2022-2023学年广东省广州市高一年级上册学期期末数学试题2含答案

2022-2023学年广东省广州市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1,已知集合"=N吨I<x47},则“UN=（）

A{x|-2<x<7}B{x|l<x<5}

c{x|-2<x<7}D*|14x<5}

【答案】C

【分析】根据并集运算求解即可.

【详解】因为"={'H<X<5},N={x[l<x47},

所以MuN=（-2,7],

故选：C

2.”G>扬，，成立是“a>b>0”成立的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件与不等式的关系进行判断即可.

【详解】由&>加得a>b20,

则a>620是a>b>0的必要不充分条件，

故选：C.

3.若扇形的弧长为8cm,圆心角为2弧度，则扇形的面积为（）

A.87rcm2B.8cm2Q16cm29167tcm2

【答案】C

【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出答案.

【详解】设扇形的弧长为/,圆心角为

扇形的弧长为8cm,圆心角为2弧度，即/=8,a=2,

':l=\a\r,可得/'=4,

S=—/•/,=—x8x4=16fcm2）

,该扇形的面积22V\

故选：c.

cos-n-a

4.已知以原点为顶点，x轴的非负半轴为始边的角a的终边经过点R3,-4）,则12J的值

等于（）

34_3_4

A.5B.5C.5D.5

【答案】B

【分析】根据三角函数的定义确定sina的值，再结合诱导公式求解即可.

-44

sina=i==——

【详解】解：角a的终边经过点尸（3,-4）,则*2+（-4），

（31.4

所以12J5.

故选：B.

5.已知实数a,6满足/+〃=。6+1,则6的最大值为（）

A.1B.2C.4D.^2

【答案】B

尸

【分析】利用基本不等式。＞°力＞°时，4，构造基本不等式，求出的最大值

【详解】因为/+/=必+1,

（a+=3ab+l＜^a+b^+1

所以4,

可得（"+6）244,即。+%2,

所以a+人的最大值为2,

当且仅当"=6=1时，等号成立

故选:B.

6.在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，用二分法求方程的近似解是其中璀璨的

一座.已知A为锐角A/8C的内角，满足sin/-2cos"+tan4=l,则（）

【答案】C

【解析】设设/（"）=sin"-2cos'+tan'-l,则/⑷在1°，引单调递增，再利用零点存在定理即

可判断函数［(')的零点所在的区间，也即是方程sin“-2cos/+tan/=1的根所在的区间.

【详解】因为A为锐角”8C的内角,满足sin4-2cos/+tan4=l,

J(")在1°‘万)单调递增，

设/(4)=sin/-2cos力+tan力-1贝।

/(0)=sin0-2cos0+tan0-1=-3<0

2cos—+tan--1=--^-<0

在〔2)取*"得■/⑷4442

/f—^sin--2cos—+tan--1=—%>。

V3J3332

」乃、J八

sinJ-2cosA+tanA-I

囚力、'，7,也以“''H'J奇忌仅•丁IAI用、/，

即满足$出/-285/+1211/=1的角/€14'3人

故选：c

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是令'（"A

:sinJ-2cosJ+tanJ-l；根据零点存在定理

判断函数的零点所在的区间.

/（x）</f—1

7.已知函数/（x）=sin2xcosg+cos2xsins（xcR）,其中。为实数，且19J对任意实数

r=/伊］

R恒成立，记A%人161,则p、q、/"的大小关系是（）

A.r<p<qB.q<r<p

C.p<q<rD.q<p<r

【答案】C

【分析】利用和角的正弦化简函数”X），再求出夕的表达式，然后利用正弦函数单调性比较大小作

答.

=sin（2x+。），因为，。）'，（9）对任意实数R恒成立，

［详解］/（x）=sin2xcose+cos2xsine二

_2兀27171._C7兀7r7

x=—2:x——+0=2攵兀+—,攵GZ0=2&兀+—,kGL

则当9时，/（X）取得最大值，因此92,即318

.25TI.7兀./7K.

=sin(2x+£),%GZp=sin---=-sin——=sin(----)

181818,

.31K./5兀、.43花.7兀兀7兀5兀77i兀

q=sin---=sin(----)r=sin---=sin———<---<----<—<—

1818,1818,显然21818182,

r兀兀］•Z7兀、•/5兀、*/7兀、

.I——Jsin(----)<sm(---)<sm(—)

正弦函数夕=s】nx在22上单调递增，即有181818,

所以P<”〃.

故选：C

8.已知定义在R上的函数"x）满足：/（X）为奇函数，/G+1）为偶函数，当0041时,

"x）=2'T,贝〃（1。比2023）=（）

999251024512

A.-1024B.-2048C.-2023D.一频

【答案】A

【分析】由/G）为奇函数，/（x+1）为偶函数可知/（龙）为以4位周期的周期函数，且关于

（2%，°求eZ点对称，关于x=l+2%,%eZ轴对称，利用周期性与对称性可化简

2023

/(log2023)=-

2代入八）=21

1024即可得出答案.

【详解】因为/（X+1）为偶函数,

所以/（x+l）=〃r+l）,

所以/（r）=〃x+2）,

又/㈤为奇函数，即/(-x)=-/(x)

所以-/(X)=/(X+2)n/(X+4)=-/(X+2)=/(X)

所以/（“）的周期为4,

故选：A.

【点睛】本题综合考查了函数的周期性与对称性，属于难题.解本类题型一般可借助正弦曲线与余

弦曲线帮助我们理解其对称性与周期性.

9.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径为5

微米的PP棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物

等各种大颗粒杂质.假设每一层尸产棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒

杂质含量为50mg/L,若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5mg/L,则尸P棉滤芯层数最少

为（）（参考数据：收2=0.30,lg3=0.48）

A.9B.8C.7D.6

【答案】B

50x俏]<2.5

【分析】根据题意得到不等式,解出答案.

见=50x（1」]=50x/2

【详解】设经过〃层PP棉滤过滤后的大颗粒杂质含量为为,则I13

两边取常用对数得："叼”灯,即〃（吆3Tg2）21+lg2,

因为史0.30,lg3x0.48,

、65

所以（0.48-。.3。）〃21.3。，解得「避，

因为“eN",所以〃的最小值为&

故选：B

10.已知函数〃x）=|2'-m|的图象与函数g（x）的图象关于轴对称，若函数/（x）与函数g（x）在区

间口，2]上同时单调递增或同时单调递减，则实数”的取值范围是（）

-,2

A.[2」B.[2,3]

U[4,+oo）

C.（2」D,[4,+oo）

【答案】A

【分析】由题意可得g（x）=/（r）=|2T-，”l,利用特殊值，分别令旭=2,或m=1,根据函数的单调

性即可判断.

【详解】解：函数的图象与函数g（x）的图象关于V轴对称，

.-.g(x)=f(-x)=l2-x-ml

x

若m=2时，〃x)=|2*-2|,当x>l时，f(x)=2-2t函数/(x)单调递增,

g(x)=|2-，-2|,当2T一2<0时，即x>-l时，g(x)=-2-，+2,函数g(x)单调递增，

故当，〃=2时，满足函数"X)与函数g(x)在区间［1,2］上同时单调递增，故排除C,D,

若朗=1时，〃x)=|2'-l|,当2,一1>0时，即x>0时，/(x)=2'-l>函数/(x)单调递增,

g(x)=|2-，-l|,当2―1<0时，即x>0时，g(x)=-，，-l,函数g(x)单调递增，

故当机=1时，满足函数八刈与函数8口)在区间口，用上同时单调递增，故排除8,

其图象为

故选：A.

二、多选题

11.下列化简正确的是()

21~log23_2

B.3

有

C.=D.%=占

【答案】BC

【分析】将根式转化为分数指数基，结合对数运算性质得到正确答案.

【详解】行7=疗=3口=33,人错误；

7

2,_|OJ?23_2:2喻3=2—3=—

3,B正确；

।1

,-1/（।\5

，秒=的）=9，=92=近

IJI）,C正确；

x可得到x<0,从而xx,D错误.

故选：BC

„（x+2,x<-1

/（外={..、

12.已知函数[x2-+LT<x<2,关于函数〃x）的结论正确的是（）

A./（X）的定义域是RB."X）的值域是（f，5）

C.若f（x）=3,则x的值为&D./（〃T））=2

【答案】BCD

【分析】根据分段函数的解析式，结合一次函数、二次函数的单调性，运用代入法逐一判断即可.

【详解】A：函数的定义域为（Y°，2）,所以本选项不正确；

B：当XV-1时，=

当-l<x<2时，”x）mm=〃O）=l,/（-I）=2J（2）=5,所以有1</（x）<5,

综上所述：〃x）的值域是（一吗5）,所以本选项正确；

C：当x4T时，/（x）=3=>x+2=3=>x=l,不符合x4T；

2

当-l<x<2时，/（x）=3=>X+1=3=>X=V2>或x=_及不符合7cx<2,

综上所述：当，（x）=3时，x的值为夜，所以本选项正确；

D：/（/（-0）=/（1）=2,所以本选项正确，

故选：BCD

13.函数/G）=/sin3x+9）（N>0M>0,0<9<兀）的部分图象如图所示，则（）

C./（X）的图象关于点（2°22,0）对称

D."2x）在R,4］上单调递增

【答案】ABD

【分析】A选项，由图象得到力=1,4,求出T=8,4,再代入结合

°＜。＜兀求出4,求出函数解析式，计算出2,AB正确；将2022代入解析式,

〃2022）=sin（」）=-也工x+M|'”史一

利用诱导公式求出2,c错误；整体法求出24L44」，结合正弦

函数图象，得到其单调递增，D正确.

17'=3-1=2

【详解】从图象可知：4=1,4,解得：7=8,

(o=-=-/(x)=sin住x+w

即84,则14

/、sin—+(p=1

将(甲)代入解析式，得14J,

7171571

—<---V(p<----

因为0<°(兀，所以444,

兀兀7171

——+°=_(P=—CD+(p=-

所以42,解得：4,故2,A正确:

71兀)3

/(x)=sin—X+—/(-2)=sin(-j+^

12,B正确;

故44

/(2022)=sin-x2022+-

当x=2022时,44

故/（X）的图象不关于点（2022,0）对称，c错误;

,/(2x)=sin^x+^当xe[3,4]时，+%7兀9兀

T'T

7兀9兀

Z€,

由于y=sinz在L44」上单调递增，

故/（2x）在[3,4]上单调递增，D正确.

故选：ABD

14.设函数/G）=J（"+M+…（"R）,则（）

A.存在实数。，使“X）的定义域为R

B.若函数/G）在区间@+8）上递增，则“c[T,O]

C.函数/（X）一定有最小值

D.对任意的负实数。，/（*）的值域为P+8）

【答案】ABC

【分析】根据复合函数的单调性与二次函数的单调性与最值情况分别判断各选项.

Ja+l>0]

【详解】A选项：函数/（*）=J（a+l*+x-a（aeR）,当0时，即"一]时,

其定义域为R，故A选项正确；

B选项：当。+1<0,即"-1时;函数片（°+1）/+*-”在1%2a+2）上单调递增，在

I2a+2J上单调递减，不成立；

当a+l=0,即”=-1时，在（7，田）上单调递增，满足在区间1°，+00）上递增，成立;

…，-00,--L_

当a+l>0,即“>-1时，函数>-（"+6+厂"在I2a+2J上单调递减，在

12a+2'8）上单调递增，故一24+2',且/（O）=G*O,即-1<。40；综上所述，若函数

/（X）在区间@+"）上递增，"卜1，°],故B选项正确；

CM：由1-（。+1）（-。）=4/+4"120恒成立，

f(x)=](〃+1)4、+x-a=J[(a+])x_a}(x+1)

x=T时取最小值为0；

当"T且"5时'/（X）在x=T或"。+1时取最小值为0；当。=-1时，/（x）=G^,

x=T时取最小值为0：

a

当a>T时，/（X）在尸-1或、一。+1时取最小值为0；故C选项正确；

D选项：当"彳时，其值域为叱），

1-4a2-4a-I

X=__!_

当且时，/G）在X__2.+2时取最大值为2。+2%。+1),其值域为

—4a2—4a—1

0,

4(tz+l)

」，故D选项错误;

故选：ABC.

x=2Ef（x）=§a

15.函数〃x）=asinx+bcosx,触.0）的图象关于.一7对称，且八‘。尸S，则（）

424

A.525

【答案】ACD

_兀

［分析］将/（x）=asinx+bcosx,（M/0）化简，结合其图象关于*一不对称,|/(^)|=V777

可得6

厂fGo）=_Qsin/+；=一

化简得6=13a,故结合''5,根据辅助角公式化简可得I3J5,判断A；利用诱导

7

公式即可判断C;利用二倍角余弦公式可求得25判断B;结合诱导公式判断D.

/(x)=asinx+6cosx=y/a2+b2sin(x+(p),(sin(p=/,,cos(p=,a)

【详解】由题意知函数y!a2+b2

x—I_t

函数/(x)=aSinX+6cosx,(abX°)的图象关于-6对称,

|/(—)|=^a2+h2\—a+^-b\=-\la2+b2

则6,即122,

化简即得（Go-bf

又‘即f(xQ)=asin与+力cosxQ=asinxQ+也acosx0

=2asin(xo+|)=|«sin'+J：

JJ,即\/A正确;

cos|-x0|=cos[—-(x0+—)]=sin(x0+—)=—

C正确；

B错误;

sin[^-(y-2x)]=cos(y-2x)=(

sin00

D正确,

故选：ACD

,f（x）=cos2x+|V3sin2x||

16.已知函数।12I则（）

71

A./（X）的最小正周期为5

_尿/,y\

B."x）的图象关于直线x-万，€,对称

一19兀11—

C./G）在112'6」上单调递减

D.g（x）=/（x）7在卜5°5兀，5。5向上的零点个数是4041

【答案】BCD

【分析】赋值满足最小正周期的数即可判断A；利用对称轴的定义对B选项判断；根据区间把函数

/'(x)=2cos2x+—

I3先分析/（x）的周期和奇偶

变形为,利用余弦型函数的单调性可判断C选项;

性，再分析8（“）在一个周期的零点个数，进而可以判断D.

【详解】对于A,

4兀FT.47113

cos-----F5/3sin—一一十一=1

3322

兀

即一（X）最小正周期不是5,故A错;

kint）_（E]kit

—+x=cos2x+—+VJsin2x+—（keZ）

222

对于B,

=|cos（2x+E）+|\/Jsin（2戈+ZTI）||

=|cos（2x+^7t）+|>/3sin2x||

Gsin2（与-x

f+（hZ）

=|cos（kn-2x）+|V3sin（kit-2x）||

=|cos（2x-E）+|V3sin2x||=|cos（2x-4兀+2%兀）+

=|cos（2x+ATT）+|V3sin2.r||

ku

x

_kn

"X~2,%eZ是/(x)的对称轴，B正确:

19兀117C19K1IK

VXG2xG

IT'T

对于c,63

.•.sin2x<0,即|6sin2x|=-Gsin2x,

3兀7兀“71I

*.*2.XH—G—,4Kcos2xH—>0

32I3j

，/（x）=2cos（2x+g[t=2x+-/e女,4兀

<3九令3,2

24兀

则歹=2cosf在_」内单调递增，故C对;

对于D,由/（T）=k°s（-2x）+|Gsin（-2x）|

_|cos2x+|\/3sin2x|=/（x）\

，'/(x)是偶函数,

f（x+7t）=|cos2（x+7t）+|\/3sin2（x+rt）||

=|cos（2x+2兀）+|V3sin（2x+2兀）||

小s2x+|Gsin2x卜\"x)周期为兀,

即g(x)也是偶函数，周期也是兀.

先分析g（x）在［0,可上零点的个数，

「八兀）

XG0,-I_r、

当L2J时，2工£［0,兀），sin2x>0,

g（x）=|cos2x+sin2x|-1=2cos-1=0

_兀_兀

解得或*=5或x=o；

XG—,7tr

当L2J时，2xe［7t,2n）,sin2x<o；

•,.g（x）=|cos2x-V3sin2^|-l=2cos［2x+y］-1=0

_n_2兀

解得或x=7；

当》=兀时，也符合题意；

综上，g（x）在［0户］有4+1=5个零点，

.•.8（》）在［°，5。5兀）上的零点个数有4*505=2020,

g。）在57t*°5兀）上的零点个数有2x2020=4040

g（x）在卜505兀,505兀］上的零点个数有4040+1

=4041

•••D选项正确.

故选：BCD

三、解答题

17.已知函数.2-x

⑴求函数/（X）解析式；

（2）判断函数/（X）的奇偶性并加以证明;

⑶解关于x的不等式/（x）N电3.

【答案】（1/3=.xe（-l,l）

（2）奇函数，证明见解析

-<x<l

⑶2

【分析】（1）通过换元法直接求出，注意定义域；

（2）通过解析式得出/（T）的式子，变形化简即可得出"r）=—/。），即可得出答案;

1g■：X+121g3、X--+--123

（3）将1-工通过对数单调性得出1-工，即可由分式不等式的解法得出答案.

【详解】⑴"1"檐二的定义域为xe（Q2）,

令，=x-i,则x=/+i,且

则/（'Rg罟，

即/㈤5言，x«Tl）；

/（-X）=1g尹=Igf丫…曰=_/（X）

（2）1+x\1—xJx

则函数/（X）为奇函数;

⑶小)=怆三，xe(Tl),

/3纳/言瑛3,

^il>32120

则1-x，化简为I—,

(2x-l)(l-x)>0

即［"I,

-<X<1

解得2

/,（x）=—sin2tyx-VJcos2cox+—_-（<y>0）

18.已知函数.22,其图象的相邻两条对称轴之间的距离为

7V

I.

（1）求函数/（X）的解析式及对称中心；

（2）将函数/（X）的图象向左平移12个单位长度，再向上平移5个单位长度得到函数g（x）的图象,

~n2T一

若关于x的方程［g（x）F+（加+2）g（x）+2m=°在区间16'3」上有两个不相等的实根，求实数加的

取值范围.

/(x)=V3sin(2x-专k7l711

+9/»rj、-^3<m<

"Tn^2/£Z).2

【答案】（1）H对称中心(2)

1+cos2a)x+百-1f(x)=VJsin(~71]_

f(x)=—sin2a)x-百•Z.COX------

【分析】(1)先将222,转化为62

7t

再利用图象的相邻两条对称轴之间的距离为5,求得周期，进而可求得解析式与对称中心.

⑵根据图象变换得到g(x)=^sin2x,再将[g(x)f+G〃+2)g(x)+2w=0,转化为

y=g(x)

[g(x)+2][g(x)+〃?]=0,解得g(x)=-2(舍)，g(x)=一叫再将问题转化)二一机有两个不同交

点的问题求解.

1+cos2cox6-1

/(x)=—sin2<vx-\/3--------------+--------

【详解】(I)，222

3.1粗、1

=—sin2ox------cos2a>x——

222

=Gsin[2妙一：)一£

2

71

V图象的相邻两条对称轴之间的距离为

：.T=7T,69=1

/(x)=6sin(2x一高一;

2

c4，kTl7T

2X------=K7TX=——+—

由6k£Z得212,A:GZ

k7U711

+，-

・••对称中心TT22,(*eZ)

(2)g(x)=6sin2x

由[g(x)F+(加+2)g(x)+2加=0,

，[g(x)+2][g(x)+m]=。，

g(x)=-2(舍)，g(x)=-tn

y=g(x)

问题转化y=~m有两个不同交点.

n2714

VXG一,一冗2xe一,一兀

6333

7171

g(x)£|,6

・•・当时，g(')递增,此时

7127V如)£一|,石

XG

当」时，g(x)递减，此时

33

—＜一加＜石一百＜m＜——

由图象知：2，即2

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的

能力，属于中档题.

19.如图，风景区的形状是如图所示的扇形Z8C区域，其半径为2千米，圆心角为60”,点尸在弧

BC上.现欲在风景区中规划三条商业街道PQ,PR，RQ,要求街道PQ与AB垂直（垂足。在Z8上），

街道H?与48平行，交ZC于点R

（1）如果P为弧8c的中点，求三条商业街道围成的APOR的面积：

（2）试求街道RQ长度的最小值.

百病_6

【答案】（I）（2）最小值为一3一千米.

【分析】（1）结合已知角及线段长，利用锐角三角函数定义及扇形面积公式可求；

（2）由已知结合锐角三角函数定义及勾股定理可表示R。，然后结合同角平方关系，辅助角公式进

行化简，然后结合正弦函数性质可求.

【详解】连接“尸，过R作垂足为D

（1）当尸为弧8C的中点时，NP/Q=3。，

在△/尸。中，AP=2,尸。：。，故尸。=1,/。=百，

在△//?£）中，RD=PQ=l,NRAD=6Q。,所以茄S60=G,则仞=行，

RP=DO=4i--=—

所以33,

S=-PQRQ=—

在直角三角形PRQ中，△PQR的面积23.

c

—=tan600=x/3AD=—sin0RP=DQ=2cos0-—sin0

又⑨，则3,所以3

RQ2=PR2+PQ2=(2cos0-—sin0)2+(2sin0)2

在直角三角形PR。中，3

=--—(cos20+2\/3sin20)=--2^11.sin(2^+q>)tanp=<<p<—