机械设计基础-第三章 凸轮机构

3.1凸轮机构的应用和分类3.2从动件的常用运动规律3.3图解法设计凸轮轮廓3.4解析法设计凸轮轮廓简介3.5设计凸轮机构应注意的问题第三章凸轮机构3.1.1应用举例3.1.2凸轮机构的组成与分类3.1.3凸轮机构的特点3.1从动件的常用运动规律3.1.1应用举例凸轮机构主要由凸轮、从动件和机架三个基本构件组成。凸轮是具有一个具有曲线轮廓或凹槽的构件，当它运动时，通过高副接触而使从动件获得任意预期的运动规律。凸轮一般作连续等速转动，凸轮和从动件的接触可以靠弹簧力、重力或凹槽来实现，从动件可作连续或间歇的往复运动或摆动。凸轮机构可根据凸轮的形状和从动件的型式分类。3.1.2凸轮机构的组成与分类按凸轮的形状分按从动件的型式分凸轮机构的优点是：只需设计出合适的凸轮轮廓，就可使从动件获得所需的运动规律；结构简单、紧凑、设计方便。它的缺点是：凸轮轮廓与从动件之间为点接触或线接触，易于磨损，所以通常多用于传力不大的场合；与圆柱面和平面相比，凸轮轮廓的加工要困难得多；为使凸轮机构不致过于笨重，从动件的行程不能过大。3.1.3凸轮机构的特点

凸轮的轮廓是由从动件运动规律决定的。设计凸轮机构之前，首先应根据工作要求确定从动件的运动规律，然后按照这一运动规律设计凸轮轮廓线。3.2.1术语介绍3.2.2几种常见的从动件运动规律3.2从动件的常用运动规律基圆基圆半径推程行程推程运动角远休止角回程回程运动角近休止角从动件位移线图从动件运动线图3.2.1术语介绍下面以尖顶直动从动件盘形凸轮机构为例，说明凸轮设计中常用的术语。基圆以凸轮轮廓曲线的最小向径r0为半径所绘的圆。基圆半径凸轮轮廓曲线的最小向径r0。推程当尖顶与凸轮轮廓上的A点(基圆与轮廓AB的连接点)相接触时，从动件处于上升的起始位置。当凸轮以ω1等角速沿逆时针方向回转δt时，从动件尖顶被凸轮轮廓推动，以一定运动规律由离回转中心最近位置A到达位置B‘，这个过程称为推程。行程从动件在推程过程中所走过的距离h。推程运动角从动件在推程过程中凸轮的转角δt。远休止角当凸轮继续回转δs时，以O点为中心的圆弧BC与尖顶相作用，从动件在最远位置停留不动。此时凸轮转过的角度δs称为远休止角。回程凸轮继续回转δh时，从动件以一定运动规律回到起始位置，这个过程称为回程。回程运动角从动件在回程过程中凸轮的转角δh。近休止角当凸轮继续回转δs‘时，从动件在最近位置停留不动。此时凸轮转过的角度δs’称为近休止角。从动件位移线图在直角坐标系中，以横坐标代表凸轮转角δ1，以纵坐标代表从动件位移s2，所得的从动件位移s2与凸轮转角δ1之间的关系曲线。因一般凸轮作等速转动，故横坐标同时也代表时间t。从动件运动线图通过微分作出的从动件速度线图和加速度线图，统称为从动件运动线图。

由以上分析可知，凸轮轮廓曲线的形状取决了从动件的位移线图。也就是说，从动件的不同运动规律要求凸轮具有不同的轮廓曲线。3.2.2几种常见的从动件运动规律１.等速运动推程时，凸轮转过推程运动角ωt，从动件升程为h。若以T表示推程运动时间，则等速运动时，从动件的速度v2

=v0

=h/T；从动件位移s2

=v0

t=h*t/T；从动件的加速度a2

=dv2

/dt=0。凸轮匀速转动时，ω1为常数，故δ1=ω1t；δt=ω1T。将这些关系代入上式便得出凸轮的从动件运动方程。3.2.2几种常见的从动件运动规律由上式可知，从动件运动开始时，速度由零突变为v0，故a2

=+∞；运动终止时，速度由v0突变为零，a2

=-∞，其惯性力将引起刚性冲击。2.等加速等减速运动这种运动规律通常令前半行程作等加速运动，后半行程作等减速运动，如下表所示。这种运动规律在一些特殊点处加速度出现有限值的突然变化，因而产生有限惯性力的突变，结果将引起所谓柔性冲击。所以等加速等减速运动规律只适用于中速凸轮机构。3.简谐运动点在圆周上作匀速运动时，它在这个圆的直径上的投影所构成的运动称为简谐运动。这种运动规律的从动件在行程的始点和终点有柔性冲击；只有当加速度曲线保持连续时，这种运动规律才能避免冲击。为了加速度曲线保持连续而避免冲击，工程上还应用正弦加速度、高次多项式等运动规律，或者将几种曲线组合起来加以应用。

在合理地选择从动件的运动规律之后，根据工作要求、结构所允许的空间、凸轮转向和凸轮的基圆半径，就可设计凸轮的轮廓曲线。设计方法通常有图解法和解析法。图解法简单、直观，但精度有限，因此作图法用于低速或精度要求不高的场合。解析法精度较高，适用于高速或要求较高的场合。本节介绍几种常见的凸轮轮廓的绘制方法。3.3.1凸轮轮廓绘制原理3.3.2尖顶直动从动件盘形凸轮轮廓的绘制3.3.3滚子直动从动件盘形凸轮轮廓的绘制3.3.4平底直动从动件盘形凸轮轮廓的绘制3.3.5

摆动从动件盘形凸轮轮廓的绘制3.3.6圆柱凸轮展开轮廓的绘制3.3图解法设计凸轮轮廓3.3.1凸轮轮廓绘制原理当凸轮机构工作时，凸轮是运动的，而绘制凸轮轮廓时，却需凸轮与图纸相对静止。所以用图解法绘制凸轮轮廓曲线要利用相对运动原理。在尖顶直动从动件盘形凸轮设计时，由于尖顶始终与凸轮轮廓相接触，所以在从动件的这种复合运动中，其尖顶的运动轨迹就是凸轮轮廓曲线。这种按相对运动原理绘制凸轮轮廓曲线的方法称为“反转法”。用“反转法”绘制凸轮轮廓在已知从动件位移线图和基圆半径等后，主要包含三个步骤：

（1）将凸轮的转角和从动件位移线图分成对应的若干等份；

（2）用“反转法”画出反转后从动件各导路的位置；

（3）根据所分的等份量得从动件相应的位移，从而得到凸轮的轮廓曲线。3.3.2尖顶直动从动件盘形凸轮轮廓的绘制下图所示为从动件导路通过凸轮回转中心的尖顶对心直动从动件盘形凸轮机构。今已知从动件的位移线图，凸轮的基圆半径，以及凸轮以等角速度逆时针转动，要求绘出此凸轮的轮廓。根据“反转法”原理，可以作图如下：3.3.3滚子直动从动件盘形凸轮轮廓的绘制若把尖顶从动件改为滚子从动件时，则按上述方法求得的曲线称为凸轮的理论轮廓。滚子从动件时凸轮轮廓的设计方法如下图所示。

（1）把滚子中心看作尖顶从动件的尖顶，按照上面的方法求出一条理论轮廓曲线；

（2）再以滚子半径为半径，画一系列圆；

（3）作这些圆的包络线便是使用滚子从动件时凸轮的实际轮廓。值得注意的是，滚子从动件凸轮的基圆半径应当在理论轮廓上度量。3.3.4平底直动从动件盘形凸轮轮廓的绘制当把尖顶从动件变为平底从动件时，绘制方法与滚子从动件相似，设计方法如下：

（1）按尖顶从动件的设计方法求出一条理论轮廓曲线上各点；

（2）过各点作一系列平底；

（3）作平底的包络线，它便是平底从动件凸轮的实际轮廓。3.3.5

摆动从动件盘形凸轮轮廓的绘制已知从动件的角位移线图，凸轮与摆动从动件的中心距，摆动从动件的长度和凸轮的基圆半径，以及凸轮于等角速度及逆时针回转，要求绘出此凸轮的轮廓。用“反转法”绘制尖顶摆动从动件盘形凸轮轮廓曲线的步骤如下：3.3.6圆柱凸轮展开轮廓的绘制

图解法绘制凸轮轮廓简便、直观，但作图误差较大，难以获得凸轮轮廓曲线上各点的精确坐标，所以只用低速或不重要的场合。对高速凸轮或对从动件运动规律要求较高的凸轮，必须用解析法进行设计。本节介绍用解析法设计偏置滚子直动从动件盘形凸轮机构的凸轮轮廓。设ρ,θ为凸轮理论轮廓上各点的极坐标值，ρT,θT为凸轮实际轮廓上对应点的极坐标值，下面给出凸轮轮廓曲线以凸轮回转中心为极点的极坐标表示。3.4解析法设计凸轮轮廓简介如果已知偏距e(凸轮回转中心至过接触点从动件导路之间的偏置距离)，基圆半径rmin，滚子半径r，从动件运动规律s2=s2(δ1)以及凸轮以等角速度ω1顺时针方向回转。根据反转法原理，可画出相对初始位置反转δ1角的机构位置，如图3-14所示。此时，从动件滚子中心B所在位置也就是凸轮轮廓上的一点，其极坐标为

由于凸轮实际轮廓曲线是理论轮廓曲线的等距曲线，所以两轮廓曲线对应点具有公共的曲率中心和法线。在图3-14中，过B点作理论轮廓的法线交滚子于T点，T点就是实际轮廓上的对应点。同时，法线nn与过凸轮轴心O且垂直于从动件导路的直线交于P点，P点就是凸轮与从动件的相对瞬心，且lop

=v2

/ω1。于是从图中△OPB可得在编制出相应的计算机程序后，就能计算出凸轮轮廓上各点的坐标，画出凸轮轮廓，修改设计参数后，可以得到较好的设计方案。设计凸轮机构时，不仅要保证从动件实现预定的运动规律，还要求传动时受力良好、结构紧凑。选择凸轮滚子半径时，应考虑其对凸轮轮廓的影响；基圆半径是凸轮轮廓的一个重要参数，它对凸轮机构尺寸、受力、磨损和效率有重要的影响。3.5.1滚子半径的选择3.5.2压力角的校核3.5.3基圆半径对凸轮机构的影响3.5设计凸轮机构应注意的问题3.5.1滚子半径的选择凸轮理论轮廓曲线求出后，如果滚子半径选择不当，其实际轮廓曲线有可能出现失真。对下图所示的凸轮理论轮廓外凸部分，某处的曲率半径ρ0

与对应的实际轮廓的曲率半径ρ和滚子半径r

之间的关系为ρ0

=

ρ

+

r。如果ρ0

＞

r，则B，此时工作轮廓为一光滑曲线，如图a处；如果ρ0

＝

r，则ρ

＝0，此时工作轮廓在该处将出现尖点，极易磨损，不能使用，如图b处；如果ρ0

＜

r，则ρ

＜

r，此时实际轮廓曲线发生相交，图中阴影部分的轮廓曲线在实际加工时将被切去，使这一部分运动规律无法实现，如图c处。因此，尽管增大滚子半径可以减小凸轮与滚子间的接触应力，但为了使凸轮轮廓在任何位置既不变尖也不相交，滚子半径必须小于理论轮廓外凸部分的最小曲率半径ρmin。如果ρmin过小，按上述条件选择的滚子半径太小而不能满足安装和强度要求，就应当把凸轮基圆尺寸，重新设计凸轮轮廓曲线。3.5.2压力角的校核凸轮机构中，从动运动方向和接触轮廓法线(或凸轮对从动件法向力)之间所夹的锐角称为压力角。上图所示为尖顶直线从动件凸轮机构在推程的某个位置。当不考虑摩擦时，凸轮给于从动件的力R沿凸轮轮廓法线方向，故从动件运动方向与力R方向之间的夹角α即为压力角。当R一定时，压力角α越大，则有害分力R'越大，机构的效率越低。当α增大到一定程度，以致R'所引起的摩擦阻力大于或等于有用分力R'时，无论凸轮加给从动件的作用多大，也不能使从动件运动。这种仅在驱动力(或驱动力矩)作用下，所引起的摩擦使机构不能产生运动的现象称为自锁。机构开始自锁时的压力角就是机构所允许的极限压力角。综上所述，为了保证凸轮机构正常工作并具有一定的传动效率，必须对压力角加以限制。显然，凸轮轮廓曲线上各点的压力角是变化的，因此，在设计时应使凸轮机构的最大压力角不超过许用值[α]，许用压力角远小于极限压力角。一般对于直动件凸轮机构推程中，取许用压力角[α]≤30°；对于摆动从动件凸轮机构推程中，取许用压力角[α]≤30°～45。从动件处于回程中，从动件实际上不是由凸轮推动，而是在弹簧或重力作用下返回的，因此回程不会出现自锁。故通常只须对凸轮机构推程的压力角进行校核。3.5.3基圆半径对凸轮机构的影响显然，如果从动件位移已给出，增大基圆半径，则凸轮上各点对应的向径也增大，凸轮机构的尺寸也会增大。所以凸轮的基圆半径应可能取得小些，以使所设计的凸轮机构应可能紧凑些。但是，基圆半径越大，凸轮推程轮廓也平缓；而基圆半径越小，凸轮推程轮廓越陡峻，将会引起压力角增大，致使机构工作情况变坏。在图3-14中，角α为压力角，因故压力角的计算公式为由上式知，在其他条件都不变的情况下，基圆半径rmin越小，压力角α越大。基圆半径过小，压力角就会超过许用值，使机构效率太低，甚至发生自锁。因此实际设计中，只是在保证凸轮推程轮廓的最大压力角不超过许用值的前提下，考虑缩小凸轮的尺寸。

4.1齿轮机构的特点及类型4.2齿廓啮合基本定律4.3渐开线性质及渐开线齿廓4.4渐开线直齿圆柱齿轮各部分的名称和尺寸

计算4.5渐开线标准齿轮的啮合传动4.6渐开线齿轮的切齿原理4.7根切现象、最小齿数及变位齿轮的概念4.8平行轴斜齿齿轮机构4.9圆锥齿轮机构第四章齿轮机构4.1.1齿轮机构的优缺点4.1.2齿轮机构的分类4.1齿轮机构的特点及类型

主要优点是：（1）适用的圆周速度和功率范围广；（2）传动效率较高；（3）瞬时传动比稳定；（4）工作寿命较长；（5）工作可靠性较高；（6）可实现平行轴、任意角相交或交错轴之间的传动。

主要缺点是：（1）要求较高的制造和安装精度，成本较高；（2）要求专用的齿轮加工设备；（3）不适宜远距离两轴之间的传动。4.1.1齿轮机构的优缺点

齿轮机构的分类一般按两轴的相对位置和齿向进行分类。分类的层次结构如下：4.1.2齿轮机构的分类4.2.1齿轮啮合基本定律4.2.2共轭齿廓4.2.3节点和节圆4.2齿廓啮合基本定律

齿轮传动的最基本要求之一就是其瞬时角速度比必须保持恒定，否则，当主动轮均速转动时，从动轮的角速度为变数，从而产生动载荷。这种动载荷对齿轮传动的寿命、振动、噪声以及工作精度等影响较大，所以应加以限制。为了阐明一对齿廓实现恒定角速度比的条件，有必要先探讨角速度比与齿廓间的一般规律。4.2.1齿轮啮合基本定律由速度瞬心条件可知，C

点就是齿轮1、2的相对速度瞬心，且满足下式：

由此可以推论，欲使两齿轮瞬时角速度比恒定不变，就必须使C点为连心线O1O2上的固定点。也就是说，一对齿廓不论在任何位置接触，过接触点的齿廓公法线都必须与连心线O1O2交于一定点。凡能满足齿廓啮合基本定律的一对齿廓称为共轭齿廓。实际上，共轭齿廓可以有无数对，所以在选择齿廓曲线时，除了要满足定角速度比要求（即共轭齿廓）之外，还必须考虑其他要求，如：制造、安装和强度等方面的要求。在机械中，常用的齿廓有渐开线齿廓、摆线齿廓和圆弧齿廓等，其中以渐开线齿廓应用最广。4.2.2共轭齿廓过齿廓接触点的公法线nn与连心线O1O2的交点C

称为节点。过节点C

所作的两个相切的圆称为节圆。由于节点的相对速度等于零，所以一对齿轮传动时，可以看作为一对节圆作纯滚动。由图4-2可知，一对外啮合齿轮的中心距恒等于其两节圆的半径和。4.2.3节点和节圆4.3.1渐开线的形成4.3.2渐开线的性质4.3.3渐开线齿廓及啮合特点4.3渐开线性质及渐开线齿廓4.3.1渐开线的形成4.3.2渐开线的性质由渐开线形成的过程可知，渐开线具有如下的性质：（1）当发生线从位置I－I

滚动到位置II－II

时，因它与基圆之间为纯滚动，没有相对滑动，所以（2）当发生线在位置II－II

处时，沿基圆作纯滚动时，B点是它的速度瞬心，因此直线BK

是渐开线上K

点的法线，且线段BK为其曲率半径，B

点为其曲率中心。又因发生线始终与基圆相切，所渐开线上任意一点的法线必与基圆相切。（3）渐开线齿廓上某点的法线（压力方向线），与齿廓上该点速度方向线所夹的锐角αk，称为该点的压力角。设基圆半径为rb，由图可知（4）渐开线的形状决定于基圆的大小。大小相等的基圆其渐开线的形状相同，大小不等的基圆其渐开线形状不同。如图所示，取大小不等的两个基圆使其渐开线上压力角相等的点在K点相切。由图可见，基圆越大，它的渐开线在K点的曲率半径越大。当基圆半径趋于无穷大时，其渐开线将成为垂直于B3K的直线，它就是渐开线齿条的齿廓。（5）基圆内无渐开线。

4.3.3渐开线齿廓及啮合特点

无论两齿廓在何处接触，过接触点所作齿廓公法线均通过连心线上同一点C，故渐开线齿廓满足定角速比要求。两齿轮的角速比又称传动比，且角速比等于两轮的转动比。传动比常用i表示。在图中，一对齿轮的传动比：

上式所示，渐开线齿轮的传动比等于两轮基圆半径的反比。由图还可以看出渐开线齿廓啮合的一些特点：（1）可分性当一对渐开线齿轮制成后，其基圆半径是不会改变的，由上式可知，即使两轮中距稍有改变时，其角速比仍保持原值不变。这种性质称为渐开线齿轮的可分性。（2）啮合线齿轮传动时其齿廓接触点的轨迹称为啮合线。对于渐开线齿轮，无论在哪一点接触，接触齿廓的公法线总是两基圆的内公切线N1N2。因此直线N1N2就是渐开线齿廓的啮合线。（3）啮合角过节点C

作两节圆的公切线tt，它与啮合线N1N2间的夹角称为啮合角。由图可知，渐开线齿轮传动中啮合角为常数。且啮合角的数值等于渐开线在节圆上的压力角。由于啮合角不变，若齿轮传递的力矩恒定时，则轮齿间、轴与轴承间的压力的大小和方向均不变，这也是渐开线齿轮传动的一大优点。

4.4渐开线直齿圆柱齿轮各部分的名称和尺寸计算

上图所示为直齿圆柱齿轮的一部分，各部分名称如下：（1）齿顶圆和齿根圆齿顶所确定的圆称为齿顶圆，其直径用da表示；由齿槽底部所确定的圆称为齿根圆，其直径用df表示。（2）齿槽宽、齿厚和齿距

相邻两齿之间的空间称为齿槽，在任意dk的圆周上，轮齿槽两侧齿廓之间的弧线上称为该圆的齿槽宽，用ek表示；轮齿两侧齿廓之间的弧长称为该圆的齿厚，用sk表示；相邻的两齿同侧齿廓之间的弧长称为该圆的齿距，用pk表示。所以pk

=

sk

+

ek

。设齿轮的齿数为z，则根据齿距定义可知（3）分度圆、压力角和模数由上式可知，在不同直径的圆周上，比值

pk/π是不同的，又由渐开线特性可知，在不同直径的圆周上，齿廓各点的压力角也是不等的。为了便于设计、制造及互换，我们将齿轮上某一圆周上的比值和该圆上的压力角均为标准值，这个圆称为分度圆，以d

表示。分度圆上的压力角简称为压力角，以α表示。分度圆上的p/π比值称为模数，以m表示，即：m

＝

p/π。模数是齿轮几何计算的基础，显然，m越大，则p越大，即轮齿就越大。分度圆直径d

＝

mz。

（4）标准压力角和标准模数系列

我国规定的标准压力角为20°。对于一些特殊用途的齿轮，压力角也可以是非标的，如：航空齿轮压力角为25°。下表列出了我国已规定了标准模数系列（部分）。（5）分度圆的齿距、齿厚和齿槽宽齿轮上的分度圆是一个十分重要的圆，为了便于说明，对于分度圆上的齿距、齿厚和齿槽宽等，略去分度圆直接称为齿距p、齿厚s及齿槽宽e等，分度圆上的各参数的代号也都不带下标。（6）齿顶高、齿根高和全齿高

在轮齿上，介于齿顶圆和分度圆之间的部分称为齿顶，其径向高度称为齿顶高，用ha表示。介于齿根圆和分度圆之间的部分称为齿根，其径向高度称为齿根高，用hf表示。齿顶圆与齿根圆之轮齿的径向高度称为全齿高，用h表示，即：

（7）齿顶高系数和径向间隙系数若将齿顶高和齿根高分别用模数表示，则：式中ha*

和c*

分别称为齿面高系数和径向间隙系数，对于圆柱齿轮，这两个系数的标准值如下表所示：（8）齿顶圆直径da、齿根圆直径df和基圆直径db的计算公式为：（9）标准齿轮分度圆上齿厚与齿槽宽相等，且齿顶高和齿根高均为标准值的齿轮称为标准齿轮，否则称为修正齿轮或称为变位齿轮。因此，对于标准齿轮有：

4.5.1正确啮合的条件4.5.2标准中心距4.5.3压力角与啮合角4.5.4重合度4.5渐开线标准齿轮的啮合传动

4.5.1正确啮合的条件

为了保证前后两对齿有可能同时在啮合线上接触，轮1和轮2相邻两齿同侧齿廓沿法线的距离K1K1’和K2K2’应相等。即设两轮的模数、压力角和基圆齿距分别为m1、m2、α1、α2、pb1、pb2，则根据渐开的性质，可得正确啮合的条件：由于模数和压力角均已标准化，所以要满足上式就必须使

齿轮传动时，一轮节圆上的齿槽宽与另一轮节圆上的齿厚之差称为齿侧间隙。在齿轮传动中，为了消除反向传动空程和减少撞击，要求齿侧间隙为零。因此，在齿轮设计中，正确安装的齿轮都按无齿间隙的理想情况计算其名义尺寸。由前定义可知，标准齿轮分度圆上的齿厚和齿槽宽相等，又由正确啮合的一对渐开线齿轮的模数和压力角相等。若使分度圆与节圆重合（也就是说，两轮的分度圆相切），则齿侧间隙为零。一对标准齿轮分度圆相切时的中心距称为标准中心距，以a表示，即4.5.2标准中心距

4.5.3压力角与啮合角

4.5.4重合度

为了保证传动的连续性，齿轮传动的任何瞬时，都要有一个或一个以上的齿相啮合。由啮合线特点可知，若相邻两啮合点间的距离大于实际啮合线段的长度，则两点不会同时啮合。

啮合弧

一对齿从开始啮合到终止啮合，分度圆上某一点所经过的弧线距离称为啮合弧，图中圆弧FG就是啮合弧。如上图所示，我们将啮合弧FG与齿距p的大小分三种情况进行分析：（1）当

FG＞p

时，当前一对齿下要在终止啮合点E处分离时，后一对齿已经在啮合线上K点啮合，故能保证连续正确传动。（2）当

FG＝p

时，当前一对齿正要分离时，后一对在啮合线上正要进入啮合，故传动处于连续和不连续的边界状态。（3）当

FG＜p

时，当前一对齿分离后，后一对齿还没有进入啮合，所以不能保证连续的定角速度比传动。由此可见，考虑到齿轮加工制造、安装误差等的存在，为了保证渐开线齿轮连续以定角速度比传动，啮合弧FG必须大于齿距p。

重合度啮合弧与齿距之比称为重合度，用ε表示。

重合度的大小，反映出同时啮合的齿对数的多少。对于标准齿轮传动，其重合度恒大于1，重合度的详细计算公式可参阅有关的机械设计手册。

渐开线齿廓的切齿方法，按其原理可分为成形法和范成法两类。4.6.1成形法4.6.2范成法4.6渐开线齿轮的切齿原理成形法是用渐开线齿形的成形铣刀直接切出齿形。常用的刀具有盘形铣刀和指状铣刀两种。4.6.1成形法这种切齿方法简单，不需要专用机床，但生产率低下精度差，只适用于单件及精度要求不高的齿轮加工。

范成法是利用一对齿轮互相啮合时其共轭齿廓互为包络线的原理不切齿的。按切齿刀具不同可分为以下几种：（1）齿轮插刀4.6.2范成法当插齿刀的齿廓为渐开线时，所插制的齿轮也是渐开线。根据正确啮合条件，被切齿轮的模数和压力角必定与插刀的模数和压力角相等，所以用同一把插刀加工出的齿轮不论齿数多少都能正确啮合。（2）齿条插刀

在切齿过程中，刀具的中线应与轮坯分度圆相切并保持纯滚动。这样切成的齿轮，分度圆齿厚与分度圆齿槽宽相等，即s＝e＝m/2，且模数和压力角与刀具的模数和压力角分别相等。（3）齿轮滚刀用齿轮插刀和齿条插刀切削齿轮时，只能间断切削，故产生率较低。目前广泛采用齿轮滚刀，能连续切削，产生率较高。另外，通过调整滚刀安装位置，同一把滚刀既能切削直齿也能切削斜齿的圆柱齿轮。用齿轮滚刀加工齿轮时，滚刀和轮坯各绕自己的轴线按一定角速比等速回转，同时滚刀又沿轮坯的轴线方向作缓慢的移动，这样就可切出齿轮的所有轮齿。4.7.1根切现象和最少齿数4.7.2变位齿轮4.7根切现象、最小齿数及变位齿轮的概念（1）根切现象4.7.1根切现象和最少齿数用范成法加工齿轮时，若刀具的齿顶线或齿顶圆与啮合线的交点超过被切齿轮的极限点，则刀具的齿顶将切去齿轮齿根的渐开线齿廓的一部分，这种现象称为根切现象。如图所示，根切现象将使轮齿的弯曲强度大大减弱，重迭系数也有所降低，对传动的质量很不利，故应力求避免根切现象的出现。（2）最少齿数标准齿轮欲避免根切，其齿数z必须大于或等于不根切的最少齿数zmin。根据计算，对于α＝20°和h＊＝1的正常齿制标准渐开线齿轮，当用齿条刀具加工时，其最少齿数zmin＝17，若允许略有根切，则正常齿标准齿轮的实际最少齿数可取14。（1）标准齿轮存在的主要缺点：（a）标准齿轮的齿数必须大于或等于最少齿数zmin，否则会产生根切；（b）标准齿轮不适用于实际中心距不等于标准中心距的场合；（c）一对互相啮合的标准齿轮，小齿轮齿根厚度小于大齿轮齿根厚度，抗弯能力的差别。为了弥补上述渐开线标准齿轮的不足，我们可以采用变位齿轮。4.7.2变位齿轮（2）变位齿轮的基本原理由图可见，当根切现象发生时，刀具的中心线与齿轮的分度圆相切，而刀具的齿顶线超出了极限点N1，设想如果将刀具向外移一段距离xm，使其齿顶线正好通过极限点N1，则切出的齿轮就可以摆脱根切现象。这时齿轮分度圆相切并作纯滚动的直线是与刀具平行的另一条直线（称为分度线）。这样切制的齿轮称为变位齿轮。以切制标准齿轮时的位置为基准，刀具的移动距离xm称为变位，xm称为变位系数，并规定刀具离开轮坯中心的变位系数为正，即正变位，反之为负，即负变位。（3）变位齿轮的特性在切制变位齿轮时，刀具上总有一条分度线与齿轮的分度圆相切并保持纯滚动。由于刀具上任一分度线的齿距p、模数m和刀具角均相等，所以变位齿轮的齿距、模数和压力角仍等于刀具的齿距、模数和压力角。变位齿轮的分度圆直径和基圆直径均保持不变，所以变位后的角速比和定角速比的性质也保持不变。由于刀具的位移，刀具分度线上的齿槽宽和齿厚不等，所以此时与分度线相切并保持作纯滚动的被切齿轮的分度圆上的齿厚和齿槽也不等。对于变位为xm的变位齿轮，如图所示，分度圆上的齿厚增加了2ab，而齿槽宽则减小了2ab，其中：所以变位齿轮分度圆齿厚和齿槽宽的计算公式分别为：上式对正负变位均适用，计算时x应代入正负号。由此可知，当采用正变位时，可以制出齿数小于zmin且无根切的齿轮，又由于正变位还能增加齿厚，所以可以提高轮齿的弯曲强度。（4）变位齿轮传动的类型（a）零传动

若一对齿轮传动的移距系数（变位系数）之和为零（x1+x2＝0），则称为零传动。零传动是一个齿轮采用正移距，另一个齿轮采用负移距，且移距的绝对值相等，所以这种传动又称为等移距变位齿轮传动。一般来说小齿轮应采用正移距，大齿轮采用负移距。等移距变位齿轮的齿根圆半径有了变化，为了保持全齿高不变，其齿顶高半径也需作相应的变化，其齿顶高和齿根高已不同于标准齿轮，所以等移距变位又称为高度变位。（b）正传动

若一对齿轮传动的移距系数之和大于零（x1+x2＞0），则称为正传动。正传动变位齿轮的中心距大于标准中心距。（c）负传动

若一对齿轮传动的移距系数之和小于零（x1+x2＜0），则称为负传动。负传动变位齿轮的中心距小于标准中心距。采用正传动或负传动，能够在满足无侧隙计算的条件下实现非标准中心距传动。此时，由于节圆与分度圆不重合，所以啮合角与分度圆上的压力角不等，即啮合角发生了变化。所以这两种变位又称为角度变位。（5）零传动和正传动的主要的特点（a）可以制出齿数小于zmin而无根切的齿轮，并因此可以减小齿轮的尺寸和重量；（b）能合理地调整两齿轮的齿厚，使两齿轮的弯曲强度或根度的磨损大致相等，以提高传动的承载能力和耐磨性能；4.8.1斜齿轮的共轭齿廓曲面4.8.2平行轴渐开线斜齿轮正确啮合的条件4.8.3斜齿轮各部分名称和几何尺寸计算4.8.4斜齿轮法向参数为标准值4.8.5斜齿轮传动的重合度4.8.6斜齿轮的当量齿数4.8.7斜齿轮的优缺点4.8.8斜齿轮的螺旋角4.8平行轴斜齿齿轮机构在研究直齿圆柱齿轮的啮合原理时，由于轮齿的方向与轴平行，所有垂直于轴的平面内齿的情形完全相同，所以只须研究齿轮端面就可以了。但实际上齿轮是有一定的宽度的。因此直齿圆柱齿轮的齿廓曲面是发生平面S在基圆柱上作纯滚动时，其上与基圆柱母线NN平行的某一条直线KK所展成的渐开线曲面。4.8.1斜齿轮的共轭齿廓曲面一对互相啮合的斜齿圆柱齿轮共轭齿廓曲面的形成方法如上图所示。当平面S分别沿两轮基圆柱作纯滚动时，其上与N1N1及N2N2倾斜一个角度的直线KK便展出两个共轭的渐开螺旋面，该两个渐开螺旋面即为两轮的齿廓曲面。当这两个齿廓曲面啮合传动时，它们的接触线在平面S内平行移动，因此平面S又是该两齿轮的啮合面。由斜齿轮齿廓曲面形成的可知，齿轮端面的齿廓曲线为渐开线，从端面来看，渐开线斜齿轮传动就相当于渐开线直齿轮传动，所以它满足定角速比的要求。4.8.2平行轴渐开线斜齿轮正确啮合的条件斜齿轮的几何参数分为端面和法面参数。由图所示，着重分析端面参数与法面参数之间的关系。4.8.3斜齿轮各部分名称和几何尺寸计算（1）法向齿距pn和端面齿距pt之间的关系为（2）法向模数mn和端面模数mt，因齿距与模数满足p=m，所以两者之间的关系为（3）法向压力角和端面压力角，由上图所示，应满足如下关系式一对斜齿轮传动在端面上相当于一对直齿轮传动，所以可将直齿轮的几何计算公式用于斜齿轮的端面。国标规定斜齿轮的法向参数（法向模数mn，法向压力角αn，法向齿顶高系数和法向径向间隙系数）取为标准值。而端面参数应与法向参数要满足一定的关系，所以端面参数不为标准值，所以在斜齿轮几何参数计算时，一般应先算出端面系数，再进行几何参数计算。4.8.4斜齿轮法向参数为标准值4.8.5斜齿轮传动的重合度斜齿轮重合度计算是斜齿轮传动的啮合弧比端面齿距：式中εt为端面重合度，btanβ/pt为轮齿倾斜而产生的附加重合度。由上式可知，斜齿轮的重合度随齿宽b和螺旋角β的增大而增大，可达到很大的数值，这是斜齿轮传动运转平稳，承载能力较高的主要原因之一。

由前面直齿圆柱齿轮的分析可知，轮齿的齿形与齿轮的齿数有关，同一模数下不同齿数的齿形不同，所以齿形是用成形法加工选择铣刀的依据，另外在进行强度计算时也要用到齿形。对于斜齿轮而言，必须知道斜齿轮的法向齿形。由于法向齿形较为复杂，所以通常采用近似进行研究。

如图所示，沿斜齿轮分度圆上齿廓的任一点C切轮齿的法面nn，该分度圆柱在切面上呈一椭圆。其长半轴为a

=

d

/2cosβ，短半轴为b

=

d

/2。椭圆在C点处的曲率半径为

以ρ为分度圆半径，以mn为模数，取标准压力角α作一直齿圆柱齿轮，其齿形即可认为近似于斜齿轮的法向齿形。该直齿圆柱齿轮称为斜齿轮圆柱齿轮的当量齿轮，其齿数称为当量齿数，用zv表示，即：式中z

为斜齿轮的实际齿数。正常齿标准斜齿轮不发生根切的最少齿数zmin可由当量直齿轮的最少齿数zvmin计算出来，即4.8.6斜齿轮的当量齿数与直齿轮传动相比，斜齿轮传动的主要优点是：（1）传动平稳、噪声小（2）重合度较大（3）最少齿数小于直齿轮的zmin主要缺点是：（1）斜齿受力时将产生轴向分力Fa；（2）齿间滑动增大；克服缺点的方法：采用人字齿轮4.8.7斜齿轮的优缺点由上述分析可知，斜齿轮螺旋角的大小对斜齿轮传动的性能影响较大。若太小，则不能充分体现斜齿轮的优点；若太大，则会产生过大的轴向力，所以设计时一般取β＝8°～20°。4.8.8斜齿轮的螺旋角4.9.1圆锥齿轮概述4.9.2背锥和当量齿数4.9.3直齿圆锥齿轮几何尺寸计算4.9圆锥齿轮机构圆锥齿轮用于传递两相交轴之间的运动。一对圆锥齿轮的啮合运动相当于一对节圆锥作纯滚动。与圆柱齿轮的参数相应，圆锥齿轮参数有节圆锥、分度圆锥、齿顶圆锥、齿根圆锥和基圆锥等。4.9.1圆锥齿轮概述上图所示为一对标准圆锥齿轮，设δ1和δ2分别为小齿轮和大齿轮的分度圆锥角，∑=δ1+δ2为两轴线的交角，因故传动比在大多数情况下，∑＝90°，这时一对圆锥齿轮啮合时，就单独一个齿轮来说，它的运动是绕其轴线的平面运动。但是两齿轮之间的相对运动却是空间的球面运动。这是因为，当一轮的节圆锥在另一轮的节圆锥上作纯滚动时，前者上任一点至锥顶的距离始终不变，所以它在空间的轨迹是球面曲线。由此可见，圆锥齿轮的齿廓曲线是球面曲线。直齿圆锥齿轮的齿廓曲线为球面渐开线。因为球面不能展成平面，所以采用近似方法加以研究。4.9.2背锥和当量齿数（1）背锥如图所示为一个圆锥齿轮的轴向半剖面图，OAB表示分度圆锥。eA和fA为球面齿形的齿顶高和齿根高。过A点作AO1⊥AO交圆锥齿轮的轴线于O1点，再以OO1为轴线及以O1A为母线作圆锥O1AB。这个圆锥称为辅助圆锥或称为背锥。显然背锥与球面切于圆锥齿轮大端的分度圆上。在背锥上自A点取齿顶高和齿根高得e’和f’点。由图可见，在A点附近背锥与球面很接近，因此可以近似地用背锥上的齿形来代替球面上的齿形，通过将锥面展成平面，对圆锥齿轮进行近似研究。（2）当量齿数分别作一对圆锥齿轮的分度圆锥和背锥，再将两背锥展成平面后即得到两个扇形齿轮。该扇形齿轮的模数、压力角、齿顶高、齿根高及齿数z1、z2就是圆锥齿轮的相应参数。扇形齿轮的分度圆半径rv1和rv2就是背锥的锥距。现将两扇形齿轮补成完整的圆柱齿轮，这个完整齿轮的齿数zv1和zv2称为该两圆锥齿轮的当量齿数，以补足的完整齿轮作的两圆柱齿轮称为两圆锥齿轮的当量圆柱齿轮。当量齿数计算公式如下故得

由上式可知，当量齿数总大于真实齿数，并且当量齿数不一定是整数。由于当量圆柱齿轮的齿形与直齿圆锥齿轮大端的齿形相近，所以直齿圆柱齿轮的某些原理可以近似地应用到圆锥齿轮上。4.9.3直齿圆锥齿轮几何尺寸计算图示为一对标准直齿圆锥齿轮。其节圆锥与分度圆锥重合，轴交角∑＝90°。它的各部分名称和几何尺寸计算公式如下直齿圆锥齿轮的几何计算是以大端为标准的。齿宽b不宜选得过大，当齿宽过大时，小端的齿就很小，它对提高强度作用不大，但加工困难，所以齿宽的最佳范围（0.25～0.3）R，其中R是锥距。5.1轮系的类型5.2定轴轮系及其传动比5.3周转轮系及其传动比5.4混合轮系及其传动比5.5轮系的典型应用5.6几种特殊的行星传动简介第五章轮系轮系可以分为两类型：定轴轮系和周转轮系。5.1轮系的类型5.2.1轮系的传动比5.2.2一对齿轮传动的传动比分析5.2.3定轴轮系传动比分析5.2.4惰轮5.2.5定轴轮系传动比计算一般式5.2定轴轮系及其传动比5.2.1轮系的传动比在轮系中，输入轴与输出轴的角速度（或转速）比称为轮系的传动比，用iab表示。下标a、b分别为输入轴和输出轴的代号。即在轮系的传动比分析计算时，不仅要确定传动比的数值，而且还要确定各齿轮的转向。所以在传动比计算时引入符号，这样才能完整地表达输入轴与输出轴之间的关系。5.2.2一对齿轮传动的传动比分析以一对圆柱齿轮传动为例，传动类型分为：外啮合和内啮合。如图5-3所示，在一对外啮合齿轮传动中，两齿轮的转向相反；而在一对内啮合齿轮传动中，两齿轮的转向一致。对定轴轮系而言，两轮转向一致，则传动比取正号“＋”；转向相反，则取负号“－”。这样由一对圆柱齿轮啮合组成的传动，其传动比为：其中，当外啮合时取负号“－”；内啮合时取正号“＋”。另外，还可以采用在图上标箭头的方法，确定轮系中各轮的转向。5.2.3定轴轮系传动比分析在上图所示的定轴轮系中，若I轴为输入轴，V轴为输出轴，试计算输入轴与输出轴的转动比，即传动比i15。设已知各轮的齿数z1，各齿轮的转速，则该轮系的传动比就可以由各对齿轮的传动比求出。即上式表明：（1）定轴轮系的传动比等于组成轮系的各对啮合齿轮传动比的连乘积；（2）传动比的正负号，则取决于轮系中外啮合齿轮的对数。当传动比为负值时，说明输入轴的转向与输出轴的转向相反；当传动比为正时，则转向相同。5.2.4惰轮5.2.5定轴轮系传动比计算一般式可将上述分析的结果推广到一般的情况，得定轴轮系传动比计算一般式。设1为定轴轮系的输入轴，N为定轴系的输出轴，m为轮系中外啮合次数。则式中，用（－1）m

判断转向，仅限于所有轴线都平行的定轴轮系。对于轮系中含有圆锥齿轮传动、交错轴斜齿轮传动或蜗杆传动等轴线不平行的齿轮传动，其传动比的计算仍可使用上式，但不能用（－1）m判断转向。例5－1在图示定轴轮系中，z1＝16，z2=32，z2'=20，z3=40，z3'=2(右旋)，z4=40，。若n1＝800r/min，求蜗轮的转速及各轮的转向。5.3.1周转轮系的组成5.3.2差动轮系和行星轮系5.3.3周转轮系传动比的计算5.3周转轮系及其传动比5.3.1周转轮系的组成组成周转轮系的主要构件有：（1）行星轮在轮系中，轴线位置绕固定轴线的转动的齿轮，称为行星轮。因为它既要自转又要公转，似行星运转，故由此得名。（2）转臂

支持行星轮作自转和公转的构件称为转臂或行星架。（3）中心轮轴线位置固定的齿轮称为中心轮或太阳轮。应当注意，构成单个周转轮系，中心轮的数目不超过两个，转臂只有一个，且转臂与两中心轮的几何线必须重合，否则周转轮系不能转动。5.3.2差动轮系和行星轮系5.3.3周转轮系传动比的计算（1）基本思想由于周转轮系中行星轮的运动既有自转又有公转，所以其传动比不能直接采用求解定轴轮系传动比的方法来计算。为了解决周转轮系的传动比计算问题，我们应设法将其转化成定轴轮系（即设法使转臂变为固定不变），再采用定轴轮系的传动比计算公式进行计算。由相对运动原理可知，对周转轮系加一个附加的公共转动后，周转轮系构件间的相对运动并不改变。

运用相对运动原理将周转轮系转化成假想的定轴轮系，然后计算传动比的方法，称为相对速度法或反转法。（2）计算方法

对于周转轮系中的各构件，原来的转速和转化轮系中的转速列在下表中转化轮系中的各转速的右上方都带有上标H，表示这些转速是对转臂H的相对转速。由于转化轮系可以视为定轴轮系，所以根据定轴轮系的传动比定义，齿轮1和齿轮3的传动比i13H为应当注意，i13和i13H是不同的，前者为实际周转轮系的传动比，而后者是转化轮系的传动比，右上标H表示是对转臂H而言。对于一般情形的周转轮系，设nG和nK为周转轮系中任意两个齿轮G和K的转速，它们与转臂H的转速nH之间的关系为：式中m为齿轮G至K间外啮合的次数。在用上式进行计算时，应注意以下几点：（1）G为输入构件，K为输出构件，从G到K中间的各齿轮传动的主从关系应按这一假定去判定；（2）公式只适用于齿轮G、K和转臂H的轴线互相平