高考高频考点平面向量奔驰定理

SSSS=x:y:zABOCACOAAAOB平面向量奔驰定理与三角形四心已知O是AABC内的一点，ABOC,AAOC,AAOB的面积分别为S,S,S,求证:ABCS.OA+S•OB+S.OC=0ABC如图2延长OA与BC边相交于点D则BDSSS—SS 二,,AABD=,,ABOD=/AABD——ABOD=—CDCSSS-SSTOC\o"1-5"\h\zAACD ACOD ACDACOD B图1OD=DCOB+BDOC图1BC BCSBOB+SCOCS+SS+SBC BC•/ODSSS+SS =bod=—COD=BOD COD-= A——OASSS+SS+SBOACOABOACOABC图2二・OD"——S^OAS+S

BCOCOC•_S• A—S+SBC

OA=——B_g_s+SBC

OB+S,S+SBC•二S.OA+S.OB+S.OC=0ABC推论：O是AABC内的一点，且X.OA+y.OB+z.OC=0，则

有此定理可得三角形四心向量式O是AABC的重心oSSS=1:1:1oOA+OB+OC=0ABOCACOAAAOBO是AABC的内心oSSS=a:b:coa.OA+b.OB+c.OC=0ABOC:ACOA:AAOBO是AABC的外心oS:S:S =sin2A:sin2B:sin2CABOC:ACOA:AAOB=osin2A.OA+sin2B.OB+sin2C.OC=0O是AABC的垂心oS:S:S=tanA:tanB:tanCABOC:ACOA:AAOB=otanA.OA+tanB.OB+tanC.OC=0CD CD证明：如图O为三角形的垂心，tanA=,tanB= ntanA.tanB-DB:ADAD DBS:S=DB:ADABOC:ACOA…S.StanA:tanBABOC:ACOA=同理得S:同理得S:SACOA:AAOB=tanB:tanC，S:S=tanA:tanCABOC:AAOB=ABOC ACOA AAOB…S.S.S=tanABOC ACOA AAOB奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.三2角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等。•与“重心”有关的向量问题已知G是匕ABC所在平面上的一点，若GA+GB+GC=0，则G是^ABC的A.重点 B.外心仁内心 D.垂心如图⑴O图⑵如图⑴O图⑵已知O是平面上一定点，AB，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+九(AB+AC)，Xe(0,+8)，则P的轨迹一定通过^ABC的工重点 ■外心仁内心D.垂心【解析】由题意AP=MAB+AC),当Xe(0,+s)时，由于X(AB+AC)表示BC边上的中线所在直线的处，所以动点P的轨迹一定通过^ABC的重心，如图⑵3.0是^ABC所在平面内一点，动点P满足》二皿+X(-=^—+-=^—(|AB|sinB|AC|sinCe(0,8)),则动点P的轨迹一定通过^ABC的()

A.内心B,重心C,外心 D,垂心解：作出如图的图形ADLBC,由于|AB|sinB=|AC|sinC=AD,・\OP=OA+（一甲 +一f ）=0■+।:।（研+AC）|ABlsinB|AClsinC1^1由加法法则知，P在三角形的中线上故动点P的轨迹一定通过^ABC的重心故选：B.•与“垂心”有关的向量问题P是^abc所在平面上一点，若Pa.Pb=pb.PC=PC.Pa，则p是^abc的A.重点 B.外心 仁内心D.垂心【解析】由PA•PB=PB•PC,得P-JAPC)=0，即PB(^A=0，所以PB±CA.同理可证PC-AB-理可证PC-AB-,PA-^B.C.二P是公ABC的垂心,如图⑶图⑶ 图⑷已知O是平面上一定点，AB,C是平面上不共线的三个点，动点P满足(OP(OP=OArX +、aBcosB、AC,ACcosCXe（0,+s）,则动点P的轨迹一定通过^ABC的^ ——A.重点 B.外心 仁内心D.垂心【解析】由题意AP二九由于AB -+ABcosB\AB -+ABcosB\ACACcosC7TB•BCACC•BC +I ABcosBACCcosCACACcosC7二BC|-|CB|=0所以AP表示垂直于BC的向量，即P点在过点4且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过^ABC的垂心，如图⑷若H为^ABC所在平面内一点，且|研+BC2=|hb|2+|ca|2=HC2+|ab|2则点h是^ABC的A,重点B,外心C,内心D,垂心且AB且AB=c,AC二b,BC二a.若证明：HA2-HB2-CA2-BC2••・•.（HA+HB）•BA=（CA+CB）•BA得（ha+HB-CA-CB）•Ba=0即（HC+HC）•BA=0 AB1HC同理Ac1HB,BC1HA,故H是4ABC的垂心•与“内心”有关的向量问题已知I为△ABC所在平面上的一点aIA+blBcIC，则I是^ABC的垂心.A.重点B,外心C,内心D.垂心图⑸【解析】・・・IB=IA+AB,IC=IA+AC，则由题意得(a+b+c)IA+bAB+cAC=0,・.・・.・bAB+cAC=|AC|-AB+|AB|-AC=|ac|•|ABABABAC+ AC. (一.AbcABAC. (一.AbcABACAI=+a+b+c^|ab||AC|)・। 1与। 1分别为AB和AC方向上的单位向量，,lABllAClAI与ZBAC平分线共线，飞AI平分ZBAC-.同理可证：BI平分ZABC,CI平分ZACB.从而I是4ABC的内心，如图⑸已知O是平面上一定点，AB,C是平面上不共线的三个点，动点尸满足OP二(—OP二(——AOA+九三+王、网困,九£(0,+8)，则动点P的轨迹定通过△ABC的A.A.重点B.外心C,内心D,垂心【解析】由题意得AP=\ABAC

【解析】由题意得AP=\ABAC

一十一ABAC

7.,•当XG(0,+8)时,AP表示ZBAC的平分线所在直线方向的向量，故动点子的轨迹一定通过^ABC的内心，如图⑹O在△ABC所在的平面内：OA-CAC|AC|ABIAB|)=0B.(■■OA-CAC|AC|ABIAB|)=0B.(■■BC|BC|裔尸疝3w)=0,则UO>^ABC的()A,垂心B,重心C,内心 D,外心

解「响量管的模等于1,因而向量管是单位向量，向量里—冬和等都是单位向量|BA||BC||BC|，由向量萼 名为邻边构成的四边形是菱形，|AC||AB|可得AO在NBAC的平分线上同理可得OB平分/ABC,OA平分/ACB,AO是^ABC的内心.•与“外心”有关的向量问题已知O是^ABC所在平面上一点，若OA2=OB2=OC2，则O是^ABC的A.重点B.外心C内心A.重点B.外心C内心D.垂心图⑻图⑺【解析】若OA2=OB2=OC2，则UOA之=OB2=OC2,.・.OA=OB=OC,则O是△ABC的外心，如图⑺。已知O是平面上的一定点，AB，C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OP=OB+OC

2OP=OB+OC

2AB 十ABcosBACACcosC7九£(0,+8),则动点P的轨迹一定通过△ABC的 。一＞ 一＞A,重点 B,外心 C,内心 D,垂心【解析】由于OB+OC~~2【解析】由于OB+OC~~2过BC的中点,当九£(0,+8)时，AB 十ABcosB、ACACcosC7示垂直于BC的向量(注意：理由见二、条解释。)，所以P在B中直平分线上动点P的轨迹一定通过△ABC的外心，如图⑻•四心的相互关系.三角形外心与垂心的向量关系及应用设^ABC的外心为O，则点H为^ABC的垂心的充要条件是OH=OA+OB+OC。.三角形外心与重心的向量关系及应用 一一一一设^ABC的外心为O，则点G为^ABC的重心的充要条件是0G=1(0A+OB+OC).三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设^ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H，则O、G、H三点共线(O、G、H三点连线称为欧拉线)，且OG=1GH。2相关题目10.设^ABC外心为0,重心为G,取点H,使瓦+丽+瓦二丽.求证：(1)H是△ABC的垂心；(2)0,G,H三点共线，且OG：GH=1：2.【解答】证明：(1)・・FABC外心为0,/.|0A|=|0B|=|0C|又「赢+丽+女二面AOA-OH=AH=-(OB+OC)则由'■而而+左)(oc-ob