线性定常系统的综合课件

第五章线性定常系统的综合5

线性定常系统的综合

控制系统的分析与综合是控制系统研究的两大课题。前面我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。主要解决系统的建模、各种数学模型(时域、频域、内部、外部描述)之间的相互转换等；主要研究系统的定量变化规律(如状态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控性、能观测性、稳定性等)及其与系统的结构、参数和外部作用间的关系。系统的描述系统的分析5

线性定常系统的综合是在已知系统结构和参数(被控系统数学模型)的基础上，设计控制器，寻找控制规律，以保证系统的各项性能指标得到满足。综合与设计问题

本章主要讨论常规综合，在时域内讨论线性反馈控制规律的综合与设计方法。根据综合指标目标提法不同将综合分为：常规综合最优综合仅使性能满足某种笼统指标要求；要确保性能指标在某种意义下达到最优。目录5.1线性反馈控制系统的基本结构及其特性5.2极点配置问题5.3系统镇定问题5.4系统解耦问题5.5状态观测器5.6利用状态观测器实现状态反馈第五章线性定常系统的综合1、状态反馈的基本形式；2、极点任意配置的条件和方法；3、能镇定条件；4、解耦的条件和方法；5、状态观测器存在的条件及其实现；6、利用状态观测器的状态反馈系统的特点。重点第五章线性定常系统的综合学习要求1、熟悉状态反馈的基本形式；2、掌握极点任意配置的条件和方法；3、掌握系统能镇定条件；4、掌握解耦的条件和方法；5、掌握状态观测器存在的条件及其实现；6、熟悉采用状态观测器的状态反馈系统的特点。5.1

线性反馈控制系统的基本结构及其特性反馈的两种基本形式：状态反馈和输出反馈。一、状态反馈状态反馈方框图如图所示，受控系统,通常D＝0，则记为K状态反馈增益阵

将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律。状态反馈5.1

线性反馈控制系统的基本结构及其特性状态反馈控制律代入原系统方程得闭环系统的状态空间表达式若D＝0，则为记为：闭环传递函数阵为：特性：状态反馈并没有增加系统的维数，通过改变K，可以任意改变系统特征值，使系统获得所要求的性能。5.1

线性反馈控制系统的基本结构及其特性HB输出反馈是利用输出矢量构成线性反馈律。将系统的每一个输出变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律。受控系统输出反馈结构图如下，输出反馈控制律Ｈ输出反馈增益阵二、输出反馈5.1

线性反馈控制系统的基本结构及其特性或闭环系统传递函数：若受控系统传递函数为则代入原系统，若D＝0，则5.1

线性反馈控制系统的基本结构及其特性

H：r×m维；K：r×n维，由于m<n，故H的可供选择的自由度比K小，所以输出反馈效果不如状态反馈，但是比较容易实现。输出反馈特性：由此，输出反馈是状态反馈的特殊情况。此时，状态反馈就等价于输出反馈。则,若状态反馈增益矩阵K=HC,5.1

线性反馈控制系统的基本结构及其特性GB三、从输出到的反馈结构图，若D＝0，则5.1

线性反馈控制系统的基本结构及其特性直接引入一个子系统来改善系统的性能。串联连接反馈连接系统的维数等于受控系统与动态补偿器维数之和。四、动态补偿器上述3种反馈基本结构共同点：1）不增加新的状态变量；2）开环与闭环同维；3）反馈增益阵是常阵，反馈是线性反馈。动态补偿特点：－－5.1

线性反馈控制系统的基本结构及其特性定理1：状态反馈不改变受控系统的能控性，但不保证系统的能观性不变。五、闭环系统的能控性和能观性证明：利用变换前后能控性矩阵的秩相等来判断。的列向量是B，AB列向量的线性组合。是KB的第i个行向量。是B的第i个列向量。的列是列的线性组合。…5.1

线性反馈控制系统的基本结构及其特性可以看成是由经初等变换得到的。

状态反馈不保持系统能观性的说明：实际上，对SISO系统而言，状态反馈虽然不改变系统的零点，但可以任意改变系统的极点，有可能造成零极点对消现象，从而可能会改变系统的能观性。以SISO能控标准Ｉ型为例说明。也根据线性表示的两组向量线性无关组的大小关系证。5.1

线性反馈控制系统的基本结构及其特性例试分析以下系统引入状态反馈K＝[-10]后的能控性和能观性。原系统的能控性和能观性解：加入状态反馈，因此，原系统既是能控也是能观的。5.1

线性反馈控制系统的基本结构及其特性

故引入状态反馈后，系统是能控但不能观的。实际上，由传递函数5.1

线性反馈控制系统的基本结构及其特性定理2输出反馈不改变系统的能控性和能观性。分析：1）输出反馈是状态反馈的特例，由状态反馈不改变系统的能控性输出反馈也不改变能控性。2）关于能观性，根据反馈前后的能观性矩阵的秩来分析，同状态反馈的能控性分析相似。5.2

极点配置问题

极点配置问题是通过选择反馈增益矩阵K，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。（只分析SISO系统）控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。因此，作为综合系统性能指标的一种形式，往往给定一组期望极点，或根据时域指标转换成一组等价的期望极点。5.2

极点配置问题一、采用状态反馈定理：采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是完全能控。即证：若完全能控，则通过状态反馈K必能使证明：此证明过程即为极点配置问题的设计步骤。仅证充分性：期望的极点5.2

极点配置问题1）若能控，则必能通过变换将化为能控标准I型。5.2

极点配置问题2）设状态反馈阵，加入状态反馈后，闭环系统的特征多项式为其中，5.2

极点配置问题闭环系统的传递函数为3）欲使闭环极点与期望的极点相符，必须满足：4）最后，把对应于的，变回对应于的则必要性的证明由不完全能控，按能控性分解得子系统得矛盾。5.2

极点配置问题解：例：设计反馈控制器，使得闭环极点为1）因为没有零极点对消，故系统完全能控，2）加入状态反馈直接写出其能控标准型，可以由传递函数法15.2

极点配置问题3）由期望的闭环极点可得期望的特征多项式4）闭环特征多项式与期望的闭环特征多项式比较系数得闭环特征多项式为5.2

极点配置问题-2-3x2x1uvx3加入状态反馈后闭环系统的结构图5.2

极点配置问题此法一开始就采用能控标准形，可以免去状态变换，根据特征多项式直接计算Ｋ；但能控标准形所需的状态变量的信息难以检测，往往给工程实现增加困难。如果按串联分解法选择状态变量，实现起来方便得多。如下，5.2

极点配置问题从图中可以看出，由于各状态变量均是各子系统的输出，因而易于检测。由模拟结构图可以写出系统的状态空间表达式：-1-210模拟结构图如下：法25.2

极点配置问题闭环特征多项式引入状态反馈5.2

极点配置问题期望的特征多项式为比较系数即可得闭环系统结构图-1-2105.2

极点配置问题法２的方法实际为直接配置算法，用于系统阶数较低时。1)将带入系统状态方程，并求得相应闭环系统的特征多项式

其中,2）计算理想特征多项式3)列方程组并求解。其解即为所求。5.2

极点配置问题1、选择期望极点，是个确定综合指标的复杂问题，一般要注意以下问题：讨论：

1）对一个n维的系统，必须指定n个实极点或共轭复极点；

2）极点位置的确定，要充分考虑它们对于系统性能的主导影响及其与系统零点分布状况的关系；同时要兼顾系统抗干扰能力和对参数漂移低敏感性的要求。2、对单输入系统，只要系统能控必能通过状态反馈实现闭环极点的任意配置，而且不影响原系统零点的分布；但可能影响能观性。5.2

极点配置问题4、极点配置原理适用于多输入系统，但具体设计要困难得多，表现在1）综合指标转化为期望极点需要经过工程处理；2）把受控系统转化为能控标准形相对麻烦，且反馈矩阵非唯一；3）可能会改变系统零点的状态。3、若系统是不完全能控的，可通过能控性分解将其状态方程变换成如下形式

其中，的特征值不能任意配置；5.2

极点配置问题定理对完全能控的单输入－单输出系统，通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件是：二、采用输出反馈对完全能控的单输入－单输出系统，不能采用输出线性反馈来实现系统极点的任意配置。定理：这是输出反馈的弱点。极点只能落在确定的根轨迹上。通过增加零、极点调整根轨迹。1）完全能观；2）动态补偿器的阶数为n－1。5.2

极点配置问题1）定理中动态补偿器的阶数为n-1是任意配置的条件；如果不要求任意性，补偿器的阶数可进一步降低。说明：2）这种闭环系统的零点，在串联情况下是原系统零点与动态补偿器零点的总和；在反馈联结时是原系统零点与动态补偿极点的总和。5.2

极点配置问题

能观性等价于其对偶系统的能控性；1)

极点配置等价于其对偶系统的极点配置问题；2)上述问题变为一个状态反馈问题。分析：定理对系统采用从输出到的线性反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是：完全能观。三、采用从输出到的反馈5.2

极点配置问题上述第2步对于维数较高的系统使用，如果维数不高，则不必先得到能观标准型。例：见P199－120具体求解步骤：1、先分析能观性（能观则可通过上法进行极点配置）；3、对能观标准II型，引反馈矩阵进行极点配置；4、由求得原系统的反馈矩阵。2、得到能观标准II型（变换矩阵为）；5.3

系统镇定问题系统镇定问题是对受控系统,通过反馈使其极点均具有负实部，保证系统为渐进稳定。状态反馈能镇定是指通过状态反馈能使其渐近稳定。输出反馈能镇定是指通过输出反馈能使其渐近稳定。

说明：输出反馈不能任意配置极点，因此不能保证一定有输出反馈的能镇定性。系统镇定问题实际上是极点配置问题的一种特殊情况，只要求极点配置在左半平面。因此只需对不稳定因子进行配置。5.3

系统镇定问题定理3对系统采用从输出到的反馈能镇定的充要条件是的不能观子系统为渐进稳定。定理1对系统采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统为渐进稳定。（证明见P200－201）定理2系统通过输出反馈能镇定的充要条件是结构分解中的能控且能观的子系统是输出反馈能镇定的，其余子系统是渐进稳定的。（证明见P201－202）5.3

系统镇定问题例：不能通过输出反馈镇定。系统5.4

系统解耦问题

解耦问题：寻求适当的控制规律，使输入输出相互关联（耦合）的多变量系统实现每一个输出仅受相应的一个输入所控制，每一个输入也仅能控制一个输出。（如下图所示）输入输出具有相同的维数5.4

系统解耦问题1）能解耦的充要条件；2）解耦的具体控制规律和系统结构。则称其是解耦的。对于系统，如果其传递函数为解耦问题需要考虑的两个问题：

这两个问题随着解耦方法的不同而不一样。目前实现解耦的两种主要方法：1）前馈补偿器解耦2）状态反馈解耦。5.4

系统解耦问题一、前馈补偿器解耦前馈补偿器的传递函数阵待解耦系统的传递函数阵其结构图如下：前馈补偿器解耦只需在待解耦系统的前面串联一个前馈补偿器，使串联组合系统的传递函数矩阵成为我们所期望的对角形传递函数阵。5.4

系统解耦问题组合系统的传递函数阵因此，若存在，则简单方便,但增加了系统的维数。特点：5.4

系统解耦问题二、状态反馈解耦状态反馈解耦系统结构图如下：K：m×n状态反馈矩阵F：m×m非奇异变换矩阵F

如何设计K和F，使系统从v到y是解耦的？5.4

系统解耦问题1、状态反馈解耦中的几个特征量1）定义是满足不等式且介于0到m－1之间的一个最小整数,表示C中第i行向量，的下标i表示行数。例试计算a）计算5.4

系统解耦问题是满足的最小的b）计算5.4

系统解耦问题故2）根据定义下列矩阵5.4

系统解耦问题例试计算前例的D、E、L矩阵5.4

系统解耦问题2、能解耦性判据定理受控系统采用状态反馈能解耦的充要条件是m×m维矩阵E非奇异。5.4

系统解耦问题即3、积分型解耦系统定理若系统是状态反馈能解耦的，则闭环系统是一个积分型解耦系统，其中5.4

系统解耦问题解耦后子系统为阶独立子系统。闭环（解耦后）系统传递函数阵为5.4

系统解耦问题于是得到闭环系统为：例试求上例所示系统的解耦系统。解：在前2例中已经算出5.4

系统解耦问题解耦后系统的传递函数为：该系统的状态反馈解耦结构图见下，5.4

系统解耦问题从图中可以看出，K阵中的元素的实际作用在于抵消状态变量间的耦合，从而实现解耦控制。5.4

系统解耦问题如果能解耦系统具有如下形式4、能解耦标准型则称为能解耦标准型。而且是的一个最小实现。5.4

系统解耦问题定理状态反馈使系统解耦并任意配置极点的充要条件是，它们具有如下形式：5.4

系统解耦问题已是解耦标准型，所以可以任意配置极点。可设：例试对上例的积分型解耦系统设计附加状态反馈，使闭环解耦系统的极点配置为-1，-1，-1，-1。解上例得到的积分型解耦系统为：5.4

系统解耦问题于是令其特征多项式为期望的特征多项式，即可解得5.4

系统解耦问题附加极点配置状态反馈后的系统结构图见下页。也可以分成两个独立的子系统进行状态反馈，以配置希望的极点。对子系统对子系统，用同样的方法可得5.4

系统解耦问题5.4

系统解耦问题5、状态反馈解耦的设计步骤1）检验是否满足能解耦的充要条件；2）计算K、F阵，将系统化为积分型解耦形式；3）对各独立子系统采用附加状态反馈配置极点。5.4

系统解耦问题1、上述问题讨论是在积分型解耦系统能控的条件下进行的，如果积分型解耦系统存在不能控和不能观的状态，则在采用附加状态反馈时，必须通过非奇异变换，使之化为能解耦标准形；2、对不能用状态反馈实现解耦的系统，如果传递函数矩阵是非奇异的，除单独采用前馈补偿器外，还可兼用状态反馈和串联补偿进行解耦。说明：5.5

状态观测器这就是所谓状态观测（或状态重构）问题。

在线性定常控制系统中，要实现闭环极点的任意配置，或是实现系统解耦，都离不开状态反馈。

但状态反馈物理实现的基础是系统的状态向量X的每一个分量Xi均应能直接量测得到。

然而在许多复杂的实际应用中，系统内部的每个状态分量未必都能量测得到，这就给状态反馈的物理实现造成困难。能否通过对原系统的输出输入加以改造来重新构造新的状态向量，以复现或近似复现原系统状态向量？5.5

状态观测器一、状态观测器的定义设线性定常系统的状态向量不能直接检测，如果动态系统以的输入u和输出y作为输入量，能产生一组输出量渐近，即。则是的一个状态观测器。1）以的输入u和输出y作为其输入；2）须满足3)趋近于的速度应当足够快；但又不能太快。根据以上定义，可知构造状态观测器的原则是：4）结构应尽量简单，维数应尽量低，以方便物理实现。5.5

状态观测器对线性定常系统，其状态观测器也是线性定常系统。按其结构可分为全维状态观测器和降维状态观测器。二、状态观测器的存在性

定理：(证明过程中用的是渐近状态观测器）分析：假设系统已经按能观性进行分解；，状态观测器存在的充要条件是对不能观子系统渐进稳定。5.5

状态观测器三、状态观测器的实现1、定理：则其状态向量可由输出和输入进行重构。(SISO)若线性定常系统完全能观，

证明考虑输出方程并对其逐次求导得：5.5

状态观测器令上式等号左边为Z向量，则完全能观，则,N为非奇异，其逆存在。若可得根据上式构造的观测器结构如图所示：ＺＮ-1

由于Z中用到了0阶到n-1阶微分器，大大增加了噪声对估计值的影响，因而没有工程应用价值。5.5

状态观测器2、开环观测器

直接仿照原系统的结构，设计一个相同的系统来观测状态。其结构图如下，这种观测器没有实际意义。(初始状态要完全相同）5.5

状态观测器Ｇ由结构图可得状态观测器的方程：3、渐进状态观测器其结构图如下,利用输出信息对状态误差进行校正。5.5

状态观测器又可以将观测器的结构图表示成如下图形：由图可以看出，观测器的输入有两个：

u、y，输出则是状态向量的估计值。5.5

状态观测器状态误差向量：

状态误差方程：

其解为：如果矩阵（A－GC）的特征值均具有负实部，不管待观测系统与观测器的初始状态是否相同，状态估计值总能趋近于状态真实值。状态逼近的速度取决于G的选择和（A－GC）的特征值的配置。观测器方程原系统状态方程令可得5.5

状态观测器G的设计实际上转化为极点配置问题。例已知系统设计状态观测器使其极点为-10,-10。

四反馈矩阵G的设计解：1）检测能观性故能观，可构造观测器。2）将系统化为能观II型得：系统特征多项式5.5

状态观测器3)引入反馈矩阵得观测器特征多项式5.5

状态观测器6）变回到X状态下4）由期望的极点得期望特征多项式5）比较和的系数得5.5

状态观测器7）得到观测器方程为或5.5

状态观测器对于维数较低，计算简单的情况，也可以不进行能观性变换，而直接比较特征多项式的系数来确定G.则如本例，可直接设比较系数得：5.5

状态观测器本例的状态观测器结构图，5.5

状态观测器

以上介绍的状态观测器，其维数与受控系统维数相同，称为全维状态观测器。五、降维状态观测器事实上，系统的输出y总是可以测量的，因此，可以利用y来直接产生部分状态变量，从而降低观测器的维数。可以证明，若系统能观，输出矩阵C的秩为m，那么它的m个状态分量可由y直接获得，只需对剩余的n-m个状态分量进行重构，从而构造出n-m维的降维状态观测器。5.5

状态观测器（1）通过线性变换把状态按能检测性分解。降维状态观测器设计步骤：为保证T奇异的任意(n-m)×n维矩阵。设系统能观，且rankC＝m，则存在线性变换n-mmr验证：使得，5.5

状态观测器上式两边同时右乘得：这样，原系统经过变换后具有如下形式可见，n维向量中，m维的可以由直接得到，而n-m维的需要重构。5.5

状态观测器将M、Z当作待观测系统的输入和输出量，则相当于系统矩阵，相当于输出矩阵。2）对构造n-m维降维观测器由得：针对系统设计观测器。5.5

状态观测器仿照全维状态观测器的设计方法，有通过选择反馈矩阵，可将矩阵的特征值配置在期望位置。将代入降维观测器方程，得5.5

状态观测器方程中出现了，为消去之，引入变量于是为的估计值，整个状态向量的估计值为整理得，最后，将变回状态5.5

状态观测器降维观测器的具体设计步骤：（1）按能检测性分解；（2）根据期望极点求得；（3）由得到观测器方程；（4）变回状态下。例给定系统试设计极点为-3,-4的降维状态观测器。5.5

状态观测器2）作能检测性分解故系统完全能观，又所以可设计n－m＝2维观测器。解：1）判断能观性得5.5

状态观测器引入，观测器特征多项式：期望特征多项式比较系数得5.5

状态观测器3）观测器方程或者5.5

状态观测器（4）变回X状态下5.5

状态观测器结构图如下：5.6

利用状态观测器实现状态反馈一、系统的结构与状态空间表达式利用状态观测器实现状态反馈的系统结构如图所示K5.6

利用状态观测器实现状态反馈带有观测器的反馈系统存在两个问题2)状态观测器本身的特性是否会受到影响？1)中，用代替实施反馈，对设计结果是否有影响？两个闭环系统是否具有同样的特征值？在5.6

利用状态观测器实现状态反馈原系统方程观测器方程状态反馈闭环系统状态空间表达式：代入上式得5.6

利用状态观测器实现状态反馈引入等效变换：写成矩阵形式为：这是一个2n维闭环系统。二、闭环系统的基本特性1、闭环极点设计的分离性设状态估计的误差为：5.6

利用