信号与系统课件 §7.4 常系数线性差分方程的求解

§7.4

常系数线性差分方程的求解

描述线性、时不变离散系统的常系数线性差分方程的一般形式可表示为：

求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种：迭代法、时域经典法：齐次解+特解、零输入响应+零状态响应(利用卷积求系统的零状态响应)、

z变换法(反变换y(n))、状态变量(方程)法。

本节主要讲述前3种方法，后2种方法将在后续章节中讲解。式中ak、br是常数§7.4

常系数线性差分方程的求解返回二、差分方程的解法(前3种方法)三、传输算子的概念一、差分方程的初值问题(边界条件)一、差分方程的初值问题(边界条件)

相应于连续时间系统中的起始条件和初始条件，在离散时间系统中存在着起始样值与初始样值。

起始样值即在激励信号加入之前系统已具有的一组样值，以符号y-(n)表示。而初始样值是在激励信号加入之后系统所具有的一组样值，以符号y+(n)表示。分别利用起始样值y-(n)和初始样值y+(n)可以确定系统的零输入响应和完全响应。

对于因果系统，如果激励信号在n=0时刻接入，则在n<0的区间，系统在同一样点上的起始样值与初始样值相等，即：y-(n)=y+(n)；但是在n≥

0的区间，同一样点上的起始样值与初始样值一般不相等。

因此，如果要求系统的完全响应，而给定的初值又是n

≥

0的起始样值y-(n)，那么，就要用迭代法由y-(n)求出初始样值y+(n)，然后求系统的完全响应。

对于N阶因果系统，常给定y(-1)、y(-2)、…...y(-N)为边界条件。

若激励信号在n=0时接入系统，所谓零状态，指的是系统的起始样值y-(n)=0，即：y-(-1)、y-(-2)…...y-(-N)为0，而不是指y

(-1)、y(-2)…...y(-N)为0。

如果已知y(-1)、y(-2)、…...y(-N)，欲求y(0)、y(1)、…...y(N)，则根据因果系统在n<0，y-(n)=y+(n)；利用迭代法求得。

推论：一般情况下，若n=n0时，激励信号接入系统，零状态是指y-(n0-1)、y-(n0-2)…...y-(n0-N)等于0。

讨论有关初值问题，引入起始样值y-(n)和初始样值y+(n)的定义。这对于一些基本概念的理解是有益的。返回

例如，零输入响应是由起始样值y-(n)决定，而对于n=0时刻接入的激励信号，系统的完全响应由n≥

0的初始样值y+(n)决定。

今后我们规定，所有初值如无下标，则一律按初始样值处理。

如果系统起始样值y-(n)≠0，则系统差分方程的完全解将不满足线性时不变的特性。二、差分方程的解法(前3种方法)返回（一）迭代法（二）时域经典法：齐次解+特解（三）零输入响应+零状态响应

(利用卷积求系统的零状态响应)（一）迭代法

是解差分方程的基础方法，包括手算逐次代入求解或利用计算机求解。这种方法概念清楚，也比较简便；但只能得到其数值解，不易得到输出序列y(n)的解析式(或封闭解)，若要求通解，需用数学归纳法得出，并证明。例7-4-1返回例7-4-2由递推关系,可得输出值：已知y(n)=3y(n-1)+u(n)，且y(-1)=0,求解方程。例7-4-1返回注意：这里y(-1)=0是按初始样值y+(-1)=0处理的。已知差分方程：y(n)-3y(n-1)=u(n)，且y(0)=1,求解方程。例7-4-2这里为了说明起始样值和初始样值，我们把y(0)看作y-(0)=1、y+(0)=1分别讨论。1、若把初值y(0)=1,看作激励加入前系统的起始样值y-(0)，则y-(0)=1应满足方程：y(n)-3y(n-1)=0当n<0时，用迭代法容易求得：…...假设系统是因果系统，由于激励u(n)在n=0接入，那么,此解就是n<0时系统的零输入响应。由于系统的因果性，而有这样，由y+(-1)及y(n)-3y(n-1)=u(n)可求得y+(0)、y+(1)….y+(0)=u(0)+3y+(-1)=1+1=2y+(1)=u(1)+3y+(0)=1+3*2=7y+(2)=u(2)+3y+(1)=1+3(1+3*2)=22y+(3)=u(3)+3y+(2)=1+3(1+3+2*32)=67…...y+(n)=u(n)+3y+(n-1)=1+3+32+……+3n-1+2*3n所以，该差分方程的完全解为：y(n)=3n

u(-n-1)+u(n)当n≥

0时，系统差分方程为：y(n)-3y(n-1)=u(n)2、若把初值y(0)=1,看作激励加入后系统的初始样值y+(0)，则y+(0)=1应满足方程：y(n)-3y(n-1)=u(n)当n<0时，由迭代法得：y+(n)=0当n0时，则有：y+(0)=1y+(1)=u(1)+3y+(0)=1+3*1=4y+(2)=u(2)+3y+(1)=1+3+32=13…...y+(n)=u(n)+3y+(n-1)=1+3+32+……+3n则方程的解为：y(n)=u(n)由于n<0时，

y(n)=0，所以该解是系统的零状态响应。

可见，对初值y(0)的理解不同，所得差分方程的解也不同。返回（二）时域经典法：齐次解+特解

与微分方程的时域经典法类似，先分别求差分方程的齐次解与特解，然后代入边界条件求待定系数。这种方法便于从物理概念说明各响应分量之间的关系，但求解过程比较麻烦。1、差分方程的齐次解

这说明y(n)是一个公比为a的几何级数，即：y(n)=Can

一般差分方程对应的齐次方程的形式为：所谓差分方程的齐次解是满足上式的解。

首先分析最简单的情况，若一阶齐次差分方程的表示式为：y(n)-ay(n-1)=0可以改写为：其中C是待定系数，由边界条件决定。a0aN+a1aN-1+……+aN-1a+aN=0

该式称为差分方程的特征方程，特征方程的根a1、a2

、……、aN称为差分方程的特征根。

一般情况下，对于任意阶的差分方程，它们的齐次解以形式为Can的项组合而成。将y(n)=Can代入上式得：消去常数C，逐项除以an-N

并化简得：(1)在特征根没有重根的情况下，差分方程的齐次解为：C1a1n+C2a2n+……+CNaNn

(2)在特征根有重根的情况下，齐次解的形式将略有不

同。假定a1是特征方程的k重根，那么，在齐次解中，

例7-4-3常数C1、C2、……、CN

由边界条件决定。相应于a1的解部分将有k项，即：非重根部分的解与（1）相同。齐次解=重根解+非重根解C1nk-1a1n+C2nk-2a1n+……+Ck-1na1n+Cka1n

例7-4-4(3)当特征根为共扼复数时，齐次解的形式可以是等幅、

增幅或衰减等形式的正弦(或余弦)序列。例7-4-5求差分方程齐次解步骤差分方程特征方程特征根y(n)的解析式由起始状态定常数2、求差分方程的特解

为求特解，首先将激励信号x(n)代入方程式右端，观察自由项的函数形式来选择含有待定系数的特解函数式，将此特解函数代入方程后再求待定系数。现在，我们给出几种典型信号之特解的一般形式：线性时不变系统激励与响应有相同的形式激励x(n)响应y(n)的特解D(n)nkD0nk+D1nk-1+……+Dk-1n+Dk

sin(nw)D1sin(nw)+D2cos(nw)cos(nw)D1sin(nw)+D2cos(nw)常数ADanDan

(a不是差分方程的特征根)（D1n+D2）an

(a是差分方程的单特征根)（D0nk+D1nk-1+……+Dk-1n+Dk

）an

(a是差分方程的k阶重特征根)eanDeanejanDejan注意：当差分方程的特征方程有M阶重根1时，则对应于nk形式的激励信号的特解应修正为：nM（D0nk+D1nk-1+……+Dk-1n+Dk）3、差分方程的完全解(离散系统的完全响应)返回例7-4-6完全解=

齐次解+特解=系统的完全响应自由响应强迫响应Ci由边界条件决定例7-4-7（三）零输入响应+零状态响应1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次方程待定系数Ci由起始样值决定(相当于0-的条件)2.零状态响应：起始样值为0，即:y-(n)=0n<0求解方法经典法：齐次解+特解卷积法y(n)=x(n)*h(n)

例7-4-8返回求解方法：与求齐次解相同，解形式为齐次解形式起始样值决定起始样值为0时的初始样值决定强迫响应系统完全响应零输入响应零状态响应自由响应例7-4-9例7-4-10三、传输算子的概念

对于线性时不系统，可以借助算子符号、传输算子等概念来表示或求解系统的数学模型。在连续时间系统中，以算子p表示微分运算。对于离散时间系统，以算子符号：“E”表示将序列超前一个单位时间的运算。E也称为移序算子，利用移序算子可写出：

y(n+1)=Ey(n)

y(n-1)=y(n)对于差分方程y(n+1)-ay(n)=x(n)可改写为：（E-a）y(n)=x(n)

而对于方程式y(n)-ay(n-1)=x(n-1)则可表示为：

对于二例，可以引入传输算子于是有：三、传输算子的概念返回

注意：这不是一个代数方程，而是一个运算方程。其特性与连续系统中的算子式类似。

由以上分析看出：算子(或T、D)表示延迟单位时间的作用。即：y(n)经运算给出y(n-1)，这正是规定作延迟元件符号标志的理由。求解二阶差分方程y(n)-5y(n-1)+6y(n-2)=0特征方程

a2-5a+6=0

齐次解定C1，C2解出C1=5，C2=-3例7-4-3特征根a1=2，a2=3

返回已知y(0)=2，y(1)=1。所以y(n)=（5*2n-3*3n）u(n)给定边界条件即可求出常数例7-4-4返回求解差分方程y(n)+6y(n-1)+12y(n-2)+8y(n-3)=0特征方程

a3+6a2+12a+8=0

(a+2)3=0a1

=a2

=a3

=-2

所以例7-4-5设a1

=Mejj

a2

=Me-jj

P,Q为待定系数为减幅正弦序列为等幅正弦序列为增幅正弦序列返回例7-4-6齐次解因为x(n)=5u(n)，n³0时为5(常数)代入原方程求特解D+2D=5(n³

0)

特解完全解已知y(n)+2y(n-1)=5u(n)，且y(-1)=1，求完全解。特征方程

a+2=0a

=-2

所以yp(n)=D所以由y(-1)=1迭代出：代入返回由边界条件定系数得：例7-4-7求差分方程y(n)-2y(n-1)+y(n-2)=nu(n)，

y(0)=1、y(1)=的完全解。故齐次解为：（C1n+C2）*1n=C1n+C22）特解：若按常规方法，则特解应设为：D1n+D2

但由于特征根为“1”的二阶重根，故特解应设为：D(n)=n2(D1n+D2)1）因为特征根

a1,2=1

(

为1的二阶重根）将D(n)代替y(n)代入差分方程，并通过系数比较法，求得：D1=，D2=3）完全解为：y(n)=C1n+C2+由y(0)=1、y(1)=代入上式求得：注意：这里y(0)、y(1)是按初始样值y+(0)、

y+(1)处理的。由于激励是在

n=0时加入，所以上述解只在n

³

0成立。

4）对于

n<0的情况，需用迭代法求出其边界条件y-(n)。n=1y+(1)-2y+

(0)+y+

(-1)=1n=0y+(0)-2y+

(-1)+y+

(-2)=0由于将y+(0)=1、y+(1)=代入该式由于是因果系统，所以y-(n)=y+(n)(n<0)y+

(-1)=y+

(-2)=由于n<0时的差分方程为y(n)-2y(n-1)+y(n-2)=0y-

(-1)=y+

(-1)=y-

(-2)=y+

(-2)=即：所以y(n)=C1n+C2

代入边界条件得：y-

(-1)=-C1+C2=y-

(-2)=-2C1+C2=C1=-

C2=1即：y(n)=-n+1(n<0)将n

³

0，与n<0的解合并得：返回零输入响应yzi(n),即当x(n)=0时的解。求系统的零输入响应。例7-4-8求起始状态（0-状态）题中,是激励加上以后的,不能说明状态为0,需迭代求出。LTIS的差分方程由起始状态（0-状态）定C1，C2解得零输入响应与输入无关注意在求零输入响应时，要排除输入的影响——找出输入加上以前的起始状态。由起始状态再以x(n)=0代入方程,可以求出初始值返回例7-4-9(教材例7-10）已知系统的差分方程表达式为y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n)(1)若边界条件y(-1)=0，求系统的完全响应；(2)若边界条件y(-1)=1，求系统的完全响应。(1)由于激励在n=0接入，且给定y(-1)=0，因此，起始时系统处于零状态。由迭代法可求得y(0)=0.9y(-1)+0.05u(0)=0.05由方程可以看出，齐次解为C(0.9)n,特解为D。完全解的形式为：y(n)=C(0.9)n+D将D代替y(n)代入差分方程得：D-0.9D=0.05所以D=0.5，则完全解为：y(n)=C(0.9)n+0.5再将y(0)=0.05代入y(n)=C(0.9)n+0.5得：0.05=C+0.5所以C=-0.45所以，系统的完全响应为：y(n)=[-0.45(0.9)n+0.5]u(n)自由响应强迫响应暂态响应稳态响应(2)分别求零状态、零输入响应，然后迭加。

先求零状态响应，令y(-1)=0，此即第（1）问之结果；则零状态响应=-0.45(0.9)n+0.5

再求零输入响应，令激励=0，差分方程表示式为：

y(n)-0.9y(n-1)=0