2023年高考文科数学真题及答案全国卷

千里之行，始于足下让知识带有温度。第2页/共2页精品文档推荐高考文科数学真题及答案全国卷2022年高考文科数学真题及答案全国卷1

本试卷分第Ⅰ卷（挑选题）和第Ⅱ卷（非挑选题）两部分，满分150分，考试时光120分钟。

第Ⅰ卷（挑选题共60分）

一、挑选题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，惟独一项是符合题目要求的．

1．(2022课标全国Ⅰ，文1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝()．

A．{1,4}

B．{2,3}

C．{9,16}

D．{1,2}

【答案】A

【考点】本题主要考查集合的基本学问。

【解析】∵B＝{x|x＝n2，n∈A}＝{1,4,9,16}，

∴A∩B＝{1,4}．

2．(2022课标全国Ⅰ，文2)212i1i+(-)

＝()．A.?1?12iB．11+i2

-C．1+12iD．1?12i【答案】B

【考点】本题主要考查复数的基本运算。【解析】212i12i12ii2i1i2i22++(+)-+===(-)-＝11+i2

-.3．(2022课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的肯定值为2的概率是()．

A．12

B．13

C．14

D．1

6

【答案】B

【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。

【解析】由题意知总大事数为6，且分离为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的大事数是2，所以所求的概率为13

.4．(2022课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C：2222=1xyab

-(a＞0，b＞0)

的离心率为2，则C的渐近线方程为()．A．y

=±14xB．y=±13xC．12

yx=±D．y=±x【答案】C

【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。

【解析】∵e=

ca=2254

ca=.∵c2＝a2＋b2，∴2214ba=.∴12

ba=.∵双曲线的渐近线方程为byxa

=±，

∴渐近线方程为12

yx=±.故选C.5．(2022课标全国Ⅰ，文5)已知命题p：?x∈R,2x＜3x；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()．

A．p∧q

B．?p∧q

C．p∧?q

D．?p∧?q

【答案】B

【考点】本题主要考查常用规律用语等基本学问。

【解析】由20＝30知，p为假命题．令h(x)＝x3－1＋x2，

∵h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，

∴x3－1＋x2＝0在(0,1)内有解．

∴?x∈R，x3＝1－x2，即命题q为真命题．由此可知惟独?p∧q为真命题．故选B.

6．(2022课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为23

的等比数列{an}的前n项和为Sn，则()．A．Sn=2an?1B．Sn=3an?2C．Sn=4?3anD．Sn=3?2an

【答案】D

【考点】本题主要考查等比数列前n项和公式。【解析】11211321113n

nnnaaaqaqSqq--(-)===＝3－2an，故选D.7．(2022课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，假如输入的t∈[－1,3]，

则输出的s属于()．

A．[－3,4]

B．[－5,2]

C．[－4,3]

D．[－2,5]

【答案】A

【考点】本题主要考查程序框图的熟悉、分段函数求值域及水性结合的思想。

【解析】当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈[－3,3)．

当1≤t≤3时，s＝4t－t2.

∵该函数的对称轴为t＝2，

∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．

∴smax＝4，smin＝3.

∴s∈[3,4]．

综上知s∈[－3,4]．故选A.

8．(2022课标全国Ⅰ，文8)O为坐标原点，F为抛物线C：y2

＝的焦点，P为C上一点，若|PF|

＝，则△POF的面积为()．

A．2B

．C

．D．4

【答案】C【考点】本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想及运算能力。

【解析】利用|PF|＝Px=xP＝∴yP＝±∴S△POF＝

12|OF|·|yP|＝故选C.

9．(2022课标全国Ⅰ，文9)函数f(x)＝(1－cosx)sinx在[－π，π]的图像大致为()．

【答案】C

【考点】本题主要考查数形结合思想及对问题的分析推断能力。

【解析】由f(x)＝(1－cosx)sinx知其为奇函数．可排解B．当x∈π0,2????

?

时，f(x)＞0，排解A.当x∈(0，π)时，f′(x)＝sin2x＋cosx(1－cosx)＝－2cos2x＋cosx＋1.令f′(x)＝0，得2π3

x=.故极值点为2π3x=，可排解D，故选C.10．(2022课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分离为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()．

A．10

B．9

C．8

D．5

【答案】D

【考点】本题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解三角形以及方程思想。

【解析】由23cos2A＋cos2A＝0，得cos2A＝125.∵A∈π0,2?????

，∴cosA＝15.∵cosA＝2364926bb+-?，∴b＝5或135

b=-(舍)．故选D.

11．(2022课标全国Ⅰ，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何

体的体积为()．

A．16＋8π

B．8＋8π

C．16＋16π

D．8＋16π

【答案】A

【考点】本题主要考查三视图。容易组合体的体积。

【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．

V半圆柱＝12

π×22×4＝8π，V长方体＝4×2×2＝16.

所以所求体积为16＋8π.故选A.

12．(2022课标全国Ⅰ，文12)已知函数f(x)＝22,0,ln(1),0.xxxxx?-+≤?+>?

若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()．A．(－∞，0]B．(－∞，1]

C．[－2,1]

D．[－2,0]

【答案】D

【考点】本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想、利用导数讨论函数间关系，对分析能力有较高要求。

【解析】可画出|f(x)|的图象如图所示．

当a＞0时，y＝ax与y＝|f(x)|恒有公共点，所以排解B，C；

当a≤0时，若x＞0，则|f(x)|≥ax恒成立．

若x≤0，则以y＝ax与y＝|－x2＋2x|相切为界限，

由2,2,

yaxyxx=??=-?得x2－(a＋2)x＝0.∵Δ＝(a＋2)2＝0，∴a＝－2.

∴a∈[－2,0]．故选D.

第Ⅱ卷（挑选题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2022课标全国Ⅰ，文13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝______.

【答案】2

【考点】本题主要考查向量的基本学问及运算。

【解析】∵b·c＝0，|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝111122??

=.∴b·c＝[ta＋(1－t)b]·b＝0，

即ta·b＋(1－t)b2＝0.

∴12

t＋1－t＝0.∴t＝2.

14．(2022课标全国Ⅰ，文14)设x，y满足约束条件13,10,xxy≤≤??

-≤-≤?则z＝2x－y的最大值为______．

【答案】3

【考点】本题主要考查容易的线性规划问题。

【解析】画出可行域如图所示．

画出直线2x－y＝0，并平移，当直线经过点A(3,3)时，z取最大值，

且最大值为z＝2×3－3＝3.

15．(2022课标全国Ⅰ，文15)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．【答案】9π2

【考点】本题主要考查球及基本几何体的基本学问。

【解析】如图，

设球O的半径为R，

则AH＝

23R，OH＝3

R.又∵π·EH2＝π，∴EH＝1.∵在Rt△OEH中，R2＝22+13R?????

，∴R2＝98.∴S球＝4πR2＝9π2.

16．(2022课标全国Ⅰ，文16)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝______.

【答案】【考点】本题主要考查三角函数的化简与求值。

【解析】∵f(x)＝sinx－2cosx

x－φ)，

其中sinφ

＝

，cosφ

＝当x－φ＝2kπ＋π2

(k∈Z)时，f(x)取最大值．即θ－φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，θ＝2kπ＋π2

＋φ(k∈Z)．∴cosθ＝πcos2???+???＝－sinφ

＝5-.三、解答题：解答应写出文字说明，证实过程或演算步骤．

17．(2022课标全国Ⅰ，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求数列21211nnaa-+??????

的前n项和．

【考点】本题主要考查等差数列的基本学问，特别数列的求和等。【解析】(1)设{an}的公差为d，则Sn＝1(1)2nnnad-+

.由已知可得{3a1+3d=05a1+10d=?5解得a1＝1，d＝－1.

故{an}的通项公式为an＝2－n.

(2)由(1)知21211nnaa-+＝1111321222321nnnn??=-?(-)(-)--??

，从而数列21211nnaa-+???

???的前n项和为＝12nn

-.18．(2022课标全国Ⅰ，文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分离称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时光后，记录他们日平均增强的睡眠时光(单位：h)．实验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增强的睡眠时光：

0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日平均增强的睡眠时光：

3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5

(1)分离计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？

(2)按照两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

【考点】本题主要考查统计的基本学问。茎叶图等。

【解析】(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.

由观测结果可得

x＝1

20

(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋

3.5)

＝2.3，

y＝1

20

(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋

3.2)

＝1.6.

由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：

从以上茎叶图可以看出，A药疗效的实验结果有

7

10

的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的实验结果有

7

10

的叶集

中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．

19．(2022课标全国Ⅰ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

(1)证实：AB⊥A1C；

(2)若AB＝CB＝2，A1C，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．

【考点】本题主要考查线面垂直问题，考查空间想象能力、规律思维能力、

运算能力及转化能力。

【解析】

(1)取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.

由于CA＝CB，所以OC⊥AB.

因为AB＝AA1，∠BAA1＝60°，

故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.

由于OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.

又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.

(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，

所以OC＝OA1

又A1C，则A1C2＝OC2＋2

1

OA，故OA1⊥OC.

由于OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．

又△ABC的面积S△ABC，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.

20．(2022课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)研究f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

【考点】本题主要考查导数的基本学问，利用导数推断函数单调性、求极值。

【解析】(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.

由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.

故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.

(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，

f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·1e2x??-

???

.令f′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2.

从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)＞0；

当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)＜0.

故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．

当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．

21．(2022课标全国Ⅰ，文21)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

【考点】本题主要考查直线、圆、椭圆结合的解析几何的综合问题，考查考生的分析能力和计算能力。

【解析】由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.

(1)由于圆P与圆M外切并且与圆N内切，

所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2

(左顶点除外)，其方程为22

=143

xy+(x≠－2)．(2)对于曲线C上随意一点P(x，y)，因为|PM|－|PN|＝2R－2≤2，

所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.

所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.

若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|

＝若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则

1||||QPRQMr=，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．

由l与圆M

＝1，解得k

＝当k

＝4

时，将4yx=代入22=143

xy+，并收拾得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2

＝47-±，所以|AB|

x2－x1|＝187

.当k

＝-时，由图形的对称性可知|AB|＝187

.综上，|AB|

＝|AB|＝187

.

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注重：只能做所选定的题目．假如多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22．(2022课标全国Ⅰ，文22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证实选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.

(Ⅰ)证实：DB=DC;

(Ⅱ)设圆的半径为1，BC=√3，延伸CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。

【考点】本题主要考查几何证实中的圆的集合性质、切线的相关定理与结论的应用。

【解析】(1)连结DE，交BC于点G.

由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.

而∠ABE＝∠CBE，

故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.

又由于DB⊥BE，

所以DE为直径，∠DCE＝90°，

由勾股定理可得DB＝DC.

(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，

故DG是BC的中垂线，

所以BG.设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.

从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，

所以CF⊥BF，

故Rt△BCF外接圆的半径等于23．(2022课标全国Ⅰ，文23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinxtyt

=+??=+?(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.

(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

【考点】本题主要考查参数方程、极坐标方程、一般方程的互化。

【解析】(1)将45cos,55