4等差、等比数列的性质及应用

/3．4等差、等比数列的性质及应用一、基础知识（一）等差数列的性质(４)在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an，an+m,aｎ＋２ｍ,…，为等差数列，公差为mｄ。(5）等差数列的前ｎ项和也构成一个等差数列，即Sn，Ｓ２n－Sn,Ｓ3n-S2ｎ，…为等差数列,公差为n2d。（6）若等差数列的项数为2n，则有，(7）等差数列的项数为奇数2n－1,则，，.（8)通项公式是an＝An+Ｂ是一次函数的形式;前n项和公式是不含常数项的二次函数的形式。（注当ｄ＝0时,Ｓn=na1,an＝a1）（9）若a1〉0，d〈0,Sn有最大值，可由不等式组来确定n。若ａ１<０，ｄ＞０,Sｎ有最小值，可由不等式组来确定。（也可利用利用二次函数图象配方来解）等比数列的性质；。（4）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即ａn，an+m，aｎ+2ｍ,…,为等比数列，公比为qm。（５）等比数列的前n项和也构成一个等比数列，即Sn,Ｓ２n—Sn,Ｓ3ｎ-Ｓ2ｎ,…为等比数列,公比为qn。中，an是n的函数,这个函数由正比例函数复合而成的。当q=1时,是一个常数数列当q〈0时，无法判断数列的单调性,它是一个摆动数列.二、举例解析例1[P9１考例1]、（1)设是等差数列，且，求及S１５值。（2）等比数列中,,，前n项和Sｎ=１26,求n和公比q。(3）等比数列中,ｑ=2，S99=77，求a３+a6+…+a99；（4)项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为8０，偶数项之和为75,求此数列的中间项与项数。解：（１)由已知可得，所以=2，S１５=，所以或又，所以或设等差数列共２n－1项，则，所以此数列共31项.中间项练习:（1)等比数列｛an}中,已知S１0=10,S20＝30，求S30，（S30=70）例２、设等差数列的前n项之和为Sn，已知ａ3＝12,Ｓ12>0，S13〈０，（1)求公差d的取值范围。（2）指出Ｓ1,Ｓ2，S3,…Ｓｎ中哪一个值最大，并说明理由。解：(1），，即，由,代入得:。(2）解一：由，可知:，所以S６最大。解二、，由可知,它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的点,根据图象可知S6最大。解三、，由得又抛物线开口向下，所以Ｓ６最大。评注:求等差数列Sｎ最值有三法：借助求和公式是关于n的二次函数的特点，用配方法求解；借助等差数列的性质判断,通过”转折项"求解；借助二次函数图象求解。（经过原点)练习：已知等差数列｛an｝中，，问S1，S２，S3,…Sn中哪一个值最大。(S8或S9）例４．已知{an}是等比数列,a1=2,a3=1８,{bｎ｝是等差数列,b1=２,b1+b2+b3＋b4=a１+a２+a３〉20．(1)求数列{bｎ｝的通项公式；(2)求数列｛bn｝的前n项和Sn的公式;（3）设Pn=b1+ｂ4+b7+……+b３n－２,Qｎ=ｂ1０＋ｂ１２+b14＋……+ｂ２n+８，其中ｎ=1,2,…..,试比较Ｐn与Ｑn的大小，并证明你的结论。解(１），当q=－3时，a１+a２+ａ3=14〈20,故舍去,当q=3时，a1+a2+a3=26＞20符合．由b1＋ｂ2+b3+b４=2６及ｂ1＝2,可得ｄ=3，所以bn=３ｎ-1(2)Sn=（3）ｂ１、ｂ4、ｂ７、……、ｂ3n－2组成以3d为公差的等差数列，所以Pn＝；b１0+b12＋b14＋……＋b2n+8组成以2d为公差的等差数列,所以Qn=３n2+26n，Pn—Qｎ=,所以，对于正整数ｎ，当例５．已知等到差数列{ａn｝的首项a１＝1，公差d〉0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列｛ｂn｝的第二项、第三项、第四项。(1)求数列｛ａn}和｛bｎ｝的通项公式;(2)设数列｛ｃｎ｝对任意正整数n均有成立，其中m是不等到于０的常数，求数列{cn｝的前n项和Ｓn．解:（Ⅰ）由题意得:(a1+ｄ)（a1＋１３ｄ)=（a１+4d)2．整理得2ａ1d=d2．∵a1=1，解得ｄ＝2（d=0不合题意舍去）,∴an＝2ｎ–1(ｎ=1，２，３，…）,由b２=a2=3，b３=a５=9,易求ｂn=3n–1(n=1，2，3，…）.（5分）（Ⅱ)当n=1时，c1=6；当n≥2时,，∴ｃn＝(4n+1)mn–1ｂｎ＝（4n+1）(３m)ｎ–１.∴ｃn＝当3m=1即ｍ=时，Sn=6＋9+１3+…+（4n+1)=6+=６+（ｎ–1）(2ｎ+5)=2n2+3n＋1．（10分）当3m≠1即ｍ≠时，Sｎ=ｃ1+c2＋…＋cn即Ｓn=６＋9·（3m）＋13·（3m)２+…＋（４n–3）（3m）n–2+(4n+１)(3m）n–１(1）3mSn=6·３m＋9·(3m）２+1３·(3ｍ）３+…+（4n–3）（3ｍ）n–１+(4ｎ+1）(3m)ｎ(2)(１）–（2）得（１–3ｍ）Sｎ=6+3·3ｍ＋4·(3m）２+４·（3m）３+…+4·(3m）n–１–(４ｎ＋1）（3ｍ）nﻩ=6+9m+4[(3m)2＋（3ｍ）3＋…+（3m)n–1]–（4n＋1）(3m）n =6+9m＋ﻩ∴.∴例6在等比数列｛ａn}（n∈N＊）中,ａ1〉１,公比q>0,设bn=ｌoｇ2ａn,且b１+b3+b５=６，b1ｂ3b5=０（１)求证:数列｛bn｝为等差数列；（2）求数列{bｎ}的前n项和Ｓn。及数列｛an}的通项aｎ;（3)试比较an与Sn的大小.解:证明(Ⅰ)∵,∴为常数，∴数列为等差数列且公差。（Ⅱ)∵，∴．∵，∴.∵,∴．∴解得：∴．∵∴∴．（Ⅲ）显然，当≥9时，≤0。∴≥９时,.∵，,∴当时，;当或≥9时,．备用：已知函数（1)⑵设⑶是否存在最小的正整数k,使对任意有成立？若存在，求出k的值,若不存在,说明理由？解