第十五电路方程的矩阵形式

第十五电路方程的矩阵形式第一页，共四十八页，编辑于2023年，星期一重点内容：

1.拓扑图的基本概念

2.关联矩阵、基本回路矩阵、基本割集矩阵

3、节点电压方程的矩阵形式难点：1.割集的意义2.、、的列写及相互关系3.含有受控源的节点电压方程的矩阵形式第二页，共四十八页，编辑于2023年，星期一第十五章电路方程的矩阵形式§15.1网络图论的概念给定一个网络，如果不考虑元件的特性，可将各元件用一线段表示，由这种线段组成的图（反映了电路的连接关系）称为拓扑图或线图。（各边称为支路，各顶点称为节点。）第三页，共四十八页，编辑于2023年，星期一支路电压和支路电流的正方向与支路方向一致-----有向图连通图：是指拓扑图中任意两节点间都至少有一条通路。子图：是指原拓扑图的一部分，可包括原图的一些边和顶点。树：在连通图中包含连通图中的全部节点和部分支路，不包含回路。第四页，共四十八页，编辑于2023年，星期一如上图的一些树：第五页，共四十八页，编辑于2023年，星期一拓扑图中属于树的各边称为树支，其余称为连支。

由连支组成的部分称为余树。

割集：在连通图中符合下列条件的边的集合称为割集。

(1).去掉该边集后原来的连通图不在连通；

(2).如果该边集中保留一条边不去掉，则图仍连通；

如上图，由（b1,b4,b5）组成的割集。a.去掉b1,b4,b5后，分为两部分，不在连通；b.如果在b1,b4,b5中保留任意一条边则图仍为连通。第六页，共四十八页，编辑于2023年，星期一由（b2,b3,b4,b5）也组成割集；

由（b1,b3,，b5，b6）也组成割集。基本割集：就是单树支割集，即该割集中只含一条树支，其余为连枝。如上图选b1,b3,b5为树，相应的基本割集如图，第七页，共四十八页，编辑于2023年，星期一Q1由（b1,b2,b4,b6）组成，b1是树支，b2,b4,b6是连支；

Q2由（b3,b4,b6）组成，b3是树支，b4,b6是连支；

Q3由（b5,b2,b6）组成，b5是树支，b2,b6是连支。规定基本割集的方向与其中的树支方向一致。第八页，共四十八页，编辑于2023年，星期一若将切割线Q1，Q2，Q3延伸成闭合面则有：基本回路：就是单连支回路。规定基本回路的方向与其连支的方向一致。------称为割集电流方程可见割集电流方程可看作广义的节点电流方程（KCL）。第九页，共四十八页，编辑于2023年，星期一图中由（b2,b3,b6）组成的回路不是基本回路，因为有两条连支。如图：回路l1：由（b2,b1,b5）组成，b2是连支；回路l2:由（b4,b1,b3）组成，b4是连支；回路l3由（b6,b1,b3,b5）组成，b6是连支。

-----------称为回路电压方程第十页，共四十八页，编辑于2023年，星期一§15.2关联矩阵，回路矩阵，割集矩阵1关联矩阵（节点与支路的关系）a.关联矩阵设电路的节点数为n，支路数为b，依次给出支路和节点的编号，然后把有向图结构用一个nb阶矩阵来表示，记为，称为电路的节点------支路关联矩阵。简称关联矩阵。矩阵的行对应于有向图的节点，列对应于有向图的支路，其元素定义如下：第十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期一

当支路k不连接到节点j时；当支路k连接到节点j时，且方向为离开节点；当支路k连接到节点j时，且方向为指向节点；第十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期一

123456①

行号如图的关联矩阵为：列号②③④第十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期一特点：

a.每一列的代数和均为零。其中的行不是彼此独立的，其任意一行都与（n-1）行的和的相反的数相等。

b.去掉以任意一个节点为参考节点所对应的一行后记为（n-1）b阶矩阵称为降阶的关联矩阵简称关联矩阵。用符号表示。

在中划去的行对应的节点即为参考节点。如上图选节点④为参考节点则有：第十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期一每一行都是相互独立的；且与有向图是一一对应的。第十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期一b.关联矩阵与节点电流定律（KCL）用矩阵形式表示的支路电流列向量为若用关联矩阵左乘支路电流列向量可得一个n行的列向量矩阵，该列向量中每一行的元素之和恰为离开该节点的支路电流与流入该节点的支路电流的代数和。（离开节点的电流为正，流入节点的电流为负）由KCL可得节点电流代数和为零。因此有左乘其值为零的向量即有：称为矩阵形式的KCL.或（正弦稳态电路时应用）第十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期一如前图有：为n-1个节点的KCL。c.节点电压与支路电压之间的矩阵形式关系式设电路(n-1)节点电压的列向量为：支路电压的列向量为：第十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期一用关联矩阵的转置矩阵左乘节点电压列向量可得一个b行的列矩阵。中的每一列元素反映了支路所连接的两个节点且为一正一负。因此与乘积的列向量每一行中只包含该支路离开节点的电压（为正）与指向节点的电压（为负）之差即为该支路电压，即有：或如前图，节点电压列向量为第十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期一矩阵形式的KVL,反映了节点电压与支路电压之间的关系第十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期一2.回路矩阵a.回路矩阵独立回路可以选取单连支回路，这样建立的回路矩阵（（b-n+1）b阶矩阵）称为基本回路矩阵，简称回路矩阵。用表示，其行对应于某一回路；列对应于某一支路；元素bjk满足下列关系：支路k不包含在回路j中；支路k包含在回路j中，且方向与回路j的绕向一致；支路k包含在回路j中，且方向与回路j的绕向相反；J为回路号也是行号，k为支路号也是列号。第二十页，共四十八页，编辑于2023年，星期一如图选取支路1、2、3作为树，则有基本回路矩阵为：回路l1(1,2,3,4)回路l2(1,2,5)组成。回路l3(2,3,6)（各回路的绕向与该回路中连支的方向相同）由此可知：ⅰ.若支路编号采取先树支后连支，则的右半部分是个单位矩阵，即有若支路的编号采取先连支后树支则有：是由树支组成的回路子矩阵。第二十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期一ⅱ.回路矩阵的行反映了某一回路与支路的关系即该回路是由那些支路组成，以及支路与回路的方向是否相同；而回路矩阵的列反映了某一支路与所有回路的关系即该支路都属于哪个回路中，以及该支路与回路的方向是否相同。ⅲ.若选取网孔回路则称为网孔回路矩阵。通常用表示。b.回路矩阵与回路电流定律支路电压与回路电压的关系：设支路电压的参考方向与支路电流的方向为关联方向，为支路电压列向量；用回路矩阵左乘支路电压列向量可得一个（b-n+1)个元素的列向量，第二十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期一其每一行都包含了该回路中所有支路电压的代数和（支路方向与回路绕向一致为正，反之为负）由KVL可知，任一闭合回路电压的代数和恒为零即有或称为矩阵形式的KVL。如上图中，第二十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期一支路电流与回路电流的关系：设回路电流列向量为用左乘中所有回路电流的代数和，且回路电流方向与支路方向一致时为正，反之为负；即为该支路的电流值。则乘积的每一行之和恰为流过该支路则有：或如上图有：第二十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期一或3.割集矩阵a.割集矩阵（割集与支路的关系）割集与支路的关系可以用一个矩阵来描述，其行号对应于割集号，列号对应于支路号，则元素：第二十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期一当支路k不再割集j内；当支路k在割集j内，且方向与割集j方向一致；当支路k在割集j内，且方向与割集j方向相反；这样建立的矩阵称为割集矩阵。表示。（（n-1）b阶矩阵）用选择单树支割集作为一组独立的割集，对应的矩阵称为基本割集矩阵。第二十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期一如图所示，选支路（1，2，3）为树，单树支割集及方向如图，则有

若支路编号按照先树支后连支，而且顺次列写，割集方向为树支方向则中包含一个（n-1）(n-1)阶单位矩阵，表示为：表示由连支组成的割集矩阵.第二十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期一b.割集KCL的矩阵形式用割集矩阵左乘支路电流列向量则其乘积的每一行之和恰好为穿过该割集表面的支路电流的代数和（KCL）即为零向量。或（为广义节点的KCL的矩阵形式）如上图：则有：第二十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期一c.割集电压与支路电压的关系若选单树支割集为基本割集，则割集电压即为树支电压，可用（n-1）阶列向量表示，用割集矩阵的转置矩阵左乘割集电压列向量其乘积为支路电压列向量即有：或如上图有：则有第二十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期一§15.3关联矩阵、基本回路矩阵和基本割集矩阵的关系对于同一个电路，若各支路、节点的编号及方向均相同时，其关联矩阵基本回路矩阵和基本割集矩阵存在一定的关系。如图所示，选1、2、3为树支，采取单树支割集和单连支回路矩阵，则有：用左乘可得：第三十页，共四十八页，编辑于2023年，星期一即有：或若电路的支路编号按先树支后连支则上式可写为：即有：表示由树支组成的回路矩阵子矩阵；表示由连支组成的割集矩阵子矩阵。第三十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期一在上图中，设节点④为参考节点，则关联矩阵为：用左乘可得：即有或第三十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期一若选择只包围一个节点的割集，且方向为离开节点，则有割集矩阵就是关联矩阵如果支路编号按先树支后连支方式，则关联矩阵两边左乘可得：即有：所以基本回路矩阵可写为：可由关联矩阵求得基本回路矩阵。同样由和可得：第三十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期一所以有即可由关联矩阵求得基本割集矩阵。§15.4节点电压方程的矩阵形式本节介绍用系统性的方法来建立矩阵形式的节点电压方程组。典型支路结构如图：由支路元件、独立电压源、独立电流源组成，支路电流，支路电压，其电流电压的参考方向如图。在正弦稳态情况下，可得支路电流电压关系式：其中，含有b条支路组成的电路有：第三十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期一其矩阵形式为，其中有：支路电压列向量矩阵；支路电流列向量矩阵；支路电压源列向量矩阵；支路电流源列向量矩阵；第三十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期一为支路阻抗矩阵，电路不包含受控源时为一对角线矩阵，即有与之对应的支路导纳矩阵为：且有对式两边左乘支路导纳矩阵可得：即有：对其式两边左乘关联矩阵得：即有因为支路电压与节点电压之间有所以上式可以写成第三十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期一或以上两式均称为矩阵形式的节点电压方程式。其中称为节点导纳矩阵。为节点电压列向量矩阵。列矩阵形式的节点电压方程的解题步骤：对各支路及节点进行编号，并给出各支路的参考方向；b.做出有向图；c.选定参考节点，写出关联矩阵d.依据典型支路结构和方向分别写出：第三十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期一e.代入公式中即可得到节点电压方程的矩阵形式。例题：如图所示电路各支路阻抗值、电压源及电流源均为已知，是建立矩阵形式的节点电压方程。解：对各支路及节点进行编号，并给出各支路的参考方向如图。2.做出有向图如图。3.选节点④为参考节点则有关联矩阵第三十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期一4.5.分别求出：第三十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期一第四十页，共四十八页，编辑于2023年，星期一6.代入公式或可得：第四十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期一由此可见，与直接对电路列写的节点电压方程是一样的。第四十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期一*一般支路中若包含元件电流控制的电压源如图所示，为第条支路中流过的电流，

为控制系数，若设一个有b条支路，其中第条支路中有一受支路元件电流控制的电压源，方向如图，则有支路的电压电流方程为：其余支路电压电流方程为：

则该电路的支路电压电流方程为：（矩阵形式）第四十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期一或记为

支路阻抗矩阵不再是一个对角线矩阵，在支路阻抗矩阵中