高数第十二章幂级数

高数第十二章幂级数第一页，共三十九页，编辑于2023年，星期二一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域

;若常数项级数为定义在区间I上的函数,称收敛,发散,所有为其收为其发散点,发散点的全体称为其发散域

.机动目录上页下页返回结束第二页，共三十九页，编辑于2023年，星期二为级数的和函数

,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n

项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是

x

的函数称它机动目录上页下页返回结束第三页，共三十九页，编辑于2023年，星期二例如,

等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如,

级数级数发散;所以级数的收敛域仅为有和函数机动目录上页下页返回结束第四页，共三十九页，编辑于2023年，星期二二、幂级数及其收敛性

形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数为幂级数的系数

.即是此种情形.的情形,即称机动目录上页下页返回结束第五页，共三十九页，编辑于2023年，星期二发散发散收敛收敛发散定理1.(Abel定理)

若幂级数则对满足不等式的一切x

幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证:

设收敛,则必有于是存在常数M>0,使阿贝尔目录上页下页返回结束第六页，共三十九页，编辑于2023年，星期二当时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的x,原幂级数也发散.时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,证毕机动目录上页下页返回结束第七页，共三十九页，编辑于2023年，星期二幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出,中心的区间.用±R

表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=

时,幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，在[－R,R]可能收敛也可能发散.外发散;在(－R,R)称为收敛区间.发散发散收敛收敛发散机动目录上页下页返回结束第八页，共三十九页，编辑于2023年，星期二定理2.

若的系数满足证:1)若≠0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,即时,则机动目录上页下页返回结束(或)第九页，共三十九页，编辑于2023年，星期二2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除x=0以外的一切x原级发散,对任意

x原级数因此因此的收敛半径为说明:据此定理因此级数的收敛半径机动目录上页下页返回结束第十页，共三十九页，编辑于2023年，星期二对端点

x=－1,

的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,级数为交错级数收敛;

级数为发散.故收敛域为例1.求幂级数

机动目录上页下页返回结束第十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期二例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=1机动目录上页下页返回结束第十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期二例3.的收敛半径.解:

级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接由机动目录上页下页返回结束第十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期二例4.的收敛域.解:

令级数变为当t=2

时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即机动目录上页下页返回结束第十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期二机动目录上页下页返回结束例5.

求幂级数解:定理2的条件不满足,故不能直接应用定理2。考虑用根值求法：的收敛半径.从而说明:

可以证明比值判别法成立根值判别法成立第十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期二例2

求下列幂级数的收敛区间:解该级数收敛该级数发散第十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期二第十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期二发散收敛故收敛区间为(0,1].第十八页，共三十九页，编辑于2023年，星期二三、幂级数的运算定理3.

设幂级数及的收敛半径分别为令则有:第十九页，共三十九页，编辑于2023年，星期二乘法(其中柯西乘积第二十页，共三十九页，编辑于2023年，星期二(3)除法(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)第二十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期二说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如,设它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是机动目录上页下页返回结束第二十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期二定理4

若幂级数的收敛半径(证明见第六节)则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:注:

逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变.机动目录上页下页返回结束第二十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期二说明：利用定理4,我们可以求得一些幂级数的和机动目录上页下页返回结束和函数,具体的步骤如下:(1)先求幂级数的收敛半径和收敛域；(2)在收敛区间内,利用逐项积分或逐项求导得到关于和函数的积分方程式或微分方程式,解方程求和函数；(3)讨论端点的情况,给出收敛域的和函数.第二十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期二解两边积分得第二十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期二第二十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期二解:

由例2可知级数的收敛半径R＝+∞.例5.则故有故得的和函数.因此得设机动目录上页下页返回结束第二十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期二例6.

的和函数解:

易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,机动目录上页下页返回结束第二十八页，共三十九页，编辑于2023年，星期二例7.

求级数的和函数解:

易求出幂级数的收敛半径为1,及收敛,机动目录上页下页返回结束第二十九页，共三十九页，编辑于2023年，星期二因此由和函数的连续性得:而及机动目录上页下页返回结束第三十页，共三十九页，编辑于2023年，星期二解第三十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期二第三十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期二解收敛区间(-1,1),第三十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期二例8.解:

设则机动目录上页下页返回结束第三十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期二而故机动目录上页下页返回结束第三十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期二常用已知和函数的幂级数第三十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期二内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.机动目录上页下页返回结束第三十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期二2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思考与练习1.

已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时