绝对值的最值问题

第第#页当当x=-13时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=40第1页【例题1］：求|x+1l|+|x-12|+|x+13|的最小值，并

求出此时x的值？分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程可令x+11=0,x-12=0,x+13=0得x=-11,x=12,x=-13(-13,-11,12是本题零点值)当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，贝lj|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12当x=-13时，x+11=-2,x-12=-25,x+13=0,贝lj|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40当-13<x<-11时，x+11<0,x-12<0,x+13>0,贝lj|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14当x=-11时，x+11=0,x-12=-23,x+13=2,贝lj|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25当-11<x<12时，x+11>0,x-12<0,x+13>0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36当x=12时，，x+11=23,x-12=0,x+13=25,则lj|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48当x>12时，x+11>0,x-12>0,x+13>0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12可知：当x<-13时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27

当-13<x<-11时,|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14,25<-x+14<27当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=25当-11<x<12时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+36, 25<x+36<48当x=12时|x+11|+|x-12|+|x+13|=48当x>12时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25,此时x=-11解：可令x+11=0,x-12=0，x+13=0得x=-11，x=12，x=-13(-13，-11,12是本题零点值)将-11,12，-13从小到大排列为-13<-11<12可知-11处于-13与12之间，所以当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|有最小值是25例题4：求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值分析:回顾化简过程如下令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0则零点值为x=1,x=2,x=3,x=4(1)当xV1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10(2)当14xV2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8

⑶当24xV3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4(4)当34xV4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2(5)当x>4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10根据x的范围判断出相应代数式的范围，在取所有范围中最小的值，即可求出对应的x的范围或者取值解：根据绝对值的化简过程可以得出当xV1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10>6当14xV2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+84V2x+846当24xV3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4当34xV4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|