【高中数学】离散型随机变量的均值 2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第三册)

7.3.1离散型随机变量的均值第七章

随机变量及其分布复习回顾回顾1

什么是随机变量和离散型随机变量？

离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量.回顾2

什么是离散型随机变量的分布列及其性质？

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，

‧‧‧，xn，则X的概率分布列为：Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn离散变量的分布列可以用表格表示，如下表所示.(1)离散型随机变量的分布列根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质:(2)离散型随机变量的分布列的性质复习回顾新课导入

离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便，例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.

因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征.离散型随机变量的数字特征——一组数据的均值和方差样本均值：样本方差：

已知一组样本数据：x1，x2，…，xn

反映这组数据相对于平均值的集中程度的量

例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。回顾3什么是一组数据的均值和方差？新知探究问题1

甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.环数X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比较他们射箭水平的高低呢?

分析：类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性.新知探究环数X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2解：

=9假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为甲n次射箭射中的平均环数为当n足够大时，频率稳定于概率即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.同理，乙射中环数的平均值为从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.概念生成随机变量的均值一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.权数加权平均数典例解析例1

在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少?解：由题意得，X的分布列为即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么方法归纳求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值；(2)求概率：求X取每个值的概率；(3)写分布列：写出X的分布列；(4)求均值：由均值的定义求出E(X).求随机变量的分布列典例解析例2

抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值.由题意得，X的所有取值为：1，2，3，4，5，6则：解：即点数X的均值是3.5.所以X的分布列为：X123456P观察

掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5.随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数.根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图(1)和(2)所示.观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别?①区别:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它随样本的不同而变化；②联系:对于简单随机样本,随着样本容量的增加样本的平均值越来越接近于总体的均值.因此我们常用样本的平均值估计总体的均值.新知探究：样本平均值和随机变量均值的区别与联系问题3

如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化?即E(X＋b)和E(aX)(其中a,b为常数)分别与E(X)有怎样的关系?设X的分布列为根据随机变量均值的定义，类似地，可以证明一般地，下面的结论成立：新知探究：离散型随机变量均值的性质

(1)当a=0时,E(b)=b.(2)当a=1时,E(X+b)=E(X)+b(3)当b=0时,E(aX)=aE(X)概念生成离散型随机变量的均值的性质：巩固练习解：2.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，求得分X的

均值.课本66页巩固练习解：课本66页1.已知随机变量X的分布列为X12345P0.10.30.40.10.1(1)求E(X)；(2)求E(3X+2).典例解析例3猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示.规则如下:按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.分析：公益基金总额X的可能取值有几种情况？歌曲ABC猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000X的可能取值为0，1000，3000，6000.歌曲ABC猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000典例解析例3解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立X的分布列为X的均值为

由题意可得，X的可能取值为0，1000，3000，6000，则X的分布列为歌曲ABC猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000典例解析例3变式：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同?若不同，那个大?同理

当按A,C,B的顺序时

当按B,A,C的顺序时当按B,C,A的顺序时当按C,B,A的顺序时当按C,A,B的顺序时E(X)=2144,E(X)=2256，E(X)=2112E(X)=1872，E(X)=1904.当按A,B,C的顺序时E(X)=2336例3是概率决策问题也称为风险决策，选择不同的猜歌顺序，X的分布列是不同的，不能直接进行比较，所以决策的原则是选择期望值E(X)大的猜歌顺序。可以发现,按由易到难的顺序猜歌,得到公益金的期望值最大.典例解析例4

根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案：

方案1:运走设备，搬运费为3800元。

方案2:建围墙,建设费为2000元,但围墙只能挡住小洪水.

方案3:不采取措施，希望不发生洪水.工地的领导该如何决策呢?总损失越小越好方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案

值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的.一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”：如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小。不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的。典例解析解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3.采用方案1,

无论有无洪水，都损失3800元.因此采用方案2,遇到大洪水时，总损失为2000+60000=62000元；没有大洪水时，总损失为2000元.因此采用方案3，有∴因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.用期望做决策用期望来观察风险、分析风险进而做出正确决策，在生活中较为常见，如股票投资决策、某种试验的决策等.巩固练习课本67页解：3.甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1h内生产出的次品数分别为X1，X2，其分布列分别为甲机床次品数的分布列乙机床次品数的分布列X10123P0.40.30.20.1X2012P0.30.50.2哪台机床更好?请解释你所得出结论的实际含义.由此可知，1h内甲机床平均生产1个次品，乙机床平均生产0.9个次品，所以乙机床相对更好.课堂小结1.离散型随机变量的均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.

均值是随机变量可能取值关于取值概率