高中数学五学案：第二章习题课数列求和含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精习题课数列求和［学习目标］1。能由简单的递推公式求出数列的通项公式。2.掌握数列求和的几种基本方法．［预习导引］1．基本求和公式(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2）d。（2）等比数列前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f（a11－qn，1－q）＝eq\f（a1－anq，1－q)。2．数列｛an｝的an与Sn的关系数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（S1,n＝1,,Sn－Sn－1,n≥2。)）3．拆项成差求和经常用到下列拆项公式（1）eq\f(1,nn＋1)＝eq\f（1，n）－eq\f(1，n＋1）.（2）eq\f(1，2n－12n＋1)＝eq\f(1,2）（eq\f（1，2n－1)－eq\f（1,2n＋1)）．（3)eq\f(1,\r（n)＋\r（n＋1)）＝eq\r（n＋1)－eq\r(n)。要点一分组分解求和例1求和：Sn＝(x＋eq\f(1，x)）2＋(x2＋eq\f(1,x2))2＋…＋（xn＋eq\f(1，xn))2。解当x≠±1时，Sn＝（x＋eq\f(1,x）)2＋(x2＋eq\f（1，x2））2＋…＋(xn＋eq\f（1,xn)）2＝（x2＋2＋eq\f（1，x2））＋（x4＋2＋eq\f(1，x4)）＋…＋(x2n＋2＋eq\f(1，x2n)）＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋(eq\f（1，x2)＋eq\f(1，x4)＋…＋eq\f（1,x2n))＝eq\f(x2x2n－1,x2－1）＋eq\f（x－21－x－2n,1－x－2）＋2n＝eq\f(x2n－1x2n＋2＋1，x2nx2－1)＋2n；当x＝±1时，Sn＝4n。综上知，Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4n，x＝±1，，\f(x2n－1x2n＋2＋1，x2nx2－1）＋2n，x≠±1.))规律方法某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．跟踪演练1求数列｛an}：1,1＋a，1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n项和Sn（其中a≠0)．解当a＝1时,则an＝n，于是Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f（nn＋1,2)。当a≠1时，an＝eq\f（1－an，1－a）＝eq\f（1,1－a)(1－an）．∴Sn＝eq\f（1,1－a）［n－（a＋a2＋…＋an)]＝eq\f(1,1－a）[n－eq\f（a1－an，1－a)］＝eq\f（n，1－a)－eq\f(a1－an，1－a2）.∴Sn＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（nn＋1,2)，a＝1,，\f（n,1－a)－\f(a1－an，1－a2）,a≠1。）)要点二错位相减法求和例2已知等差数列｛an}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{an｝的通项公式；(2）设bn＝（4－an)qn－1(q≠0，n∈N＋），求数列｛bn｝的前n项和Sn。解（1)设{an}的公差为d，则由已知得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝6，,a1＋a2＋…＋a8＝－4，））即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（3a1＋3d＝6,，8a1＋28d＝－4,））解得a1＝3,d＝－1,故an＝3－（n－1)＝4－n.(2)由(1)知，bn＝n·qn－1,于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1，若q≠1，上式两边同乘以q。qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋（n－1)·qn－1＋n·qn，两式相减得：（1－q）Sn＝1＋q1＋q2＋…＋qn－1－n·qn＝eq\f（1－qn,1－q）－n·qn。∴Sn＝eq\f（1－qn，1－q2）－eq\f（n·qn,1－q)＝eq\f（n·qn＋1－n＋1qn＋1，1－q2）。若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1，2）,∴Sn＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（nn＋1，2)q＝1，，\f(nqn＋1－n＋1qn＋1，1－q2）q≠1。）)规律方法用错位相减法求和时，应注意:（1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形；(2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐"以便下一步准确写出“Sn－qSn"的表达式．若公比是个参数（字母），则应先对参数加以讨论,一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．跟踪演练2数列｛an｝的前n项和为Sn，a1＝1,an＋1＝2Sn（n∈N＋）．(1)求数列｛an｝的通项an;（2)求数列{nan｝的前n项和Tn.解(1)∵an＋1＝2Sn,∴Sn＋1－Sn＝an＋1＝2Sn，∴Sn＋1＝3Sn。又∵S1＝a1＝1,∴数列{Sn｝是首项为1，公比为3的等比数列．∴Sn＝3n－1(n∈N＋）．当n≥2时，an＝2Sn－1＝2·3n－2，且a1＝1，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1,n＝1，，2·3n－2，n≥2.））（2）Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan,当n＝1时，T1＝1；当n≥2时，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n－2， ①∴3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n－1， ②①－②得－2Tn＝2＋2(31＋32＋…＋3n－2)－2n·3n－1＝2＋2·eq\f（31－3n－2，1－3）－2n·3n－1＝－1＋（1－2n）·3n－1，∴Tn＝eq\f(1,2)＋（n－eq\f（1，2））3n－1(n≥2)，又∵T1＝a1＝1也满足上式，∴Tn＝eq\f(1，2)＋(n－eq\f（1,2))3n－1(n∈N＋)．要点三裂项相消求和例3求和:eq\f（1,22－1）＋eq\f(1,32－1）＋eq\f（1,42－1）＋…＋eq\f(1，n2－1)，n≥2。解∵eq\f(1，n2－1)＝eq\f(1，n－1n＋1)＝eq\f（1，2）（eq\f(1，n－1)－eq\f(1,n＋1）)，∴原式＝eq\f(1，2)［（1－eq\f（1,3)）＋（eq\f（1,2）－eq\f(1,4))＋(eq\f(1,3)－eq\f（1，5)）＋…＋(eq\f（1,n－1)－eq\f（1,n＋1)）］＝eq\f(1,2）（1＋eq\f（1，2)－eq\f（1，n)－eq\f（1,n＋1))＝eq\f（3，4）－eq\f(2n＋1，2nn＋1）。规律方法如果数列的通项公式可转化为f(n＋1）－f(n）的形式，常采用裂项求和法．跟踪演练3求和：1＋eq\f（1,1＋2）＋eq\f(1,1＋2＋3）＋…＋eq\f（1,1＋2＋3＋…＋n).解∵an＝eq\f(1,1＋2＋…＋n)＝eq\f(2,nn＋1）＝2(eq\f(1，n）－eq\f（1,n＋1))，∴Sn＝2(1－eq\f（1,2）＋eq\f(1,2)－eq\f（1，3)＋…＋eq\f（1，n)－eq\f（1,n＋1）)＝eq\f(2n，n＋1)。要点四奇偶并项求和例4求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1）n（2n－1)．解当n为奇数时，Sn＝（－1＋3）＋(－5＋7)＋（－9＋11)＋…＋［(－2n＋5)＋（2n－3）］＋(－2n＋1）＝2·eq\f(n－1,2）＋（－2n＋1）＝－n。当n为偶数时，Sn＝（－1＋3）＋(－5＋7）＋…＋［（－2n＋3）＋(2n－1)]＝2·eq\f(n，2)＝n.∴Sn＝（－1)n·n（n∈N＋）．跟踪演练4已知数列－1，4，－7,10,…,(－1)n·（3n－2),…，求其前n项和Sn.解n为偶数时，令n＝2k(k∈N＋），Sn＝S2k＝－1＋4－7＋10＋…＋（－1）2k（6k－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10）＋…＋[（－6k＋5)＋(6k－2）］＝3k＝eq\f（3,2)n;当n为奇数时，令n＝2k＋1（k∈N＋）．Sn＝S2k＋1＝S2k＋a2k＋1＝3k－（6k＋1)＝eq\f(－3n＋1,2)。∴Sn＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(－3n＋1,2)n为奇数,,\f(3n，2）n为偶数。))1．数列｛an}的前n项和为Sn,若an＝eq\f（1,nn＋1)，则S5等于(）A．1B.eq\f（5，6)C.eq\f(1,6）D。eq\f（1，30）答案B解析∵an＝eq\f（1,nn＋1）＝eq\f(1，n)－eq\f（1,n＋1），∴S5＝(1－eq\f（1,2)）＋（eq\f(1，2)－eq\f(1，3))＋…＋(eq\f（1,5）－eq\f(1,6））＝1－eq\f(1,6）＝eq\f(5，6）.2．数列1eq\f（1,2），2eq\f（1，4)，3eq\f(1,8),4eq\f（1，16），…的前n项和为()A.eq\f(1，2）（n2＋n＋2）－eq\f（1，2n） B。eq\f（1，2）n(n＋1)＋1－eq\f（1，2n－1)C。eq\f(1,2）(n2－n＋2)－eq\f（1，2n) D。eq\f(1，2）n（n＋1)＋2（1－eq\f(1，2n)）答案A解析1eq\f（1,2)＋2eq\f（1，4）＋3eq\f(1,8)＋…＋（n＋eq\f(1，2n))＝（1＋2＋…＋n）＋(eq\f(1，2）＋eq\f(1,4）＋…＋eq\f（1，2n))＝eq\f（nn＋1，2)＋eq\f（\f(1，2）1－\f（1，2n），1－\f（1，2)）＝eq\f（1，2）(n2＋n)＋1－eq\f（1,2n)＝eq\f（1,2）（n2＋n＋2)－eq\f(1,2n)。3．数列{an｝的通项公式an＝eq\f(1,\r(n）＋\r（n＋1）），若前n项的和为10，则项数为(）A．11B．99C．120D．121答案C解析∵an＝eq\f(1,\r（n)＋\r(n＋1））＝eq\r(n＋1）－eq\r（n)，∴Sn＝eq\r（n＋1)－1＝10，∴n＝120。4．若数列{an｝的前n项和为Sn＝eq\f(2,3）an＋eq\f（1,3)，则数列{an｝的通项公式是an＝________。答案(－2)n－1解析当n＝1时，a1＝S1＝eq\f(2，3)a1＋eq\f(1,3)，解得a1＝1.当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝(eq\f(2，3)an＋eq\f（1,3))－（eq\f（2，3)an－1＋eq\f(1,3）)＝eq\f（2，3）an－eq\f(2，3）an－1，整理可得eq\f(1,3）an＝－eq\f(2,3)an－1，即eq\f（an，an－1）＝－2，故数列{an｝是以1为首项，－2为公比的等比数列，故an＝(－2)n－1.求数列前n项和，一般有下列几种方法．1．错位相减：适用于一个等