全等三角形解答题-答案

∴∠A=∠B，∵AC=BF，2016暑假作业(七)全等三角形解答题答案∴AC+CF=BF+CF，∴BC=AF，参考答案与试题解析在△EAF和△DBC中∵，一．解答题（共28小题）1．（2012•邵阳）如图所示，AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．求证：∴△EAF≌△DBC（SAS），∴∠EFA=∠BCD，∴EF∥CD．AD∥BC．【解答】证明：∵AC、BD交于点O，∴∠AOD=∠COB，在△AOD和△COB中，∵3．（2015•于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，∴△AOD≌△COB（SAS）∴∠A=∠C，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为垂直，线段CF、BD的数量关系为相等；∴AD∥BC．②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；2．（2016•重庆校级模拟）如图，A、C、F、B在同一直线上，AC=BF，AE=BD，（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么CF⊥BC（点C、F不重合），并说明且AE∥BD．求证：EF∥CD．条件时，理由．【解答】证明：∵AE∥BD，【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，∴∠BAD=∠CAF，则∠GAC=90°，又∵AB=AC，∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，∴△DAB≌△FAC，∴∠AGC=90°﹣45°=45°，∴CF=BD，∠B=∠ACF，∴∠ACB=∠AGC=45°，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．∴AC=AG，②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度．∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，∴△GAD≌△CAF，∵∠BAC=90°，∴∠ACF=∠AGC=45°，∴∠DAF=∠BAC，∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．∴∠DAB=∠FAC，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，4．（2014•南京）【问题提出】∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，即CF⊥BD．∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．

【深入探究】在△CBG和△FEH中，，第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据HL，∴△CBG≌△FEH（AAS），可以知道Rt△第二种情况：当∠B是钝角时，△（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都，是钝角，第三种情况：当∠（3）在△ABC和△ABC≌Rt△DEF．∴CG=FH，ABC≌△DEF．在Rt△ACG和Rt△DFH中，求证：△ABC≌△DEF．∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．B=∠E，且∠B、∠E都是使△DEF和△ABC不全等．（保，痕迹）∴△ABC≌△DEF（AAS）；DEF，AC=DF，BC=EF，∠锐角，在△ABC和△DEF中，请你用尺规在图③中作出△DEF，不写作法，留作图（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若∠（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；B≥∠A，则△ABC≌△DEF．【解答】（1）解：HL；（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE故答案为：（1）HL；（4）∠B≥∠A．交DE的延长线于H，∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，5．（2013•河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合C=90°，∠B=∠E=30°．即∠CBG=∠FEH，放置，其中∠（1）操作发现又∵∠CDE=∠BAC=60°，如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；空：①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC；②设△BDC的面积为S，△AEC的面积为S，则S与S的数量关系是②∵∠B=30°，∠C=90°，1212S=S．12∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，（2）猜想论证根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S与S的数∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），12量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，即S=S；12请你证明小明的猜想．（3）拓展探究故答案为：DE∥AC；S=S；12已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S=S，请直接写出△DCF△BDE相应的BF∴BC=CE，AC=CD，的长．∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，【解答】解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S=S；12∴点F也是所求的点，2∵∠ABC=60°，点D是角平分线上∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，一点，DE∥AB，（3）如图，过点D作DF∥BE，易求四边形BEDF是菱形，11所以BE=DF，且BE、DF上的高相等，11此时S=S；∴BE=×4÷cos30°=2÷=，△DCF1△BDE过点D作DF⊥BD，2∴BF=，BF=BF+FF=+=，11212∵∠ABC=60°，FD∥BE，故BF的长为或．1∴∠FFD=∠ABC=60°，21∵BF=DF，∠FBD=∠ABC=30°，∠FDB=90°，11126．（2013已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，•烟台）∴∠FDF=∠ABC=60°，12∴△DFF是等边三角形，12B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB∴DF=DF，12的中点．∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系式QE=QF；∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，1（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数∠CDF=360°﹣150°﹣60°=150°，2量关系，并给予证明；∴∠CDF=∠CDF，2（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立请画出图形并给予证明．1∵在△CDF和△CDF中，12，∴△CDF≌△CDF（SAS），12【解答】解：（1）AE∥BF，QE=QF，理由是：如图1，∵Q为AB中点，∴AQ=BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥在△BFQ和△AEQ中∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，∴QE=QF=QD，AE，∠BFQ=∠AEQ=90°，即QE=QF．（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，∴△BFQ≌△AEQ（AAS），∴QE=QF，延长EQ、FB交于D，∵Q为AB中点，∴AQ=BQ，故答案为：AE∥BF；QE=QF．（2）QE=QF，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥1=∠D，证明：如图2，延长FQ交AE于D，∵Q为AB中点，AE，∴∠∴AQ=BQ，在△AQE和△BQD中，，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∴△AQE≌△BQD（AAS），∴QE=QD，∴∠QAD=∠FBQ，在△FBQ和△DAQ中∵BF⊥CP，∴FQ是斜边DE上的中线，∴QE=QF．∴△FBQ≌△DAQ（ASA），∴QF=QD，∵AE⊥CP，

（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，MC的数量关系．2）中，若∠CAE的大小改变（图的MB、MC的数量关系还成立吗说明理由．连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、7．（2013•涪陵区校级模拟）如图，△ADE的顶点D在△ABC的BC边上，（3）在（4），其他条件不变，则（2）中且∠ABD=∠ADB，∠BAD=∠CAE，AC=AE．求证：BC=DE．【解答】证明：（1）如图2，连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE，【解答】证明：∵∠ABD=∠ADB，∵MD=ME，∴AB=AD，∴∠MAD=∠MAE，∵∠BAD=∠CAE，∴∠MAD﹣∠BAD=∠MAE﹣∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAM=∠CAM，即∠BAC=∠DAE，在△ABM和△ACM中，，∵在△ABC和△ADE中，．∴△ABM≌△ACM（SAS），∴MB=MC；∴△ABC≌△ADE（SAS），∴BC=DE．（2）MB=MC．理由如下：如图3，延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，8．（2013•庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE∴BD=BE′，CE=CF，拼在一起（图1）．△ABD不动，∵M是ED的中点，B是DE′的中点，∴MB∥AE′，（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、∴∠MBC=∠CAE，MC（图2），证明：MB=MC．同理：MC∥AD，

∴∠BCM=∠BAD，9．（2012•昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．∵∠BAD=∠CAE，∴∠MBC=∠BCM，求证：EF=BE+FD；∴MB=MC；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、（3）MB=MC还成立．CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立如图4，延长BM交CE于F，∵CE∥BD，（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立若成∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，又∵M是DE的中点，立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．∴MD=ME，在△MDB和△MEF中，，【解答】证明：（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∴△MDB≌△MEF（AAS），∴MB=MF，∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∵∠ACE=90°，∴△ABG≌△ADF．∴∠BCF=90°，∴AG=AF，∠1=∠2．∴MB=MC．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．

∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD10．（2009•沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．AC所在直线于点F．（1）求证：（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，AF+EF=DE；（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE﹣FD．BE上截取证明：在BG，使BG=DF，连接AG．其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜∴∠B=∠ADF．180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗若成∵AB=AD，立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明∴△ABG≌△ADF．理由．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD【解答】（1）证明：连接BF（如图①），=∠EAF=∠BAD．∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC=BE，AC=DE．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF∵∠ACB=∠DEB=90°，∴∠BCF=∠BEF=90°．∵BF=BF，∵EG=BE﹣BG∴Rt△BFC≌Rt△BFE．∴CF=EF．∴EF=BE﹣FD．

又∵AF+CF=AC，∴AF+EF=DE．11．（2015•菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（2）解：画出正确图形如图②（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF∴（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠（3）不成立．APD的度数是一个固定的值吗若是，请求出它的度数；若不是，请说明理证明：连接BF，由．∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：∵∠ACB=∠DEB=90°，∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴△BCF和△BEF是直角三角形，在Rt△BCF和Rt△BEF中，，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△BCF≌△BEF（HL），∴△FAD≌△DBC（SAS），∴CF=EF；∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△ABC≌△DBE，∴AC=DE，∴AF=AC+FC=DE+EF．∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，

∴△CDF是等腰直角三角形；12．（2016•常德）作AE⊥（1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF=EF；（2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗请证明你的结论．已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，过点A（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图，AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F．∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，【解答】证明：（1）①如图1，∴△FAD≌△DBC（SAS），∵AB⊥AD，AE⊥AC，∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∴∠BAD=90°，∠CAE=90°，∴∠1=∠2，∵△FAD≌△DBC，在△ABC和△ADE中，∵∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴△ABC≌△ADE（SAS）；∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形，②如图1，∴∠FCD=45°，∵△ABC≌△ADE，∵AF∥CE，且AF=CE，∴∠AEC=∠3，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，在Rt△ACE中，∠ACE+∠AEC=90°，∴∠BCE=90°，∴∠APD=∠FCD=45°．∵AH⊥CD，AE=AC，∴CH=HE，

∵∠AHE=∠BCE=90°，∵AF∥ME，∴==1，∴BC∥FH，∴==1，∴BF=EF．∴BF=EF；（2）结论仍然成立，理由是：如图2所示，过E作MN⊥AH，交BA、CD延长线于M、N，13．（2015春•鄄城县期末）如图1，△ABC中，∠是过点A的一条直线，且点B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．BAC=90°，AB=AC，AE∵∠CAE=90°，∠BAD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠1+∠CAD=90°，∴∠2=∠CAD，∵MN∥AH，3=∠HAE，（1）BD=DE+CE成立吗为什么（2）若直线AE绕点A旋转到如图2位置时，其他条件不变，BD与DE，CE关系如何请说明理由．∴∠∵∠ACH+∠CAH=90°，∠CAH+∠HAE=90°，∴∠ACH=∠HAE，【解答】解：（1）BD=DE+CE成立，∴∠3=∠ACH，∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，在△MAE和△DAC中，∵∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°∴△MAE≌△DAC（ASA），∴AM=AD，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∵AB=AD，在△ABD和△CAE中，∵，∴AB=AM，

∴△ABD≌△CAE（AAS），14．（2015秋•微山县期末）已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．∴BD=AE，AD=CE，∵AE=AD+DE，∴BD=DE+CE；（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图1）．求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2）．那么（2）BD=DE﹣CE；图中是否存在与AM相等的线段若存在，请写出来并证明；若不存在，请说∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，明理由．∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠ABD+∠DAB=∠DEB+∠CAE，【解答】解：（1）∵点D是AB的中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ABD=∠CAE，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=45°．CAE=∠BCG．∵BF⊥CE，∵AB=AC，∴∠在△ABD和△CAE中，∵，∴∠CBG+∠BCF=90°．∴△ABD≌△CAE（AAS），∵∠ACE+∠BCF=90°，∴BD=AE，AD=CE，∴∠ACE=∠CBG．∴AD+AE=BD+CE，∵DE=BD+CE，∴BD=DE﹣CE．在△AEC和△CGB中，，∴△AEC≌△CGB（ASA）．∴AE=CG．（2）图中存在与AM相等的线段，AM=CE．证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°．

∴∠CMA=∠BEC．（2）连接AG，如图1所示：在△ACG与△BCG中，，∴△ACG≌△BCG，∴AG=BG，∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，在△CAM和△BCE中，，∴△CAM≌△BCE（AAS）．∴AM=CE．∴∠GBA=∠GAB，∵AD⊥AB∴∠D=90°﹣∠GBA=90°﹣∠GAB=∠GAD，15．（2015秋•丰润区期末）如图，在△ABC中，∠为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，CBG．求证：ACB=90°，AC=BC，E∴AG=DG．∵由（1）BG=CF，∴DG=CF；且∠ACF=∠（1）AF=CG；（2）DG=CF；（3）如图2，延长CG交AB于H，∵CG平分∠∴CH⊥AB，CH平分AB，（3）直接写出CF与DE的数量关系．ACB，AC=BC，【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，∴∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，∴∠BCG=∠CAF=45°∴∠D=∠EGC，∵∠CBG=∠ACF，AC=BC在△ADE与△CGE中，，∴△BCG≌△CAF，∴BG=CF；∴△ADE≌△CGE（AAS），∴DE=GE，

即DG=2DE，∵AD∥CH平分∴DG=BG，∴BD=AE，CG，AB，∵DE=AD+AE，∴DE=DB+EC；∵△AFC≌△CBG，∴CF=BG，∴CF=2DE．（2）△DEF为等边三角形理由：∵△ABF和△ACF均为等边三角形∴BF=AF=AB=AC=CF，∠BAF=∠CAF=∠ABF=60°，∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°，∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°，16．（2015秋•宜宾期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D、A、E在直线m∴∠DBA=∠CAE．上，∠ADB=∠AEC=∠BAC．在△BAD和△ACE中，，（1）求证：DE=DB+EC；（2）若∠BAC=120°，AF平分∠BAC，且AF=AB，连接FD、FE，请判断△DEF∴△ADB≌△CEA（AAS），的形状，并写出证明过程．∴BD=AE，∠DBA=∠CAE．∵∠ABF=∠CAF=60°，【解答】（1）证明：∵∠ADB=∠AEC=∠BAC，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠ADB+∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠BAC+∠EAC=180°，∴∠DBF=∠FAE．∴∠ABD=∠EAC，在△BDF和△AEF中，，在△ABD与△ACE中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴△ABD≌△AEC，∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，又∵OB=OC，∴△DEF为等边三角形．∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠OCF+∠OCB，17．（2015秋•南陵县期末）如图，已知点O到△ABC的两边AB、AC的距离分别是OD、OE，且OD=OE，OB=OC．即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．（1）如图1，若点O在BC边上，补全图形并求证：AB=AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，补全图形并求证：AB=AC．【解答】（1）证明：如图1所示：18．（2015春•金堂县期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，∵OD⊥AB，OE⊥AC，E，F分别是垂足，∴∠ODB=∠OEC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．在Rt△OBD和Rt△OCE中，，∴Rt△OBD≌Rt△OCE（HL），（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等），∴AB=AC（等角对等边）；并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论（2）证明：如图2所示：DE=BD+CE是否成立如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图（3），过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．∵OD⊥AB，OE⊥AC，E，F分别是垂足，∴∠ODB=∠OEC=90°，在Rt△OBD和Rt△OCE中，，∴Rt△OBD≌Rt△OCE（HL），∴∠OBD=∠OCE（全等三角形的对应角相等），【解答】解：（1）如图1，

∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴DE=AE+AD=BD+CE（3）如图3，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．∴∠EMI=GNI=90°∴∠CAE=∠ABD在△ADB和△CEA中，，由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN∴EM=GN∴△ADB≌△CEA（AAS），在△EMI和△GNI中，，∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）DE=BD+CE．∴△EMI≌△GNI（AAS），∴EI=GI如图2，∴I是EG的中点证明如下：19．（2015秋•文安县期末）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，∴∠DBA=∠CAE，在△ADB和△CEA中．．（1）如图1，当点D在边BC上时．①求证：△ABD≌△ACE；②直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需证明）；

（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．DC，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD=CE．【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，∵BD=BC+CD，∴CE=BC+CD；∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．20．（2015春•山亭区期末）如图1，将一块等腰直角三角板ABC的直角顶点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点分别作l的垂线，垂足分别为D、E．（1）△ACD与△CBE全等（2）猜想线段AD、BE、DE之间的关系．（在△ABD和△ACE中，直线∴△ABD≌△ACE（SAS）．吗说明你的理由．②∵△ABD≌△ACE，直接写出答案）∴BD=CE．∵BC=BD+CD，∴BC=CE+CD．【解答】证明：（1）∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°，又∵∠ACB=90°，（2）BC+CD=CE．∴∠ACD=∠CBE=90°﹣∠ECB．∵△ABC和△ADE是等边三角形，在△ACD与△CBE中，，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．∴△ACD≌△CBE（AAS）；∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．（2）AD=BE﹣DE，理由如下：在△ABD和△ACE中∵△ACD≌△CBE，

∴CD=BE，AD=CE，（2）①α+β=180°，BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，21．（2015秋•迁安市期末）在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动在△ABD与△ACE中，，点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△BAC，连接CE，设∠（1）如图1，当点D在线段CB上，且α（2）当α①如图2，当点D在线段CB上，求α与β间的数量关系；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，与β之间的又∵CE=CD﹣DE，理由：∵∠∴AD=BE﹣DE．DAC=∠ADE，使AD=AE，∠∴△ABD≌△ACE，DAE=∠BAC=α，∠DCE=β．∴∠B=∠ACE，=60°时，那么β=120度；∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，≠60°．∴∠B+∠ACB=∠DCE=∠β，∵α+∠B+∠ACB=180°，请将如图3补充完整，并求出α∴α+β=180°，数量关系．②图形正确，α=β，∵∠DAE=∠BAC，【解答】解：（1）∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，∴∠DAE﹣∠BAE=∠BAC﹣∠BAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，即∠DAB=∠EAC，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴∠ACE=∠ABC=60°，∴β=120°，故答案为：120°；∴∠ADB=∠AEC，设线段AE和线段CB相交于点F．∴∠DFA=∠EFC，∵∠DAF+∠DFA+∠ADF=∠ECF+∠EFC+∠AEC=180°，∴BD=CP，∴∠DAF=∠ECF，在△BPD与△CQP中，∴α=β．，∴△BPD≌△CQP；②设点Q运动时间为t秒，运动速度为vcm/s，22．（2015春•漳州期末）如图，△ABC中，D为AB的中点，AD=5厘米，∠B=∠C，BC=8厘米．∵△BPD≌CPQ，∴BP=CP=4，CQ=5，∴t=，（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动，∴v===；①若点Q的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明△BPD≌△CQP；②点Q的速度与点P的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ；（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x﹣3x=2×10，解得：x=10，（2）若点P以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点Q以5厘米/秒的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P∴点P运动的路程为3×10=30，∵30=28+2，∴此时点P在BC边上，∴经过10秒，点Q第一次在BC边上追上点P．【解答】解：（1）①∵BP=3×1=3，CQ=3×1=3，∴BP=CQ，23．（2015秋•奉贤区期中）如图，在△ABC中，D为AB的中点，F为BC∵D为AB的中点，∴BD=AD=5，上一点，DF∥AC，延长FD至E，且DE=DF，联结AE、AF．（1）求证：∠E=∠C；∵CP=BC﹣BP=5，（2）如果DF平分∠AFB，求证：AC⊥AB．

24．（2015秋•点军区期中）在△ABC中，BC上，DAC=∠B，CG和AD交于点F．（1）求证：AG=AF（如图1）；（2）如图2，过点G作GE∥AD交BC于点CG是∠ACB的角平分线，点D在【解答】证明：（1）∵D为AB的中点，且∠∴BD=AD，在△AED与△BFD中，，E，连接EF，求证：EF∥AB．∴△AED≌△BFD（SAS），【解答】证明：（1）∵∠4=∠B+∠2，∠5=∠3+∠1，且∠3=∠B，∴∠E=∠DFB，∴∠4=∠5，∴AG=AF；（2）∵GE∥AD，EGF=∠4，∵DF∥AC，∴∠C=∠DFB，∴∠C=∠E；∴∠（2）∵DF平分∠AFB，在△GAC和△GEC中，，∴∠AFD=∠DFB，∵∠E=∠DFB，∴△AGC≌△EGC（ASA），∴∠AFD=∠AED，∴AC=EC，∵ED=DF，在△AFC和△EFC中，，∴∠DAF+∠AFD=90°，∵EF∥AC，∴△AFC≌△EFC，∴∠AFD=∠FAC，∴∠FEC=∠3，∵∠B=∠3，FEC=∠B，∴EF∥AB．∴∠DAF+∠FAC=90°，∴AC⊥AB．∴∠

26．（2014秋•锦江区期末）已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两AD与CE交点，连接BD、CF交于点CF=AB．（1）若（2）若BD平分∠∠BEC的数量关系；（3）在（25．（2015秋•迁安市期中）如图，在△ABC中，AD到点BF与BG之间的数量关系，并说明理由；（2）求∠FBG的度数．AD，CE是高，E．于点F，连接BF，延长G，使得AG=BC，连接BG，若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC=180°；（1）试判断