sin2x-3xl+cos2x+2=39sin2x--cos2x)=3sin(2x--)

222226

24

所以函数/G）的最小正周期为2

c兀I71._k7l7t

ZX------=K7T+—,KGZ，解得'——+—,kGZ

令6223

k兀、兀1

f（\X=---------1GZ

所以函数/（XY）的对称轴的方程为23

丫G乃5乃

（2）解：因为函数P=/。）—"在112'12」存在零点，

冗a九5乃

sin（2x--）=-xw

即方程63在L12%」上有解，

当T透71乱57r寸，可得A"-7国1m。，力271可得sm-髀71阿r-t

0<-<1

所以3,解得04a43,

所以实数。的取值范围

21.2022年12月7日，国务院发布了精准防控新冠疫情的十条最新措施，以减轻疫情防控对企业

经营和民众生活带来的损失.某公司为了尽快恢复经营活动，决定对业绩在50万元到200万元的

业务员进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随着业绩值x（单位：万元）的

增加而增加，但不超过业绩值的5%.

（1）若某业务员的业绩为100万，核定可得5万元奖金，若该公司用函数y=lgx+6+l（%为常数）

作为奖励函数模型，则业绩200万元的业务员可以得到多少奖励？（参考数据炮2纪0・30,33"（）.48）

1,

/（x）=-x2-（a-0.05）x+100”8000

（2）若采用函数4,求。的范围.

【答案】（1）业绩200万元的业务员可以得到7.3万元奖励；

（2）。的取值范围是[2°，2505].

【分析】（1）将题中的条件代入，可以求出具体的函数解析式，即可解决.

（2）根据题意列出关于x的不等式，然后把问题转化为研究函数的恒成立问题，进而确定参数。的取

值范围.

【详解】（1）对于函数模型'=他'+丘+i（%为常数）,

当x=100时，歹=5,代入得，5=lgl00+100^+l

11

k=—y=lfgx+——x+\

解得50,即’50,

因为函数y=lgX和函数'=।在［5°，2°°］上都为增函数

所以函数'=3'+h+1在［50,200］上都为是增函数，

当x=200时，y=lg200+4+l=lg(2xl00)+5=lg2+7-7.30

所以业绩200万元的业务员可以得到7.3万元奖励.

f(x)=-x2-(a-0.05)x+100a-8000

(2)对于函数模型'4,

_-(0-^05)^50

因为函数/⑸在[5°，2。0]递增，所以2X4,即a425.05；

又由奖金不超过业绩值得5%,得

/(x)=~x2-(a-0.05)x+100a-80004x•5%忤戈十

—x2—ax+1