高一数学苏教版必修四讲义复习课（二）平面向量

复习课(二)平面对量平面对量的概念及线性运算(1)题型为填空题．主要考查向量的线性运算及对向量有关概念的理解，常与向量共线和平面对量根本定理及数量积运算交汇命题．(2)向量的加法遵循三角形法那么和平行四边形法那么，减法可以转化为加法进行运算，向量的加减法满意交换律、结合律，数乘运算满意结合律、安排律．实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方向在向量的线性运算中都可以使用．[典例](北京高考)在△ABC中，点M，N满意＝2，＝.假设＝x＋y，那么x＝________；y＝________.[解析]∵＝2，∴＝eq\f(2,3).∵＝，∴＝eq\f(1,2)(＋)，∴＝－＝eq\f(1,2)(＋)－eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,6).又＝x＋y，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).[答案]eq\f(1,2)－eq\f(1,6)[类题通法]向量线性运算的根本原那么向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法那么、运算律的理解和运用要留意向量的大小和方向两个方面．eq\a\vs4\al([题组训练])1．假设A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，那么y＝________.解析：＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．∵∥，∴－8(y＋6)－24＝0.∴y＝－9.答案：－92．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，那么||＝________.解析：由||2＝16，得||＝4.∵|＋|＝|－|＝||＝4，|＋|＝2||，∴||＝2.答案：2平面对量的数量积(1)题型既有填空题，又有解答题，主要考查数量积运算、向量的垂直等问题，常与平面几何、三角函数、解析几何等学问交汇命题．(2)解决此类问题要把握平面对量数量积的两种求法：一是依据数量积的定义，即a·b＝|a||b|cosθ，二是利用坐标运算，即a·b＝x1x2＋y1y2；同时还要把握利用数量积求向量的夹角、求向量的长度和推断两个向量垂直的方法．[典例](1)设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.假设b⊥c，那么实数k＝________.(2)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.假设点M，N满意＝3，＝2，那么·＝________.[解析](1)c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k),又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－eq\f(3,2).(2)如下图，由题设知：＝＋＝＋eq\f(3,4)，＝－＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4)，∴·＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(3,4)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)A－\f(1,4)A))＝eq\f(1,3)||2－eq\f(3,16)||2＋eq\f(1,4)·－eq\f(1,4)·＝eq\f(1,3)×36－eq\f(3,16)×16＝9.[答案](1)－eq\f(3,2)(2)9[类题通法](1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中向量的模和夹角进行计算．eq\a\vs4\al([题组训练])1．a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝eq\r(19)，那么向量a与b的夹角为________．解析：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)，∴c2＝(a＋b)2，即|c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉，∴19＝4＋9＋12cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝eq\f(1,2).又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝60°.答案：60°2．在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，D是边BC上的一点，且·＝·，那么·的值为________．解析：由·＝·，得·(－)＝0，即·＝0，所以⊥，即AD⊥CB.又AB＝4，∠ABC＝30°，所以AD＝ABsin30°＝2，∠BAD＝60°，所以·＝AD·AB·cos∠BAD＝2×4×eq\f(1,2)＝4.答案：43．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．假设·＝1，那么AB的长为________．解析：设||＝x，x＞0，那么·＝eq\f(1,2)x.又·＝(＋)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝1－eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,4)x＝1，解得x＝eq\f(1,2)，即AB的长为eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)平面对量与三角函数的综合问题(1)题目以解答题为主．主要包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面．此类题目所涉及向量的学问往往是数量积的运算，所争论的问题主要是争论三角函数的图象与性质．(2)解决此类问题，首先要依据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数问题，然后利用三角公式进行恒等变换，转化为题目中所要求的问题．[典例](广东高考)在平面直角坐标系xOy中，向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)假设m⊥n，求tanx的值；(2)假设m与n的夹角为eq\f(π,3)，求x的值．[解](1)假设m⊥n，那么m·n＝0.由向量数量积的坐标公式得eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝0，∴tanx＝1.(2)∵m与n的夹角为eq\f(π,3)，∴m·n＝|m|·|n|coseq\f(π,3)，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝eq\f(1,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,2).又∵x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，∴x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,6)，即x＝eq\f(5π,12).[类题通法]在平面对量与三角函数的综合问题中，一方面用平面对量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的学问解决平面对量问题，在解决此类问题的过程中，只要依据题目的详细要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以依据向量或者三角函数的学问解决问题．eq\a\vs4\al([题组训练])1．设a＝(sinx,1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，cosx))，且a∥b，那么锐角x＝________.解析：由于a∥b，所以sinxcosx－eq\f(1,2)＝0，所以sin2x＝1，又x为锐角，所以0<2x<π，所以2x＝eq\f(π,2)，x＝eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)2．设向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函数ƒ(x)＝a·(a＋b)．(1)求函数ƒ(x)的最大值与最小正周期；(2)求使不等式ƒ(x)≥eq\f(3,2)成立的x的取值范围．解：(1)∵ƒ(x)＝a·(a＋b)＝a·a＋a·b＝sin2x＋cos2x＋sinxcosx＋cos2x＝1＋eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1,2)(cos2x＋1)＝eq\f(3,2)＋eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，∴ƒ(x)的最大值为eq\f(3,2)＋eq\f(\r(2),2)，最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由(1)知ƒ(x)≥eq\f(3,2)⇔eq\f(3,2)＋eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))≥eq\f(3,2)⇔sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋