2021-2022学年广西浦北县高一年级下册学期期末模拟考试数学试题含答案

2021-2022学年广西浦北县高一下学期期末模拟考试数学试题

一、单选题

1.若角a的终边经过点(1,-6)，则sina=()

A.--B.C.；D.—

2222

【答案】B

【分析】由三角函数定义可直接求得结果.

【详解】角a的终边经过点(1,-百)，-淅。=J+卜可==.

故选：B.

2.已知向量)=(-2,1),6=(%,4),若a_Lb,则优=()

A.8B.-8C.2D.-2

【答案】C

【分析】由向量数量积直接求解.

【详解】由题意得-2"7+4=0,解得%=2.

故选：C

3.如图，过球。的一条半径OP的中点。一作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为G，则

球。的体积是()

C.32乃D.167r

【答案】A

【分析】利用勾股定理可构造方程求得球。的半径R,由球的体积公式可求得结果.

【详解】设球。的半径为R,则=解得：R=2,

ArrQO

.•.球。的体积丫=竺*=三］.

33

故选：A.

4.若i(l-z)=l,则z+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】利用复数的除法可求z,从而可求z+N.

【详解】由题设有l-z=l=J=-i,故z=l+i,故z+4=(l+i)+(l—i)=2,

11

故选：D

5.设a,£是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题中正确的是()

A.若加〃则〃〃a

B.若,plija1/3

C.若加〃"，机,则a〃/?

D.若相_1_〃,《7_10:,〃_1_£,则a〃/?

【答案】C

【分析】在正方体中通过线面关系，可举出A,B,D的反例说明不正确，由线面垂直的性质

可判断C正确.

【详解】

对于A选项，当a为面4BC。，取"为直线8C,皿为直线G片,此时满足机m//。，但不满足

n//a,故A不正确；

对于B选项，当a为面A8C3,夕为面AgCQi时，取切为直线AB,〃为直线。田，此时满足

机_L〃,/nuc,〃u£,但不满足a，/7,故B不正确；

对于C选项，由机//〃,机，4则〃，a,又n,/3,由线面垂直的性质定理可得a//〃，故C正确；

对于D选项，当a为面ABC。，夕为面BCC£时，取根为直线8瓦，〃为直线AB,此时满足

m_La,”_L/?,但不满足a〃/，故D不正确.

故选：C.

【方法点睛】判断线面关系正误时，通常可以利用正方体这个模型进行判断，很直观.

6.若2a=2,则（）

1+sin2a

A.—1B.—C.—1或—D.—

333

【答案】B

【分析】利用二倍角公式以及弦化切可得出关于tan。的等式，即可解得tana的值.

【详解】由已知1+sin2a=1+2sinacosa=（sina+cosa）-wO,则sina+cosawO,

、l-2sin2a_cos2a-sin2a_(cosa-sina)(cosa+sina)cosa-sina

"1+sin2al+2sinacos«(cosa+sina)2cosa+sina

1-tana~

-----------=2,解得tana=

1+tana3

故选：B.

7.已知某圆锥的高为3,底面半径为0,则该圆锥的侧面积为（）

A.近i兀B.2>/22^-C.2兀D.6%

【答案】A

【分析】由圆锥的侧面展开图是扇形，利用扇形的面积公式直接列式计算即可得出答案.

【详解】解：由题意得，该圆锥的侧面积为乃x0x序》=丘乃.

故选：A.

8.将函数y=cos（x-?J的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图

7T

像向左平移3个单位，得到的图像对应的解析式为（）

1（\乃、

A.y=cos—xB.y=coslyx--IC.y=cos2xD.y=cosl2x+yI

【答案】B

【分析】由三角函数的平移变换即可得出答案.

【详解】函数y=cos（x-2）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得

y=cos（；x-g）,再将所得的图象向左平移?个单位可得用对^卜+（卜与卜时/一。.

故选：B.

二、多选题

9.设。，人是两条不同的直线，d夕是两个不同的平面，下列说法错误的是()

A.若“_1_8。_11,则b〃aB.若alla,bua,则a〃6

C.若aua,hu£,a/〃?，则D.若a_La,al1/3,则aJ_77

【答案】ABC

【分析】根据空间中点线面的位置关系即可判断A,B,C错误.

【详解】当但。ua此时不能得至ljb〃e,所以A错.若a//a]ua,a*的关系可以

有：a//b,或者异面关系，故B错误.若qua,bu£,a///6的关系有：平行，异面(不垂

直)或者垂直.所以C错误.若a，a,al1/3,则故D正确.

故选：ABC

10.在二ABC中，角A、氏C所对应的边分别为〃、瓦c,a2=h2+hc,则()

A.sin2A-sin2B=sinBsinCB.》=c(l+2cosA)

C.A=2BD.ABC不可能为锐角三角形

【答案】AC

【分析】由正弦定理即可判断A选项；由余弦定理即可判断B选项；由B选项得6(l+2cosA)=c,

再结合正弦定理及三角恒等变换即可判断C选项；取特殊值说明存在锐角三角形即可判断D选项.

【详解】对于A,由正弦定理可得sin?A=sin28+sinBsinC,即sin?A-sin?B=sin3sinC，故A正

确；

对于B,c(l+2cosA)=cl+2."+：—a]=c(l+2."「二/=故B错误；

I2bcJI2bc)b

2

对于C,由上知：c(l+2cosA)=—,即以l+2cosA)=c,结合正弦定理可得

h

sin8(1+2cosA)=sinC=sin[)一(4+B)]=sin(A+8),整理得sin(A-8)=sin8,

则A—B=B或A—B+3=%,即A=23或从=乃(舍)，故C正确；

aTcab1+c2-a2h2+c2-b1-bec-hgrrr.~口,,.

对于D,cosA=-------------=------------------=------,取。=J10,/?=2,c=3,满足。=Zr+〃c,

2bc2bc2b

此时角A最大，且cosA=J>0,即A为锐角，即A8C为锐角三角形，故D错误.

4

故选：AC.

11.设函数/(x)=sin2x+6cos2x,则下列结论错误的是()

A.f(x)的最小正周期为乃B..f(x)的图像关于直线x=g对称

6

c.f(x)的一个零点为x=qD.“X)的最大值为百+1

【答案】BD

【分析】先求出〃x）=2sin[2x+5J.即可求出最小正周期和最大值，可以判断A、D；利用代入法

判断选项B、C.

【详解】函数/（工）=$皿2工+5/532%=25皿（2工+5）.

f（x）的最小正周期为江，故A正确；

•.•/（£|=2sin（2x?+q）=G*±2,"（x）的图像不关于直线x=?对称，故B错误；

V/f-^=2sin^-2x^+^=0,.•.x=q是〃x）的一个零点，故C正确；

函数〃x）=2sin（2x+?）,.•./（X）的最大值为2,故D错误.

故答案为：BD

12.如图所示，A8是半圆。的直径，侬垂直于半圆。所在的平面，点C是圆周上不同于AB的任

意一点，M,N分别为E4,VC的中点，则下列结论正确的是（）

A.MN/平面A8C

B.平面VACJ_平面VBC

C.MN与8c所成的角为45

D.OCmVAC

【答案】AB

【分析】由中位线性质，可得〃4C,由线面平行的判定定理可判断A,由线面垂直的性质可

得3，3C,据此可判断8c1平面VAC,由此知MN与8c所成的角为90。，且OC不垂直平面VAC,

判断CD,由面面垂直的判定知面%C,面VBC,判断B即可.

【详解】由〃,N分别为弘，VC的中点，则MN〃AC,又ACu平面ABC,MN<z平面ABC,，MN

平面ABC,故A正确；

又由题意得3c_LAC,因为小J■平面ABC,BCu平面ABC,所以VA_LBC.

因为ACcV<4=A,所以8c工平面侬C,所以MN与3c所成的角为90，故C错误；

因为BC1平面E4C,所以OC不垂直平面3c（否则8C7/OC,矛盾），故D错误；

因为BC人平面”IC,3Cu平面VBC,所以平面依C_L平面VBC,故B正确.

故选：AB

三、填空题

13.已知点P(-2,y)是角6终边上一点，且疝0=-半，贝”=

【答案】-4南

1717

y2上

【分析】解方程1)=一可即得解.

【详解】解：P(-2,y)是角。终边上的一点，

P到原点的距离为“(/了+尸=，4+y2,

述

sin，=——-

7^丁

4y/34

.・.y=----------

17

故答案为：-土匣

17

14.已知非零向量a,b满足同=2忖，且(。+8)，(“-36),则向量3,b夹角的余弦值为

【答案】"

【分析】利用向量数量积的运算律和向量的夹角公式计算即可.

【详解】由题意得(a+方)-(a-36)=同2_2a/-3忖°=可力.-2a为一31(=}2a/=0,所以

纲,

所以cos(a,b\=":।=—~-=—

'1|心忖2时4

故答案为：1

15.若复数z=—1+后(i为虚数单位)，则吵=.

【答案】争27r#会?

【分析】根据复数Z=-I+E，可知其实部和虚部，即可求得答案.

【详解】因为复数z=-l+6i,其实部和虚部分别为-1,6,且在第二象限

故幅角的正切值-石，由于argz€（］,兀），则argz=,,

故答案为：个271

7

16.已知sina-cosa=—,则sin2a=.

24

【答案】

【分析】将条件等式两边平方，结合平方关系和二倍角正弦公式可求sin2a.

7

【详解】因为sina-cosa=y,

）°49

所以sin2a-2sinocosa+cos2a=石，又siYa+cos2a=1,

.2424

所以2sinacosa=-----,故sin2a=------,

2525

24

故答案为：一石.

四、解答题

17.已知向量〃=（sina,cosa）,=

⑴若a与b共线，求。的值；

⑵若（a+砌_L（a-劝），求X的值.

【答案】（l）a=?JT

O

⑵，=土；

【分析】（1）利用向量共线的坐标形式可求a的值；

（2）利用向量垂直得到它们的数量积为0,从而可求两个向量模的关系，从而可求2的值.

【详解】（1）因为［与B共线，所以Ixcosa=>^sina即tana=3，

3

而故a=/

（2）因为（a+财）,（a-劝），故（a+训（a-劝）=0即@=无，，

而卜卜Jsit?a+cos?a=1,%=2,故1=42?即2=±-.

18.如图，在正方体ABC。—AgG。中，£为棱。，上的点.

(1)证明：AA-，平面瓦；

(2)证明：平面E4c_L平面8。。内.

【答案】(1)证明见详解

(2)证明见详解

【分析】(1)由正方体性质和线面平行判定定理直接可证；

(2)根据面面垂直判定定理将问题转化为AC，平面8DRM，然后由正方体性质可证.

【详解】(1)由正方体性质可知，MBB、

又因为A41a平面8。。蜴，84<=平面8。£>百，

所以AA，平面8。£>百

(2)因为底面ABCD为正方形，

所以AC18。

因为8与J.平面ABC。，ACu平面ABC。，

所以

因为B81CB£>=8,平面3£>u平面8£>£>蜴，

所以AC,平面BDR用

又ACu平面ACE,

所以平面E4C_L平面8。口蜴

19.函数〃x)=Asin®x+e)(A>0,a)>0,0<。<))的图象如图所示.

⑴求函数y=〃x）的解析式；

（2）当xe喉器时，求函数y=/（x）的值域.

【答案】（l）”x）=sin（2x+1

【分析】（1）利用函数图象可求A,周期T,利用周期公式求。，由sin12xq+s>

0,结合0<。〈万

可求化函数的解析式可得（2）根据x的范围确定2x+?的范围，进而根据正弦函数的性质求得函

数的值域

【详解】（1）；由函数图象可得：A=l,

周期（信-？吟，解得：-2,

又•••点0）在函数图象上，可得：sin（5+/=0,

二解得：(p=kn-q,keZ,结合°<0〈万，可得夕=(,

"(x)=sin(2x+5).

c冗7t7/r

2.XH--G

366

/.sin2x+—G

I3j2

即函数〃x）的值域为:J

20.ABC中，sin2A—sin2B—sin2C=sinBsinC.

（1）求4；

（2）若BC=3,求一4?C周长的最大值.

【答案】（1）y;（2）3+2力.

【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cosA的形式，进而求得A；

（2）方法一：利用余弦定理可得至lJ（AC+AB）2-ACAB=9,利用基本不等式可求得AC+A3的最

大值，进而得到结果.

【详解】（1）由正弦定理可得：BC2-AC2-AB2=ACAB,

(2)［方法一］【最优解】：余弦+不等式

由余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2ACABCOSA=AC2+AB2+ACAB=9,

即(AC+AB)2-AC-A3=9.

AC+A8

ACAB<（当且仅当AC=AB时取等号）,

--2

9=(AC+AB?-ACAB>(AC+AB)2=;(AC+A8)2,

解得：AC+AB<2y/3(当且仅当AC=A3时取等号)，

ABC周KL=AC+A8+BC43+2K，.'AB。周长的最大值为3+2抬.

［方法二］:正弦化角(通性通法)

设B=f+a,C=g-a,则根据正弦定理可知三=3=三=26,所以

6o66sinAsmnsinC

b+c=2^3(sinB+sinC)=2A/3sin("^+a)+sin［7—a］］=26cosa<2百，当且仅当a=0,即

3=C=m时，等号成立.此时ABC周长的最大值为3+26.

［方法三］:余弦与三角换元结合

在、ABC中，角A,B,。所对的边分别为mb,c.由余弦定理得9=层+^+加，即

/?+—c=3sin/

/7+—c+-c2=9.令<20e

C=2A/3cos0

Z?+c=3sin0+V3cos0=2>/3sine+.卜26,易知当C=5时，0+^=2^,

6

所以ABC周长的最大值为3+26.

【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三

角形周长最大值的求解问题；

方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求

得最值.

方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限

制条件的，则采用此法解决.

方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.

21.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产“，我国

拥有世界上最深的海洋蓝洞.为测得如图所示的海洋蓝洞口径(图中AB两点间的距离)，现在珊瑚

群岛上取两点C和。，测得CD=45m,ZADB=135°,ZBDC=ZDCA=\50,ZACB=\20°.

(1)求4。两点的距离；

(2)判断此海洋蓝洞的口径是否超过100m.

【答案】(1)45m；(2)此海洋蓝洞的口径是超过

【分析】(1)由边角关系得八4£9为等腰三角形，进而求得答案;

(2)在△88中，利用正弦定理得B£>=45>6(m),在△ABQ中，由余弦定理得AB=45石(m),进而

判断即可.

【详解】解：(1)在aACZ)中，ZADC=ZADB+ZBDC=150,

ZDCA=15°,

:.ZDAC=]5°,

.'ADC为等腰三角形，..40=8=45(0!),

A、。两点的距离45m

(2)在△BCD中，ZBDC=15°,ZBCD=ZACB+ZACD=135,

:.ZCBD=30°,由正弦定理