2021-2022学年广东省佛山市南海区高二年级下册学期第一次大测数学试题含答案

2021-2022学年广东省佛山市南海区高二下学期第一次大测

数学试题

一、单选题

1.数列3,5,9,17,33,…的通项公式4=()

A.2"B.2"+1C.2"TD.2M+1

【答案】B

【分析】由规律即可写出通项公式.

【详解】由数列3,5,9,17,33,…的前5项可知，每一项都满足2"+L

故选：B.

2.在等差数列｛%｝中，％，%是方程/+24x+12=0的两根，则数列｛为｝的前11项和

等于

A.66B.132C.-66D.-132

【答案】D

【解析】利用韦达定理得《+为=-24,进而％=T2,再利用求和公式求解即可

【详解】因为“3，为是方程x?+24x+12=0的两根，所以/+为=-24,

又见+佝=-24=24,所以4=-12,

S=llx(q+q|)=llx24=⑶

“-2一-2--一

故选D.

【点睛】本题考查等差数列的性质及求和公式，考查方程思想，是基础题

3.已知等比数列｛a,,｝的各项都为正数，且。3，4生，%成等差数列，则岂生的

244+〃6

值是（）

AV5-1R>/5+1r3-V5n3+6

2222

【答案】A

【分析】根据等差中项的性质列方程，由此求得9,进而求得岂多的值.

【详解】由题意，等比数列｛q｝的各项都为正数，且。3，；〃5，生成等差数列，则

2.匕%J=%+%=%=4+%=%•/=%+%•4

=>q1=l+q=>g='(负舍),

2

a3+a5_a3+a3q_a31^-1

2

a4+a6a4+a4-qa4q2

故选：A

【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，属于

中档题.

4.设等比数列｛““｝的前”项和为S“，若枣=；，则率=（）

A.-B.JC.\D.-

【答案】D

【分析】先判断4=1的情况，然后当gRi根据金=:求出［5=-：,代入求解即可.

【详解】解：设等比数列｛4｝的公比为4，4*0

若g=l，贝!)a“=4，所以S"="”“

所以畜詈=2,与已知矛盾.

所以a„=atq"~'

4(1T)

黑一1

i-q

严

•鼠=If=1+/=1得八」

-S50t(I-q2"2'倚"2

i-q

.s"="q

,sjq(1-心

i-q

故选：D

5.数列1,1+2,1+2+22,...,1+2+22+23+...+2"工…的前〃项和为()

A.2"-n-\B.T+'-n-2C.2"D.2,,+'-n

【答案】B

【分析】设此数列的第"项为4,,先求出此数列的通项为=2"-1,再分求和求出前〃

项的和即可.

【详解】设此数列的第〃项为乙,贝“4=1+2+22+23+…+2-2+2"T

1-2"

=2"-1

-1-2

所以数列｛4｝前〃项和为:

4+4+…+%=2Jl+22-1+…+2〃-1

2(1-2")

=------------n

1-2

=2w+,-n-2，.

故选：B.

6.数列｛4｝的前"项和£=2〃2-3〃("€>1*),若0+4=5(2，4€z)，则4,+%=()

A.6B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】当〃=1时，可得为,当*2时，a„=S,-S„_,,验证〃=1时是否适合可得通项

公式，代入通项公式求解可得结果.

【详解】当〃=1时，4=S[=2-3=-1,

当也.2时，a„=S„-S„_,=2n2-3n-2(n-l)2+3(«-l)=4n-5,

当〃=1时，上式也适合，

数列｛6｝的通项公式为：%=4〃-5

.**+ciq=4P—5+4q—5=4(p+q)—10=10

故选：D.

【点睛】本题考查等差数列的前”项和公式和通项公式的关系，属中档题.

7.已知数列｛q｝,%=-2/+力7,若该数列是递减数列，则实数2的取值范围是()

A.(-co,6)B.(-co,4]C.(-co,5)D.(-8,3]

【答案】A

【分析】若数列｛“〃｝为单调递减数列，则an+l-an<Q对于任意nGN都成立，采用分离

参数法求实数入的取值范围即可.

【详解】解：；对于任意的"6N,由=-恒成立,

.\an+i-an=-2(〃+1)?+X("+1)+2n2-An=-4n-2+人,

・・・｛〃〃｝是递减数列,

/.an+i-Q〃V0,

:.-4〃-2+A,V0

・••入V4〃+2

・・・〃=1时,4/7+2取得最小值为6,

・••入V6.

故选4

【点睛】本题考查数列的函数性质，考查了转化、计算能力，分离参数法的应用.

8.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月

可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现

象，那么兔子对数依次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144……,

这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是其中q=l,

生=1.若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）

033n67

D.----D.----

100cI100

【答案】B

【解析】计算共有33个偶数，计算概率得到答案.

【详解】数列第1个，第2个为奇数，故第3个为偶数，第4个，第5个为奇数，第6

个为偶数.

10033

根据规律：共有偶数=33个，故展盂

故选：B.

【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.

二、多选题

9.设等比数列｛能｝满足4+%=1。，/+%=5,则下列结论正确的是（）

1

A.q=8B.q=一

2

C.%生…%的最大值为64D.当…。〃取最大值时，n=3

【答案】ABC

【分析】根据条件求出｛4｝的通项公式，再根据通项公式的性质逐项判断即可.

【详解】~~~—=cl=—y4+/=〃]+q/=10,q=8,।=23

i-"(〃-7)

I『

当〃=3或4时，可取最大，最大值为64；

故选：ABC.

10.设等差数列｛%｝的公差为“，前”项和为S"，若能=12,无>°，*<0,则下列

结论正确的是（）.

A.数列｛q｝是递增数列B.55=60

C.一"—<d<—3D.SI,S2,S12中最大的是S$

【答案】BCD

【分析】利用等差数列的前〃项和公式和等差数列的性质得到%<0,七+%>0,再利

用等差数列的通项公式得到关于d的不等式组进行求解，即可判定选项A错误、选项C

正确；利用等差数列的前"项和公式和等差数列的性质得到S5=60判定选项B正确；

利用心>。>"7判定选项D正确.

［详解］对于A、C：因为，2=12（4；42）=6（纭+%）>0,

且53=1灾4；"3=13%<0,

所以％<0,%+又因为%=12,

24+7J>0

所以»解得7Vd<-3；

12+4d<0

所以等差数列｛叫是递减数列，

即选项A错误，选项C正确；

对于B：因为的=12,所以£3=5（"二%）=54=5x12=60,

即选项C正确；

对于选项D：因为等差数列｛q｝是递减数列，

且％<0,4+%>°，则

所以S|<§2<…vS5Vs6>S7>…>S]2,

即选项D正确.

故选：BCD.

11.设S〃是数列｛〃〃｝的前〃项和，且4/=-1,an十i=SnSn+i,则（）

A.

-1,^=1,

B.an=«11

-------,n>2,neN

〃一1n

C.数列为等差数列

111

D.—+—+-+—=—5050

5^100

【答案】BCD

【分析】利用数列通项和前"项和的关系求解.

【详解】S"是数列｛助｝的前〃项和，月.a/=-1,an+i—SnSn+i,

则Sn±i—Sn=SnSn+i,

整理得"一!=一1（常数），

所以数列是以｝=-1为首项，―1为公差的等差数列.故C正确;

所以白=一1一（〃-1）=一小故S〃=-L

，n

所以当后2时，

an=Sn—Sn-i=————,%=-1不适合上式,

〃一1n

故an=<1c、,，故B正确，A错误;

——,n>2,n&N,

n

1

所以三+不+不+•••+『=-(1+2+3+...+100)=-5050,

%>3»100

故D正确.

故选：BCD

]]

⑵在A5C中，内角A,5,C所对的边分别为。，…,若嬴

tanB'tanC

依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（）

A.a,b,c依次成等差数列

B.八,4b，6依次成等差数列

C.a2,b2,02依次成等差数列

D.d依次成等差数列

【答案】ABD

【分析】首先利用等差数列的性质，建立2三=」1：+'不1，进一步利用正弦定理和

tanBtanAtanC

余弦定理的关系式变换求出结果.

【详解】解：ABC中，内角A8,C所对的边分别为a,6,c,若一二，」，」依

tanAtanBtanC

次成等差数列，

211

贝nI！J：----=---------,

tanBtanAtanC

htesina

利用tana=----

cosa

整理得：誓=学+.，

sinBsinCsinA

利用正弦和余弦定理得：2.a，+c=/+/-c?+〃+c->

2abc2abc2abc

整理得：2/=q2+c2

即：/,/,c2依次成等差数列.

此时对等差数列42,的每一项取相同的运算得到数列。，b,c或石，4b,&或

a3,b3,c3,这些数列一般都不可能是等差数列，除非a=b=c,但题目没有说,ABC

是等边三角形,

故选：ABD.

【点睛】本题考查的知识要点：等差数列的性质应用，三角函数关系式的恒等变换，正

弦和余弦定理的应用及相关的运算问题.

三、填空题

13.数列｛〃"｝中4=2,a'+|=2a”,S”为｛a,,｝的前n项和，若S“=I26,贝i]"=.

【答案】6

【详解】试题分析：由题意得，因为4”=2a,,，即也=2,所以数列｛4｝构成首项a,=2,

公比为2的等比数列，则S“=2（；［2"）=］26,解得〃=6.

【解析】等比数列的概念及等比数列求和.

3Q

14.设等比数列｛叫的前"项和为S,,,公比为q,若为53=|,则>.

【答案】1或一^

［分析］利用等比数列的通项公式列出方程组即可解出答案.

23

%=4十二万34=6

"=5或＜

【详解】；1.

29q=—

S3m+%q=-4=12

故答案为：i或-万・

15.数列｛。〃｝满足《用=三7，4=2,则q=

【答案】I

【分析】由递推公式求出数列｛%｝的周期，即可求解.

11

(1,=----=---------------------I-----------=I-----------------------=a

【详解】由已知得，zl-an1_I*1__L，

1-％1一%

所以。8=。5=。2=2

所以的=7^-=2,可得4=:，

故答案为：■

四、双空题

16.下图中的三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项，设这个

数列为｛。“｝,则4=；数列｛《,｝的通项公式为

,H■】I:磐…金

---0ffl:0号献&8K：看;.

【答案】585an=^济Y--1

【分析】由图易归纳出递推关系为=8a“+1,再由构造法可得出+；｝是首项为

Q

p公比是8的等比数列，即可求出数列也｝的通项公式，可求出出.

【详解】由图易归纳出递推关系:a时=8a,,+l,

得—+；=80“+；｝所以““+；｝是首项为

公比是8的等比数列，故4即4=一，故4=585.

S"_1

故答案为：585；a=-~

n7

五、解答题

17.已知递增等比数列｛4｝满足％+的+%=42,且%+9是％和％的等差中项.

(1)求数列｛《,｝的通项公式；

⑵若止最FZ?求数列间的前"项和九

【答案】(1)%=221(2)-^―

21+1

【分析】(1)由等差中项可得q+%=2(%+9)，将％+%=2(々+9)和q+%+/=42化

为首项和公比，联立可解得首项和公比，从而可得。.；

（2）化简"后，利用"=:（不二一丁进行裂项求和即可得到结果.

212〃-12/7+17

【详解】（1）设数列｛q｝的公比为［（4>1）,由题得

《+%+%=42,4+。闻+4,2=42

q+/=2（/+9）,12

ax+axq=2（々U+9）'

所以42—Qq=2aq+18,所以44=8,

8

所以]+8+的=42,即4/-174+4=0,

所以（4（7-1）（«-4）=0,解得4=4或q（舍）,

4

所以q=2,

所以凡=2X4"T=22"，

]

（2）因为2=22+|

l°g?"J咋2"用10§22"-'10§22"-（2/7-1）（2«+1）

_1U___1_

八2〃-12〃+1

1]

H-----

2/?-12〃+1

n

2/2+1

【点睛】本题考查了等比数列通项公式基本量的计算，考查了求等比数列通项公式，考

查了裂项求和方法，属于基础题.

18.设数列｛%卜满足4=2,a^-a„=3-22"-'.

（1）求数列｛”“｝的通项公式;

（2）令2=na„,求数列也｝的前〃项和5,,.

【答案】4=2215„=1[（3n-l）22n+l+2]

【详解】试题分析：（1）结合数列递推公式形式可知采用累和法求数列的通项公式,

求解时需结合等比数列求和公式；⑵由a,=22-1得数列也｝的通项公式为么=n-21"-',

求和时采用错位相减法，在S”的展开式中两边同乘以4后，两式相减可得到S.

试题解析：（1）由己知，当〃之1时，“向=〔（4+1-4“）+&-4i）++（生）—41+4

2-,2-32

=3（2"+2"++2）+2=2加叩,a„=2"-'

21

而4=2,所以数列｛a„｝的通项公式为an=2-.

352

(2)由d="=，”22"T知SJI=I，2+2-2+2-2++n-2'-'...®……7分

AMTff22S„=l-23+2-25+3-27+n-22"+'......②

①-②得(1-22电=2+23+2$++22"-'-n-22"+',

即5“=#(3〃-I"?""+2].

【解析】1.累和法求数列通项公式；2.错位相减法求和

19.已知数列｛%｝满足%+|=—4—+一一+-—+-+—'—(其中〃eN*),

at+a2a2+a3%+%凡+生加

%=啦,且当"22时，«„>0.

(1)求数列｛q｝的通项公式；

⑵若久=——求数列的前〃项和S“.

夜1

------,=1

【答案】⑴4=2

yfn,n>2

【分析】(1)当〃=1时，求出,当时，由题可得出

1111,,/、

+++…+—「，两式相减可得确「4=1(〃之2),所以可

ax+a2a2+a3a3+a4an_x+an

证明数列｛a：｝从第二项起公差为1的等差数列，即可求出答案.

(2)先求出〃,，再由裂项相消法即可求出仇，的前〃项和S”.

【详解】⑴当〃=1时，出马也

~2

1111

当〃22时，由a„+\----+++…+

a

4+。2-----。2+。3-----〃3+〃4--------------n+。〃+1

1111

两式相减可得%一d=1(〃22),

可知数列｛码从第二项起为等差数列，则4：=d+(〃-2)x1=〃.所以q=4(〃22)

------=I

故数列｛%｝的通项公式为%=，2

\[n,n>2

(2)因为a一,所以

an+an+\

S1|1|11।1।1।।1

"at+a2a2+a3an+an+x_立+夜0+6G+4y/n+\Jn+\

2

=>/2+[(>/3-x/2)+(V4->/3)+---+(>/H+I-Vrt)]=Vn+1.

20.已知数列｛an｝的前〃项和S“满足2s.=a：+〃一1且巴>1.

⑴求数列｛叫的通项公式；

(2)若&=1,b„+bn+l=an,数列也｝的前”项和7.，求加3的值.

【答案】⑴4=〃+1

(2)1024144

【分析】(1)根据4=5,-5,i得出递推公式，得出数列｛为｝是公差为1的等差数列，

再计算外,即可得出通项公式.

(2)先求出再由并项求和法求出｛4｝的前〃项和(，即可求出心间的值.

【详解】⑴当”=1时，2S“=2q=a；+l-l,解得4=2或0(舍去)

当“22时，，2S“=a：+〃-l,2S“_|=a：_|+(〃一1)一1,

两式相减得：2。“=片一〃3+1，即(a,,-。?一屋=0,(4—1+的)(4一1一的)=°，

又因为。“>1,所以a“-l+a“T>0；所以=0,

即4=数列｛为｝是公差为1的等差数列，a„=al+(n-])\=n+\

⑵因为2+2乜=《,="+1,所以优+4=3,&+么=5,%+以=7,…既22+4023=2023,

所以^023=舟+(匕2+4)+(%+々)-1---(%22+%23)=1+3+54------F2023

1012x(1+2023)

=--------i----------L=1024144.

2

231

21.已知数列｛%｝中，6=刍，4=2——(n>2,nwN*),数列也｝满足

25。〃一[

⑴求数列圾｝的通项公式；

(2)求同+22〔+|用|+…+%I；

(3)求数列｛〃“｝中的最大项和最小项，并说明理由.

【答案】⑴万

(2)109

(3)(*3=3,3僵=一1，理由见解析

【分析】(1)求出d-2z=l和4,可知数列也,｝是-三为首项，1为公差的等差数列，

即可求出也｝的通项公式.

77

(2)由包=〃-520可知，〃413时，々<0,“214时，bn>Q,由此去绝对值可求

出答案.

2

(3)由(1)中｛〃｝的通项公式代入可求出｛可｝的通项公式，令〃刈=丁三+1,再

2x—27

判断了(x)得单调性，即可求出答案.

,,1111

b—b.=------------=--------------------------=1

【详解】⑴证明："2__L_I，

一an-\

又4=，=-m，•••数歹U也｝是为首项，1为公差的等差数列.

27

•*"“=4+(〃-i)xi="万.