集合常用逻辑用语不等式

专题一集合、常用逻辑用语、不等式、平面向量、复数、算法、推理与证明第1讲集合、常用逻辑用语考情概述集合是每年高考的必考题,多为选择题,试题比较简单;常用逻辑用语是高考命题的热点,主要分为三个部分:充分必要条件的判断、含有一个量词的命题的否定与真假判断、含逻辑联结词的命题真假的判断.考点一集合的概念及运算集合的运算性质及重要结论(1)A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A.(2)A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A.(3)A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U.(4)A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.典型例题

答案(1)D

(2)A

(3)D

(4)D

方法归纳解答集合问题的思路先正确理解各个集合的含义,认清集合元素的属性、代表的意义,再根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解.(1)若给定的集合是不等式的解集,则用数轴求解;(2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求解;(3)若给定的集合是抽象集合或是用列举法表示的集合,则用Venn图求解.跟踪集训A.[0,1]B.[-1,2] C.(-∞,-1]∪[2,+∞)D.(-∞,-1)∪(2,+∞)答案D因为A={x|x2-2x≤0}={x|0≤x≤2}=[0,2],B={y|-1≤y≤1}=[-1,1],所以A∪B=[-1,2],所以∁R(A∪B)=(-∞,-1)∪(2,+∞).1.(2016河北石家庄模拟)已知集合A={-2,-1,2,3},B={x|-1<x<3},则A∩B=(

)A.(-2,3) B.(-1,3)C.{2} D.{-1,2,3}答案C由交集定义可得A∩B={2},选项C正确.

答案C由题意知A=[0,1],B=(-∞,1),所以A∩B=[0,1).3.设全集U=R,A={x|x2-2x≤0},B={y|y=cosx,x∈R},则图中阴影部分表示的区间是(

)考点二命题的真假判断与否定

1.四种命题的关系(1)若两个命题互为逆否命题,则它们同真同假.(2)若两个命题为互逆命题或互否命题,则它们的真假没有关系.2.全(特)称命题及其否定(1)全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定为¬p:∃x0∈M,¬p(x0).(2)特称命题p:∃x0∈M,p(x0),它的否定为¬p:∀x∈M,¬p(x).3.复合命题真假的判断方法命题p∧q,p∨q及¬p的真假可以用下表来判断:pqp∧qp∨q¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真口诀记忆:p∨q,一真则真,p∧q,一假则假;¬p与p的真假相反.典型例题

方法归纳1.命题真假的判断方法(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别.(2)四种命题真假的判断:一个命题和它的逆否命题同真假,而与它的其他两个命题的真假无此规律.(3)形如p∨q,p∧q,¬p命题的真假根据p,q的真假与逻辑联结词的含义判断.2.全称命题与特称命题真假的判断(1)全称命题:要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立,要判断其为假命题时,只需举出一个反例即可.(2)特称命题:要判断一个特称命题为真命题,只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0,使得p(x0)成立即可;否则,这一特称命题是假命题.3.常见词语及否定词语是都是至少有一个至多有一个大于∀x∈A,使p(x)真否定不是不都是一个也没有至少有两个小于或等于∃x0∈A,使p(x0)假跟踪集训

3.命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是

.

答案∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1解析“∃”改为“∀”,“x0”改为“x”,否定结论,即lnx≠x-1,故该命题的否定为∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1.考点三充分、必要条件的判断(高频考点)1.若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇔q,则p是q的充要条件;2.充分、必要条件与集合的关系:设命题p对应集合A,命题q对应集合B,则p⇒q等价于A⊆B,p⇔q等价于A=B.

命题点1.以集合、不等式、函数为背景的充分、必要条件的判断;2.以平面向量、三角函数为背景的充分、必要条件的判断.典型例题

方法归纳1.充分条件与必要条件的三种判断方法(1)定义法:正、反方向推理.若p⇒q,则p是q的充分条件(或q是p的必要条件);若p⇒q且q/⇒p,则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件);若p⇔q,则p是q的充要条件.(2)集合法:利用集合间的包含关系.例如,若A⊆B,则A是B的充分条件(或B是A的必要条件);若A⫋B,则A是B的充分不必要条件(或B是A的必要不充分条件);若A=B,则A是B的充要条件.(3)等价法:将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题.2.判断充分、必要条件时应关注三点

(1)要弄清先后顺序:“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;“A是B的充分不必要条件”是指A能推出B,且B不能推出A.(2)要善于举出反例:当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以通过举出恰当的反例来说明.(3)要注意转化:¬p是¬q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件;¬p是¬q的充要条件⇔p是q的充要条件.跟踪集训1.(2016广东广州模拟)已知E,F,G,H是空间四点,命题甲:E,F,G,H四点不共面,命题乙:直线EF和GH不相交,则甲是乙成立的(

)A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B若E,F,G,H四点不共面,则直线EF和GH肯定不相交,但直线EF和GH不相交,E,F,G,H四点可以共面,例如EF∥GH.故选B.

答案A

若a<0,b<0,则一定有a+b<0,故选A.

答案①②解析易知①②正确.对于③,若x=-1,则x2=1,充分性不成立,故③错误.第2讲不等式考情概述高考对不等式的考查主要涉及不等式的解法、基本不等式及其应用、线性规划等知识点.(1)不等式的解法很少单独命题,常与二次函数、集合等知识交汇命题.(2)基本不等式常与函数或代数式的最值问题、不等式恒成立问题、实际应用问题等交汇命题.(3)线性规划常常单独考查目标函数的最值问题,有时也会与函数、平面向量、解析几何等交汇命题,常以选择题、填空题的形式出现,难度中等及以下.考点一不等式的解法

典型例题

答案(1)B

(2)A

方法归纳不等式的求解技巧(1)对于与函数有关的不等式,可先利用函数的单调性进行转化;(2)求解一元二次不等式的步骤:第一步,二次项系数化为正数;第二步,解对应的一元二次方程;第三步,若有两个不相等的实根,则利用“大于在两边,小于夹中间”得不等式的解集;(3)含参数的不等式的求解,要对参数进行分类讨论.跟踪集训

考点二基本不等式

典型例题

方法归纳跟踪集训1.(2016湖北华师一附中3月联考)若2x+4y=4,则x+2y的最大值是

.

2.(2016河南郑州模拟)已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是

.

考点三线性规划问题(高频考点)

典型例题

方法归纳解决线性规划应注意的问题(1)首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意义,找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决.(2)画可行域时应注意区域是否包含边界.(3)对目标函数z=Ax+By中B的符号,一定要注意B的正负与z的最值的对应,要结合图形分析.跟踪集训

答案10解析作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(包括边界),x2+y2表示平面区域内的点与原点的距离的平方,由图易知平面区域内的点A(3,-1)与原点的距离最大,所以x2+y2的最大值是10.第3讲平面向量与复数考情概述高考对该部分内容的考查主要有以下四个方面:(1)以选择题的形式考查复数的概念、复数的四则运算和复数的几何意义,难度较小;(2)平面向量的有关概念,加、减法的几何意义,线性表示以及坐标运算等;(3)平面向量的数量积的基本运算及其应用,这也是历年高考命题的热点;(4)向量的工具性作用,在三角函数、不等式、解析几何解答题中用来描述题目的条件和结论.考点一复数

典型例题

方法归纳复数问题的解题思路(1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础,结合四则运算,利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题.(2)若与其他知识结合考查,则要借助其他的相关知识解决问题.跟踪集训

考点二平面向量的线性运算

1.在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理选好基底,变形要有方向不能盲目转化;2.在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”,结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量;在用三角形减法法则时要保证“同起点”,结果向量的方向是指向被减向量;3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线⇔x1y2-x2y1=0.典型例题

方法归纳解决平面向量线性运算应关注两点(1)对于平面向量的线性运算,要先选择一组基底;同时注意共线向量定理的灵活运用.(2)运算过程中重视数形结合,结合图形分析向量间的关系.跟踪集训1.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).若(a+kc)∥(2b-a),则k=

.

考点三平面向量的数量积(高频考点)1.数量积的定义:a·b=|a||b|cosθ.(θ为向量a,b的夹角)2.两个非零向量垂直的充要条件若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.命题点1.数量积的运算;2.向量垂直问题;3.模长问题;4.夹角问题.典型例题

方法归纳数量积的运算技巧(1)涉及数量积和模的计算问题,通常有两种求解思路:①直接利用数量积的定义;②建立坐标系,通过坐标运算求解.(2)在利用数量积的定义计算时,要善于将相关向量分解.跟踪集训

第4讲算法、推理与证明

考情概述本部分内容在高考中以选择题、填空题的形式出现,属容易题或中档题.对程序框图的考查主要以循环结构的程序框图为载体考查学生对算法的理解;对合情推理的考查主要以归纳推理为主,考查学生的观察、归纳和概括能力.考点一算法(高频考点)命题点1.根据程序框图求解输出结果;2.根据程序框图填写或选择判断条件.典型例题(1)执行如图所示的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=(

)A.3 B.4 C.5 D.6B解析(1)第一次循环:a=2,b=4,a=6,s=6,n=1;第二次循环:a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2;第三次循环:a=2,b=4,a=6,s=16,n=3;第四次循环:a=-2,b=6,a=4,s=20,n=4,此时s=20>16,退出循环,输出的n=4,故选B.(2)(2016河南六市第一次联考)如图所示的程序框图,若输出的S=88,则判断框内应填入的条件是(

)A.k>3? B.k>4? C.k>5? D.k>6?C解析(2)依次运行程序框图中的语句:k=2,S=2;k=3,S=7;k=4,S=18;k=5,S=41;k=6,S=88,此时跳出循环,故判断框中应填入“k>5?”,故选C.方法归纳解答程序框图问题的三个关注点(1)弄清程序框图的三种基本结构,按指向执行直至结束.(2)关注输出的是哪个量,何时结束.(3)解答循环结构问题时,要写出每一次的结果,防止运行程序不彻底,同时注意区分计数变量与循环变量.跟踪集训1.(2016江南南昌一模)执行如图所示的程序框图.若输出的结果为3,则可输入的实数x的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4答案B由x2-1=3得x=-2<1(或x=2>1,舍去),由log2x=3得x=8>1符合要求,所以可输入的实数x有2个.2.执行如下程序框图,若输出的结果为170,则判断框内应补充的条件为(

)A.i>9 B.i≥9

C.i>11 D.i≥11答案B由程序框图知S=2,i=3;S=10,i=5;S=42,i=7;S=170,i=9,此时跳出循环。3.阅读如图所示的程序框图,