2014秋人教版数学九上21圆的有关性质重点复习

知识点一：圆的概念及表示方法（重点）集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“。O”，读作“圆O”。圆具有的特性：（1）圆上各点到定点的距离都等于定长（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上注意：（1）根据圆的概念可以知道“圆”指的是“圆周”（一条封闭的曲线），而不是圆面。（2）确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。（3）利用圆具有的特性，我们可以来判断一个多边形的各个顶点是否在同一个圆上。例1：通过下列条件，能确定圆的为（）4、已知点O为圆心 B、点O为圆心，2cm为半径2：如图，点A、D、G、M在半圆O上,C、以2cm为半径 D、经过已知点A，且半径为2：如图，点A、D、G、M在半圆O上,则下列各式正确的是（）A.a>b>cC.c>a>b D.a=b=cB.b>c>a知识点二：圆的有关概念弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，例：直径：经过圆心的弦叫做直径，如图“直径AB”注意：直径是圆中最长弦，但弦不一定是直径弧、半圆、劣弧、优弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如： ；小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如：注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆

等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等注意：等圆只和半径大小有关，和圆心的位置无关等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧注意：长度相等的弧不一定是等弧例3：有以下结论：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤长度相等的两条弧是等弧A、1个 B、2个 C、3个 D、4个点拨：只有在同圆或等圆中才存在等弧，在大小不等的两个圆中不存在等弧。在判断等弧时，首先要看两弧所在的圆是否为同圆或等圆，然后再看弧的长度是否相等。知识点三：圆的对称性1、轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。2、旋转对称性：圆具有旋转不变性，它绕圆心旋转任意一个角度都能与它本身重合，因此圆也是中心对称图形，圆心是对称中心。例4：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）①等边三角形；②平行四边形；③等腰梯形；④圆知识点三：垂直于弦的直径（重点）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB±CD③CE=DE④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。例5、如图，AB为。O的直径，弦CD^AB,垂足为点E，连接OC,若OC=5,CD=8,则AE=（）。(6)例6：如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于D.若AC=8cm,DE=2cm,则OD的长为.练习：1.下面四个命题中正确的一个是()A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C.弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D.在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2.下列命题中，正确的是( ).A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B.过弦的中点的直线必过圆心C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D.弦的垂线平分弦所对的弧3、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm,那么油面宽度AB是 cm.4、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm,那么油的最大深度为cm.5、如图，已知在。O中，弦AB=CD，且AB±CD，垂足为H,OE±AB于E,OF±CD于F.(1)求证：四边形OEHF是正方形.(2)若CH=3,DH=9，求圆心O到弦AB和CD的距离.6、已知：△ABC内接于。O,AB=AC,半径OB=5cm,圆心O到BC的距离为3cm,求AB的长.

7、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是BF的中点，ADXBC于D,一一1一求证：AD=—BF.2垂径定理典型例题总结一.选择题★1.如图1,OQ的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,那么弦AB的长是（ ）A.4 B.6C.7D.8★2.如图，。0的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（ ）D.5D.5★3.过。O内一点M的最长弦为10cm,最短弦长为8cm,则OM的长为（）A.9cmB.6cmC.3cm D.A.9cmB.6cmC.3cm D.三41cm★4.如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）10个单位1个单位个单位，则圆的直径为（）10个单位1个单位15个单位1.已知AB是。O的弦，AB=8cm,OCXAB与C,OC=3cm,则。O的半径为cm2.在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm,则它的弦心距为 cm3.在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于

★4.已知AB是。O的弦，AB=8cm,OCXAB与C,OC=3cm,则。O的半径为cm★5.如图，。0的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,若NCOD=120°,OE=3厘米，则CD= 厘米图4★6.半径为16cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为cm.★7.过。O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于—cm★★8.已知AB是。O的直径，弦CDXAB,E为垂足，CD=8,OE=1,则AB=★★9.如图，AB为。O的弦，。O的半径为5,OCXAB于点D,交。O于点C,且CD=l,则弦AB的长是 ★★10.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m,半径OA=10m,则中间柱CD的高度为m三.解答题★★1.已知。O的弦AB长为10,半径长R为7,OC是弦AB的弦心距，求OC的长★★2.已知。O的半径长为50cm,弦AB长50cm.求：（1）点O到AB的距离；（2）NAOB的大小★★3.如图，直径是50cm油面宽度★★3.如图，直径是50cm油面宽度AB圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm,求★★4.如图，已知。O的半径长为R=5,弦AB与弦CD平行，他们之间距离为7,AB=6求：C,交弦AB于点0。已知：AB=24cm，CD=8cm（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）;（2）求（1）中所作圆的半径.四.证明题★★1.如图，AB是。O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC二BD。求证：OC=OD,点D是弧,点D是弧AB中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C.★★3.已知：如图所示：是两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于CD,求证：AC=BD★★4.如图，AB、CD是。O的弦，且AB=CD,OM±AB,ON,CD,垂足分别是点M、N,BA、DC的延长线交于点P.求证：PA=PC★★5.已知：如图，点P是。O外的一点，PB与。O相交于点A、B,PD与。O相交于C、D,AB=CD.求证：(1)PO平分NBPD；(2)PA=PC，一―…★★★6.,.-已知：如图所示，点P是。O外的一点，PB与。O相交于点A、B,PD与。O相交于C、D,AB=CD.求证：(1)PA=PC；(2)AEEC

知识点五：弧、弦、圆心角的关系（难点）圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角（拓展：圆心角的度数与所对弧的度数相等）如图：哪个是圆心角？圆心角有什么主要特征?（7）（7）弧、弦、圆心角之间的关系:定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。结论：1、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。2、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧相等、劣弧相等注意：不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果丢掉了这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，例：环形规律总结：在同圆或等圆中，两条弧（一般同为优弧或劣弧）、两条弦、两个圆心角中，只要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等例7：如图所示,AB是圆O的弦,C、D为弦AB上的两点，且OC=OD,延长OC、OD分别交圆O于点E、F。求证：弧AE=MBF知识点六：圆周角（重点）（1）圆周角必须具备两个特征：第一，顶点在圆上；第二，两边都与圆相交。（2）同一条弧所对的圆周角有无数个。圆心角与圆周角的区别与联系区别：圆心角：顶点在圆心，在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的

圆周角：顶点在圆上，在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个联系：两边都和圆相交知识点七：圆周角定理及其推论（难点）定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半TOC\o"1-5"\h\z推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等 V）注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦结论就不成立了，因为一条弦所对的圆 ,周角有两个，它们相等或互补"（3）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径（此性质介绍了一种常见的引辅助线的方法：有直径，通常作直径所对的圆周角； 屋二反过来，有90°的圆周角，通常作直径） «—'芋例8、OO的半径为1,AB是。O的一条弦，且AB=y3,则弦AB所对圆周角为（）A、30° B、60° C、30°或150° D、60°或120°规律总结：（1）求一条弦所对的圆周角的度数时，应注意一条弦所对的圆周角有两种情况。（2）在同圆或等圆中，一条弦两侧所对两个圆周角的度数之和为180°。经典例题：【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？【例2】如图，已知。O中，AB为直径，AB=10cm,弦AC=6cm,ZACB的平分线交OO于D,求BC、AD和BD的长.【例3】如图所示，已知AB为。O的直径，AC为弦，OD〃BC,交AC于D,BC=4cm.（1）求证：ACXOD； （2）求OD的长； （3）若2sinA—1=0,求。O的直径.【例4】四边形ABCD中，AB〃DC,BC=b,AB=AC=AD=a，如图，求BD的长.

【例5】如图1,AB是半。O的直径，过A、B两点作半。O的弦，当两弦交点恰好落在半。O上C点时，则有AC-AC+BC-BC=AB2.(1)如图2,若两弦交于点P在半。O内，则AP•AC+BP-BD=AB2是否成立？请说明理由.(2)如图3,若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2=.参照(1)填写相应结论，并证明你填写结论的正确性.巩固练习:一、选择题1.下列说法正确的是(A、顶点在圆上的角是圆周角A、顶点在圆上的角是圆周角B、两边都和圆相交的角是圆周角C、圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半C、圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半0、圆心角是圆周角的2倍2.如图2,A、B、C三点都在。2.如图2,A、B、C三点都在。O上点D是AB延长线上一点，NAOC=140。，则NCBD的度数为()3.A、40°B、50°C、703.A、40°B、50°C、70°D、110°在同圆中，同弦所对的圆周角(A相等B、互补C、相等或互补 D、互余4.A、65°B、80°C、50°在。O中，半径为r=1,弦AB=j2，弦AC="：3，则4.A、65°B、80°C、50°在。O中，半径为r=1,弦AB=j2，弦AC="：3，则NBAC为A、75°B、15°C、75°或15°如图3,已知A、B、C、D、Q五点在。O上，BD的度数为80°C、80°D、60°()D、90°或60°则NP+NAQC等于( )D、120°锐角三角形ABC内接于。O,若NOBC=25°,则NA的度数为二、解答题.如图所示，BC为直径，G为半圆上任一点，A为弧BG中点，APXBC于P,求证：AE=BE=EF..已知:如图所示A、B、C、D、E为。O上的点，且AB=BC=CD,/BAD=50。.求NAED的度数.课后练习：一.选择题.如图所示，AABC内接于。O,AB二AC,弦AD和底边BC交于点E,AC=6,AE=4,则AD等于（ ）A、10 B、9 C、8 D、2v6.如图3、一副三角板ABC和DEF的顶点都在同一圆上，则DA与EFC的度数和为（ ）A、90。 B、120。C、135O D、150°.在RtAABC中，