2021-2022学年广西河池市罗城仫佬族自治县高一年级上册学期线上教学质量检测数学试题含答案

2021-2022学年广西河池市罗城彳么佬族自治县高一上学期线上教学质

量检测数学试题

一、单选题

1.已知集合4=口次一1±0},8={0,1,2},则AB=

A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2)

【答案】C

【分析】由题意先解出集合A,进而得到结果.

【详解】解：由集合A得x"I,

所以AcB={l,2}

故答案选C.

【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.

2.下列函数中，与函数>=已有相同定义域的是

A./(x)=lnxB.f(x)=-C./(x)=WD.f(x)=ex

【答案】A

1

【详解】试题分析：、/&的定义域为/(幻二七-丫的定义域为"尸^^,选人.

【解析】函数的定义域.

3.若函数y=(a+l)x+。，xeR在其定义域上是增函数，贝U()

A.a>-\B.a<-\

C.b>0D.b<0

【答案】A

【分析】根据一次函数的性质列出不等式，求解即可得到答案.

【详解】根据一次函数的性质可得。+1>0,解得

故选：A.

4.设_/U)为奇函数，且当於0时，y(x)=e*-l,则当x<0时，式x)=

v

A.e--lB.e"+l

C.-e-'-lD.-e,+l

【答案】D

【分析】先把x<0,转化为-x>0,代入可得/X-x),结合奇偶性可得/(x).

【详解】/*)是奇函数，xNO时，f{x}=ex-\.

当x<0时，-x>0,f(x)=-f(-x)=-e~'+1,得f(x)=-eT+l.故选D.

【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养.采取代换法，利

用转化与化归的思想解题.

5.己知a=log2().2，匕=2°tc=0.2°3,则

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<hD.b<c<a

【答案】B

【分析】运用中间量0比较即％运用中间量1比较mc

【详解】a=log20.2<log21=0,6=2"2>2°=l,0<0.2°3<0.2°=l4iJ0<c<lM<c</7.故选B.

【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养.采取中间变量法，利

用转化与化归思想解题.

‘2'Tx<1

6.设函数f(x)=,：-，则满足/(x)42的x取值范围是

1-log,x,x>\

A.f-1,2]B.[0,2]C.[l,+℃)D.[0,+<®)

【答案】D

【分析】根据函数解析式，结合指对数函数的单调性，讨论不同区间对应〃x)42的x范围，然后取

并.

[x<1fx>l

【详解】由cic，可得04x41；或一「°,可得x>l;

[2<2[l-log,x<2

综上，的x取值范围是[0,+8).

故选：D

7.已知函数：①y=2x；②y=k)g2X；③y=xr；④y=[;则下列函数图像(第一象限部分)从左到

右依次与函数序号的对应顺序是()

yyy

c.④①③②D.④③①②

【答案】D

【详解】图一与幕函数图像相对应，所以应为④；图二与反比例函数相对应，所以应为③；图三与

指数函数相对应，所以应为①；图四与对数函数图像相对应，所以应为②.

所以对应顺序为④③①②，故选D.

e、x<0

8.已知函数/(x)=〈'一一：g(x)=/(x)+x+a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是

Inx,x>0,

A.[-1,0)B.[0,+oo)C.[-1,+oo)D.[1,+oo)

【答案】C

【详解】分析：首先根据g(x)存在2个零点，得到方程/(x)+x+a=0有两个解，将其转化为

/(x)=-x-。有两个解，即直线》=-x-a与曲线丫=/(幻有两个交点，根据题中所给的函数解析式,

画出函数f(x)的图像(将e*(x>0)去掉)，再画出直线y=-x,并将其上下移动，从图中可以发现,

当时，满足尸r-a与曲线y=/(x)有两个交点，从而求得结果.

详解：画出函数/J)的图像，y=e、在y轴右侧的去掉，

再画出直线y=-x,之后上下移动，

可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，

并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，

即方程/(x)=-x-a有两个解，

也就是函数g（x）有两个零点，

此时满足一441,即故选C.

点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的

思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问

题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.

9.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）

G6

R0

乃

一8

24石B.

石

一R3D.

C.乃8

24

【答案】A

【分析】根据题意可得圆锥母线长为R，底面圆的半径为四，求出圆锥高即可求出体积.

2

【详解】半径为R的半圆卷成一个圆锥，可得圆锥母线长为R,底面圆周长为万R,

R

所以底面圆的半径为万，圆锥的高为

所以圆锥的体积为画

3\2）224

故选：A.

10.已知三条不同直线丸〃/，三个不同平面a,/?,/,有下列命题：①若加//a,M/a,则加〃〃；②

若a〃£,/ua,则〃/尸；③B］丫,则。〃夕；④若祖，〃为异面直线，mua,nu。,mlIpy

nila,则a/少.其中正确的命题个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】以正方体为例，可判断①、③错误；根据线面平行的性质，可得②正确；根据线面平行的

性质，可知弘u",有加欣，kHa,-〃=A.然后根据面面平行的判定，即可得④正确.

【详解】

如图，正方体ABCO-AAGR.

对于①，如图，AB”平面468,A2〃平面A88,但是A4AA=4，故①错误；

对于②，因为a/3，lua,根据面面平行的性质可知，有〃〃成立，故②正确；

对于③，如图，平面ABBA1平面ABCD,平面BCGB,1平面ABCD,但是平面ABB^7平面

BCC、B、=BB\,故③错误;

对于④，如图，连结AC、AG、BR,AGc8IA=q.

因为"〃//，可知过直线团可作平面£,使得el£=z,则上u〃，根据线面平行的性质可得相/&.

又，“ua,kaa,所以k〃a.

因为机，〃为异面直线，k^/3,milk,n<^[3,所以火与"相交，设％C"=P.

又&〃a,nila,«<=/?,kufi,kr\n=P,所以a〃尸，故④正确.

所以②④正确.

故选：C.

11.己知点A(—2,0),8(0,2),点C是圆f+V-2x=0上任意一点，贝U,A3C面积的最大值是()

A.6B.8C.3-0D.3+0

【答案】D

【分析】当C到直线AB距离最大时，ABC面积取最大值，再根据直线AB与圆心位置关系得C到

直线A8距离的最大值，即得结果.

【详解】因为AB为定值，所以当C到直线AB距离最大时，4?C面积取最大值，

因为点C是圆V+V-2x=0,(x-l)2+/=l上任意一点，所以C到直线AB距离最大为圆心(1,0)

至|」直线A3：x—y+2=。距离力口半径1,即为卜二+1=辿+1,

V22

从而ABC面积的最大值吗¥+Dx2g+"

故选：D.

12.已知圆柱的高为1,它的外接球的直径为2,则该圆柱的表面积为()

A.亍B.丛兀C.+7iD.(3+石)n

【答案】C

【分析】计算得到圆柱的底面圆半径为厂=3，再利用表面积公式得到答案.

2

【详解】设圆柱的底面圆半径为小贝1］，2+［；［=12,,厂=等

圆柱的表面积为：S=2万产+2幻7?=万+6乃

故选：C

【点睛】本题考查了圆柱的表面积的计算，意在考查学生的计算能力.

二、填空题

13.空间两点耳(1,2,3),£(3,2,1)之间的距离为一.

【答案】2&

【分析】根据空间两点之间的距离公式，即可求出.

【详解】空间两点爪1,2,3),£(3,2,1)之间的距离

*222

P,P2=J(l-3)+(2-2)+(3-l)=2>/2.

故答案为：2日

14.直线/过原点且平分平行四边形ABC。的面积，若平行四边形的两个顶点为8(1,4)、0(5,0),

则直线/的方程为.

【答案】>=2%

【分析】根据直线过5。中点即可求解.

【详解】直线/平分平行四边形ABCD的面积可知直线/经过平行四边形对角线的交点，

而8。的中点为(3,2),所以直线/的斜率为彳，故其方程为：y=^x,

2

故答案为：y=^x

15.直线y=x+l与圆f+y2+2y—3=o交于A8两点，则|AB|=.

【答案】242

【分析】求出圆心、半径r以及圆心到直线的距离"，根据(网)+d2=r2,即可求出结果.

I2]

【详解】将/+产+2丫-3=0化为标准方程可得，V+(y+l)2=4,圆心为(0,—1),半径厂=2.

|o-(-1)+111—

则圆心(0,-1)到直线y=X+1,即X-y+1=0的距离d=i['=V2.

«+(T)J

又因为弊+d2=r2,即弊+2=4,所以|阴=2&.

故答案为：2VL

16.将正方形ABC。沿对角线BZ)折成直二面角4-BO—C,有如下四个结论：

(1)AC.LBD；

(2)△AC。是等边三角形；

(3)AB与平面BCD所成的角为60。；

(4)AB与C。所成的角为60。.

则正确结论的序号为

【答案】(1)(2)(4)

【分析】作出此直二面角，由二面角的平面角的定义和线面垂直的判断和性质可判断(1);由等边

三角形的判断可判断(2)；由线面角的定义可得NA3E为所求角，可判断(3)；取AQ中点尸，AC

的中点“，连接班EH,FH,可得EF,尸”所成角或补角即为所求角，计算可判断(4).

【详解】解：如图，其中A-8D-C=90。，E是5。的中点，

由AE_LB£),CE1BD,可得NA£C=90。即为此直二面角的平面角.

对于命题(1),由于面AEC,故AC1BD,此命题正确；

对于命题(2),在等腰直角三角形AEC中，AC=y/AE2+CE2=AB2+1AB2=AB=AD=CD,

故,AC£＞是等边三角形，此命题正确；

对于命题(3),A3与平面所成的线面角的平面角是NABE=45。，故AB与平面88成60°的

角不正确；

对于命题(4),可取AO中点/，AC的中点H,连接£F,EH,FH,

由于EF,FH是中位线,可得其长度为正方形边长的一半，

而是直角三角形AE"的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，

故△£/%是等边三角形，由此即可证得A8与C。所成的角为60。；

综上知(1)(2)(4)是正确的.

故答案为：(1)(2)(4)

三、解答题

17.计算：

+V(3-n)4+[(-2)6]^.

(2)Ig2-lg^-+31g5-log32-log49.

【答案】(1)兀+8；(2)2.

【分析】(1)直接利用指数基的运算法则求解即可，解答过程注意避免符号错误；(2)直接利用对

数的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误.

2/-x01

【详解】(1)8^-+玳3-兀)4+[(-2)6/

3x-6x1

=23-1+(兀—3)+22

=22-l+7T+23

=4+兀-4+8

=兀+8.

(2)lg2-1g+31g5-log32-log49

-2

=lg2-lg+31g5-log321og23

=lg2+21g2+31g5-l

=3(lg2+lg5)-l

=31glO-l

=3-1

=2.

【点睛】本题主要考查指数慕的运算法则以及对数的运算法则，属于基础题.指数基运算的四个原

则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数新化成正指

数基的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成

假分数；（4）若是根式，应化为分数指数累，尽可能用事的形式表示，运用指数基的运算性质来解

答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）.

18.如图，长方体ABCD-A/B/G。/的底面ABC£＞是正方形，点E在棱AA/上，BELECh

（1）证明：平面EB/G;

（2）若AE=A/E,AB=3,求四棱锥E-的体积.

【答案】（1）见详解；（2）18

【分析】（1）先由长方体得，AG，平面44用8,得到再由BE_LEG，根据线面垂直

的判定定理，即可证明结论成立；

（2）先设长方体侧棱长为2°,根据题中条件求出。=3；再取中点/，连结肝，证明防二平

面BBgC,根据四棱锥的体积公式，即可求出结果.

【详解】（1）因为在长方体A8CO-A旦中，片G，平面AA£8；

BEu平面A448,所以

又BELEG，B©CEG=G，且EC2平面EB©,B£U平面EB6,

所以平面E4G；

（2）［方法一］【利用体积公式计算体积】

如图6,设长方体的侧棱长为2”，则AE=AE=a.

由（1）可得所以EB：+BE2=BB：,Bp2BE2=BB;.

又钻=3,所以24炉+2482=88：,Ep2a2+18=4«2,解得a=3.

取8月中点F,联结EF,因为AE=AE,则所〃A3,所以EFJ.平面2BCC,

从而四棱锥E-BBCC的体积：

图6

［方法二］【最优解：利用不同几何体之间体积的比例关系计算体积】

取84的中点尸，联结EF.由（I）可知BELEB-

所以E/=g84=A8=3,=6•故/一明c,c=；/方体=；*3x3x6=18•

【整体点评】（2）方法一：利用体积公式计算体积需要同时计算底面积和高，是计算体积的传统方法;

方法二：利用不同几何体之间的比例关系计算体积是一种方便有效快速的计算体积的方法，核心思

想为等价转化.

19.如图，直四棱柱A8CD-A/B/C/。/的底面是菱形，AA1=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,N分别

是8C,BB1,A/O的中点.

（1）证明：MN〃平面C1DE；

(2)求点C到平面C/DE的距离.

【答案】(1)见解析；

(2)"

17

【分析】(1)利用三角形中位线和A。24c可证得ME&ND,证得四边形“WE为平行四边形，进

而证得MN//DE,根据线面平行判定定理可证得结论;

(2)根据题意求得三棱锥G-CDE的体积，再求出ACQE的面积，利用％.sE=Z-c”求得点C

到平面GOE的距离，得到结果.

【详解】(1)连接〃£,B©

M,E分别为84，8c中点'ME为A48C的中位线

MEUB[C且ME=gB、C

又N为4。中点，且：.NDHB\C且ND=^B\C

AMEHND四边形MNDE为平行四边形

.-.MN//DE,又MNU平面CQE,£>Eu平面CQE

.•.脑7//平面6。^

(2)在菱形ABC。中，E为BC中点，所以。E_L8C,

根据题意有。E=6，GE=>/万，

因为棱柱为直棱柱，所以有。£2平面8CGB-

所以。ELEG，所以%Ec,=gx6xg,

设点C到平面CQE的距离为d,

根据题意有％,—年则有《上加如乂公上上以加，,

44y/17

解得d->=-fF

所以点C到平面GDE的距离为生叵.

17

【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离

的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者

就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.

20.已知直线，”经过点尸1-3,,与圆O:x?+_/=25相交.

(1)若所截得的弦长为8,求此弦所在的直线方程；

(2)求过点P的最短弦和最长弦所在直线的方程.

【答案】(l)x=-3或3x+4y+15=0；

⑵最短弦所在直线的方程为4x+2y+15=0,最长弦所在直线的方程为x-2y=0.

【分析】(1)由已知求出圆心、半径，根据弦长可求出圆心到直线的距离为3.分直线斜率不存在与

存在两种情况讨论，即可得到直线的方程；

(2)当直线，”与尸0垂直时，。到直线距离最大，弦长最短；当直线过圆心时，弦长最大.分别求出

直线斜率，即可得到直线方程.

【详解】(1)由已知可得，圆心0(0,0),半径/*=5,

则由弦长为8可得，0(0,0)到直线加的距离为3.

当直线机斜率不存在时，机方程为x=-3,此时0(0,0)到山距离为3,满足题意；

当直线m斜率存在时，设斜率为k,则机方程为y+；=Z(x+3),

整理可得2日一2y+6k—3=0.

..|6Z-3|3

圆心0(0,0)到直线的距离d=,I=3,解得2=_=,

\J4k~+44

代入方程整理可得，3x+4y+15=0.

综上所述，直线机的方程为x=-3或3x+4y+15=0.

(2)当直线，”与尸。垂直时，。到直线距离最大，弦长最短.

_33

因为〃所以心=一2,则直线机的方程为y+[=-2（x+3）,

。产丁52

整理可得，4x+2y+15=0.

当直线过圆心时，弦长最大.

因为直线加过点。，k。产;,所以直线"，的方程为y=整理可得x-2y=0.

所以，最短弦所在直线的方程为4x+2y+15=0,最长弦所在直线的方程为x-2y=0.

21.小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入

年固定成本为3万元，当年产量为x万件时，需另投入流动成本为W（x）万元.在年产量不足6万件时,

W（x）=^x2+x（万元）.在年产量不小于6万件时，W（X）=；彳2+X+3（万元）.每件产品售价为5

元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固

定成本-流动成本）

（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？

—x~+4x—3,0<x<6

【答案］⑴"x)=；

——x2+4x-6,x>6

4

（2）8万件，10万元.

【分析】（1）分别求出0<x<6以及％之6时，乂力的表达式，写成分段函数即可;

（2）分别求出0vx<6以及xN6时，的最大值，即可得出结果.

【详解】(1)由已知得，当0vxv6时，^(x)=5x—3—x2+xj=——x2+4x—3；

当x之6,乙(x)=5x-3-(+x+3)=—~x~+4x—6,

——x**+4x—3,0<x<6

所以,L(x)=<

—x~+4x—6,x之6

4

——x2+4x—3,0<x<6

（2）由（1）知，L（x）=«

2

-1X+4X-6,X>6

当0<x<6时，L（x）=—+4元一3=—5（x—4）+5,当x=4,L（x）有最大值5；

当x±6时，L(x)=-w*+4x-6=-a(x-8)+10,当x=8,L(x)有最大值10>5.

所以，年产量为8万件时，小王在这一商品的生产中所获年利润最大，最大年利润是10万元.

22.已知函数/(x)=log4(4x+1)+kx(kQR)是偶函数.

(1)求火的值；

(2)若函数元/"(X)的图象与直线产;X+4没有交点，求。的取值范围；

(3)若函数〃(x)=4小)+%+”2片1,xG[0,例23],是否存在实数机使得/?⑴最小值为0,若存

在，求出相的值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴仁一(2)a<0(3)存在即=-1

【分析】(1)