2022-2023学年上海市金山区高一年级下册学期3月统考数学试题及答案

2022-2023学年上海市金山区高一下学期3月统考数学试题

一、填空题

1.己知集合且IwN,则实数。的值为

【答案】1

【分析】根据元素与集合的关系列式计算即得.

【详解】由题意可得：2a-l=l,解得"1.

故答案为：1.

2.已知角。的终边经过点P0'-2）,则sine=

275

【答案】一丁

【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得sin。的值.

【详解】设坐标原点为°,

由题意可得："1/=-2,|阳=』+（_2）2=有

sina目4也

故囱后5

2-

故答案为：5

3.函数歹=M0-1）的定义域为.

【答案】（1,+8）

【分析】根据对数函数的性质求该对数型函数的定义域即可.

【详解】要使该函数有意义，则需x-l>0,解得：X>1

...函数kIn（x-1）的定义域为（1收）

故答案为：（L+8）

4.将内正化为有理数指数基的形式为.

8

【答案】、

【分析】根据分数指数事的定义与运算求解.

【详解】由题意可得：・小=〃等=。5.

8

故答案为:

亚

cosa=——

5.己知角a是第四象限角，且5,则sina+cosa的值为.

_^5

【答案】5

【分析】利用同角三角关系运算求解，注意符号看象限.

出-------—275

cosa=——sina=-vl-cos-a=--------

【详解】•••角a是第四象限角，且5,则5,

,上加

sina+cosa=------

5.

_V5

故答案为：5.

6.己知函数了=1+以+1,工€&2］（a,6eR且6<2）是偶函数，则a+6的值为

【答案】-2

【分析】根据奇偶函数的性质结合二次函数的对称性分析运算.

【详解】由题意可得：函数夕=/+办+1的对称轴为），轴，且定义域关于原点对称,

%+2=0

_£=0］=-2

则［5,解得M=o,

故a+b=-2.

故答案为:-2.

7.已知3"=6,用机表示噫54为.

【答案】帆+2鼎2+m

【分析】先根据指对互化可得”'nbg*,再结合对数运算求解.

【详解】v3"'=6,则，〃=1吗6,

22

log354=log3（6x3）=log36+log33=m+2

故答案为：机+2.

11

一+一

8.设“、方为正数，且。+6=1,则。°的最小值为.

【答案】4

【解析】基本不等式中“1的代换”求最值.

【详解】因为。、b为正数，且。+人=1,

—+—=(—+—)x1=(—+—)x(a+/7)=1+—4--+1>2+2/—x—=4

所以。bababbaAVba,

当且仅当。=6=1时取等号

1+1

即ab的最小值为4.

故答案为：4

【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等”

(1)“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值：要求积的最大值，则必须把

构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不

是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区

间单调，可以利用单调性求最值或值域.

9.己知常数。>°且a*1，无论a取何值，函数'=b8"(3苫-5)-4的图像恒过一个定点，则此定

点为•

【答案】Qi)

【分析】利用对数函数性质可知，只需令3x-5=1即可求出了=(3、一5)-4的图像恒过的定点的

坐标.

【详解】因为y二噫”的图像必过0，°),即bg」=°,

当3x-5=l,即x=2时，V=log“(3x-5)-4=-4,

从而y=log.(3》-5)-4图像必过定点(2,T)

故答案为：(2,-4).

10.已知集合/={x1(a-M+3x-2=0}有且仅有两个子集，则实数0=

【答案】1或一1

【分析】结合已知条件，求出(a-Dx2+3x-2=°的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元

二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可.

【详解】若4恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，

2

x=­

①当。=1时，3,满足题意；

②当。工。时，△=8。+1=0,所以“8,

综上所述，。=1或”一.

故答案为：1或一£

U设/（x）="2-（a+l）x+l,”d一于力，若函数V=/（x）在定义域上满足：①是非奇非偶函

数；②既不是增函数也不是减函数；③有最大值，则实数a的取值范围是.

【答案】I2）

【分析】对①：根据奇偶函数的定义可得a*T;对②：分类讨论可得二次项系数小于零，且对

称轴为“2a2,2）t求出。的取值范围；对③：结合②中所求的范围验证即可.

【详解】对①：..."x）+/（-x）=W-（a+l）x+fHa（T）2-（“+l）（-x）+l]=232+l）wO,即

故/（X）不是奇函数；

若/（X）是偶函数，则"x）-"r）=W-（a+l）x+lH"r）2-（a+l）（-x）+l]=-2（a+l）x=0,

可得a+l=O,Bpa=-1.

故若/（X）是非奇非偶函数，则4*7；

对③：若/（X）在I22J上有最大值，则有：

当”=0时，则/（x）=r+l在I22J上单调递减，无最值，不合题意；

_。+1

当"0时,则/（x）=_2_（"+l）x+l为二次函数且对称轴为x_2a,

a<0

Ia+\\1

——<——<—a<—

由题意可得122a2,解得2,

r_in_）_

故若/（X）在l2'2）上有最大值，贝a/<〈一5；

]_a+11）

对②：若”一5,则/。）=--（。+1卜+1开口向下，且对称轴为“2a'5'],

故/(x)在I上既不是增函数也不是减函数；

(_°°)-i)uf—1,——

综上所述：实数。的取值范围为I2

(-00,-1)U|-1,—1j

故答案为：I2人

12.已知feR,集合4=口+1]3，+4,/+9],OgA)若存在正数"对任意”4，都有°仁，

则t的所有可能的取值组成的集合为.

【答案】{If##®}

【分析】根据题意按照，＞0,，＜-9,-4＜f＜7分类讨论，利用集合的包含关系即可列出不等式

组，解出即得解.

【详解】•••()£/,则只需考虑下列三种情况:

.-.-e—U—

aG+l]U'+4"+9]

(1)当，＞。时,a"+9r+4jU+lt

A44/i?!

--------------------------

又力＞0,贝dZ+9t+4]\_t+lt\

几4IIAA,r--1A,A,||A,A,r.ci

v—eA——~U—=山+1]—--U—q，+4,/+9]

a,所以U+9f+4」U+lt\''或L+9f+4」L+lt\」或

AA,rqAXr.ci

779山+卜+灯

<t+9

①当[f+9)+41[f+l、[*，+时，[/-'+,即5+9)4/l4f(f+l),而易知，

(+9)＞(+1),所以这样的工不存在；

—^―N/+4

£+9

4XII'■丸「1/1Q14c

②当仁加才「["T715'+]时，，即(，+仇+9)4444+9),显然这样

的2不存在；

z___z_-1AAr-I

③当[f+9)+4G\t,t+*]>-[>7u[f+4,r+9]

时,

——>t

t+9

—<t+\

一+4

-^->Z+4

1+1

2/(1+9)«4W/(t+9)

.?,可得：.C+l)C+4)4,4(，+l)C+4),.,.几=f(/+9)=(/+l)(f+4),解得f=l

(2)当，+9<。时，即当，<-9时，与(i)同理，解得，=1,不合题意，舍去；

\,八---,——u『+4,f+9],二一，一cP，z+ll

(3)当口+4>0时，即当时，只有L+9，+4」[f+1tJ

r+1

-<t+\

-^―>Z+4

f+9

——<r+9

(7+44=(+l)=C+4)0+9),解得，=-3

所以可得:

综上所述:/=[或—3

{1,-3}

故答案为:

【点睛】关键点点睛:本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过

4

，的不同取值范围，得到。与Z所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于几的等量关系，

从而构造出关于，的方程；难点在于能够准确地对，的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有

较高的要求.

二、单选题

13.已知a>b,其中a、heR,则下列不等式一定成立的是（）

A./>/B-a>-bc.公孤D.同,网

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用不等式性质判断B,C；举例说明判断A,D作答.

【详解】对于A,取"1，6=-2,满足a>b,而/=i<4=〃，故A错误；

对于B,因。>人，则-“<-6,故B错误；

对于C,由不等式的性质知，若a>b,则折>逐，故C正确；

对于D,取满足a>b,而|止1<2=|6],故D错误.

故选：C

14.设xeR,贝是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解不等式,一“<2得一l<x<3,然后判断充分性和必要性即可.

【详解】解不等式卜一1<2得

当-l<x<3时-l<x<5一定成立，但是当-l<x<5时，-l<x<3不一定成立，所以“上一1|<2„是

T<x<5的充分不必要条件.

故选：A.

15.设集合/、8、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（）

A.若4cB=BcC,则/=CB.若B=BuC,则/=C

C.若4uB=BcC,则Cu8D,若/口5=811。，则CC

【答案】D

【分析】取特例，根据由集合的运算关系可判断ABC,根据集合的交、并运算，子集的概念可判

断D.

【详解】对于A,4cB=BcC,当"={1,2},8={1},。={1,2,3}时，结论不成立，则A错误；

对于B,=当/={1,2},8={3},6={1,2,3}时，结论不成立，则B错误；

对于C,AuB=BcC,当/={1},B={1,2},C={1,2,3}时，结论不成立，则c错误；

对于D,因为AC\B=B{jCt所以BuC1B,又8±8UC,所以8=8UC,则

CjB,则D正确.

故选：D

16,已知/O*”,若关于'的方程"（X）—"/（X）一“一”=1有且仅有两个不同的整数解，

则实数〃的取值范围是（）.

A.-万'jB.-50）C.[刈D.{°}

【答案】A

【分析】根据方程=等价于/G）2a且“x）4a+l

,将问题转化为

/(x)的图象夹在直线y=〃和y="+1

之间的部分有且仅有两个整数解求解.

【详解】解:要使方程相)-4+匹)-”“=1,

当且仅当且/GT"十】，

即方程等价于且/G)Va+l,

即。“6)4。+1,

所以方程W(x)-4+/(x)-"-"=l有且仅有两个不同的整数解，

即/(x)的图象夹在直线夕="和y="+i之间的部分有且仅有两个整数解,

所以要使"'/。卜"+1的整数解有且仅有两个解，

则其中一个整数解为0和-1，

a<0

,11311

—4。+1<——Wa<—

即124,解得2-4,

故选：A

三、解答题

17.已知集合”=岗。-2<》<。+2},八卜片>°[

⑴求集合8；

QW求实数。的取值范围.

[答案]⑴8={巾"或x<-l}

（2）（-8，-3]34，+°°）

【分析】（1）根据分式不等式求解集合8；

（2）根据集合的包含关系运算求解.

【详解】⑴・••x-2>,则（x+l）（x-2）>0,解得述>2或x<-l,

故5=种〉2或2.

（2）若/=贝ij"2N2或a+24-l,即或“4-3,

故实数a的取值范围为（F'TIUK，”）

18.已知小）=/+改+。.

（1）若函数'有零点，求实数0的取值范围；

（2）若方程/（"）=°有两个实根心三，求X；+后的最小值.

【答案】（1）（-8，°]U[4,+OO）

（2）0

【分析】（1）根据题意集合二次函数的△判别式运算求解；

（2）利用韦达定理整理可得x：+*=/-2a,结合二次函数的性质求最值.

【详解】（1）由题意可得：A=a2-4a>0,解得aN4或a40,

故实数a的取值范围为（一°°⑼34,长0）

（2）由/G）=x2+ax+a=0,可得演+%=-凡为与=°,

2

则X；+%2=（玉+/）-2%^2=a-2a

...y=/_2a的对称轴为°=i,

注意到ae（-8，°]u[4,+8）,则当a=0时，/_2a取到最小值°,

即才+考的最小值为0.

19.某城市2023年1月1日的空气质量指数（简称40/））与时间x（单位：小时）的关系

满足下图连续曲线，并测得当天N。/的最大值为103.当xe10[4]时，曲线是二次函数图

像的部分；当xe°4,24]时，曲线是函数，=l02-log2（x-13）图像的一部分.根据规定，空气质量

指数的值大于或等于100时，空气就属于污染状态.

⑴求当xe[0,14]时，函数卜=/00的表达式；

（2）该城市2023年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由.

【答案】（/3=一*72）2+1。3心[0叫

⑵[12-2岛7],理由见详解

【分析】（1）根据图象结合二次函数运算求解；

小）=卜:（12）2+103”[0,14]

⑵由⑴可得[102-log2（x-13）,xe（14,24]（分类讨论解不等式"x"⑼即可得结果.

【详解】（1）当xe[°」4]时，有图像可得：二次函数开口向下，顶点坐标为°2，1°3）,且过

(10,102),(14,102)

可设/(x)=a(x-12)2+103,"0

代入点0°1°2)可得。(*12)2+103=102,解得

故当xe[0,14]时，/(X)=-*T2)2+103

/(x)=H(12)2+103,xe[0,14]

102-log(x-13),xe(14,24]

（2）由（1）可得:2

当俎。，14]时,令人）=-：（12）2+心1。。，解得12_2尺臼4；

当xe（14,24]时，令/。）=102-皿。-13竺100,解得14<X417；

综上所述：当百,17］时，空气属于污染状态

f（x）=-

20.已知.''4-x2.

（1）判断并证明函数,=/（*）的奇偶性；

（2）判断并证明函数夕=/0）在区间Q，+8）上的单调性；

（3）根据函数）‘=/（”）的性质，画出函数卜=/（X）的大致图像.

【答案】（1）偶函数；

（2）单调递增；

（3）详见解析.

【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义判断；

（2）利用函数的单调性的定义判断；

（3）根据函数的定义域，单调性和奇偶性画出.

【详解】（1）解：因为函数/G）的定义域为（-00'—2）U（-2,2）U（2,+oo）关于原点对称,

1

=/G)

又因为4-（-x）4-x2

所以/（X）是偶函数:

(2)任取司02w[2,+oo),且X]＜》2,

则4一/4T2,

二项2一/2=Gf)(%+%)

(4-Xl2X4-X22)(4-Xl2X4-X22),

因为王,々€［2,+8）,

所以（4-再2X，_々2）＞0,X,+x2＞0

又因为玉＜々，所以玉一々＜0,

所以/（3）一/（々）＜。，即/（工1）＜/（%2）,

所以函数/（X）在区间（2,+8）上单调递增；

（3）由（2）同理可得,（X）在区间1°，2）上单调递增，

由（1）知/G）是偶函数，则/（X）在（-8，-2）和（-2,0］上单调递减,

所以其图象如图所示：

为

r--1—r—।-------------1—।---------T-----------1-r--i---

IIII।iiii

LJ.1IIIIII1

21.已知函数了二/。）的定义域为。，区间"U。，若存在非零实数，使得任意xe"都有

x+teD,且/（x+，）＞/（x）,则称了=/（'）为加上的”增长函数.

3_

⑴已知/（x）="判断函数'=/（"）是否为区间［T°］上的5一增长函数，并说明理由；

（2）已知〃＞0,设g（x）=x;且函数》=g（x）是区间卜4-2］上的〃-增长函数，求实数〃的取值范

围；

（3）如果函数尸"（"）是定义域为R的奇函数，当北。时，卜一/卜"2,且函数尸"（X）为

R上的4-增长函数，求实数。的取值范围.

【答案】（1）是，理由见详解

（2）3+°0）

（3）（一1」）

【分析】(1)根据题意结合函数单调性分析运算:

(2)根据题意整理可得2〃x+〃2>°对Vx*[-4,-2]恒成立，根据恒成立问题结合一次函数分析运算;

(3)根据函数的单调性，先取特值x=-M,可求得再证明当时，对任意

xeR,均有人。)<g+4)

3_

【详解】(1)数)’=/(x)为区间卜1'°]上的万一增长函数，理由如下：

由题意可知：/。)=、在口匕单调递增，

对Vxe[-l,O],则2，可得(2),

3_

故函数y=/G)为区间[T，°]上的5-增长函数.

(2)若函数g(x)=x?是区间14-2]上的〃一增长函数，

可得对心€卜4,一21则g(x+〃)>g(x),即0+〃)2>》2,

可得2nx+”2>0对TxG[T，12]恒成立，

-8〃+/〉o

<一4〃+/>0

则，解得〃>8,

故实数〃的取值范围为(&+°°).

22X,()X<a

h(x)^\x-a\-a=[~-2\

(3)由题意可得：[x-2a,x>a-(

...函数，=〃(x)是定义域为R的奇函数，