高中数学人教B版必修二学案第一单元122第3课时平面与平面平行

第3课时平面与平面平行学习目标1.把握平面与平面的位置关系，会推断平面与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示平面间的位置关系.3.把握空间中面面平行的判定定理及性质定理，并能应用这两个定理解决问题．学问点一平面与平面平行的判定思索1三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？思索2三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？梳理平面平行的判定定理及推论判定定理推论文字语言假如一个平面内有________________平行于另一个平面，那么这两个平面平行假如一个平面内有________________分别平行于另一个平面内的________________，那么这两个平面平行符号语言l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，l∩m＝A⇒α∥βa∥c，b∥d，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β⇒α∥β图形语言学问点二平面与平面平行的性质观看长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.思索1平面A1B1C1D1中的全部直线都平行于平面ABCD吗？思索2过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？梳理平面平行的性质定理及推论性质定理推论文字语言假如两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线________两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段________符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒________α∥β∥γ，m∩α＝A，m∩β＝B，m∩γ＝C，n∩α＝E，n∩β＝F，n∩γ＝G⇒eq\f(AB,BC)＝eq\f(EF,FG)图形语言类型一平面与平面平行的判定例1如下图，在正方体AC1中，M，N，P分别是棱C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.引申探究假设本例条件不变，求证：平面CB1D1∥平面A1BD.反思与感悟判定平面与平面平行的四种常用方法(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采纳反证法．(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原那么，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，假设找不到再作帮助线．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，那么α∥β.(4)利用平行平面的传递性：假设α∥β，β∥γ，那么α∥γ.跟踪训练1如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.类型二面面平行性质的应用eq\x(命题角度1与面面平行性质有关的计算)例2如图，平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的长．引申探究假设将本例改为：点S在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，求CS的长．反思与感悟应用平面与平面平行性质定理的根本步骤跟踪训练2如下图，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，假设AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，那么△A′B′C′的面积为________．eq\x(命题角度2利用面面平行证明线线平行)例3如下图，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′相互平行，求证：四边形ABCD是平行四边形．反思与感悟本例充分利用了▱A′B′C′D′的平行关系及AA′，BB′，CC′，DD′间的平行关系，先得出线面平行，再得面面平行，最终由平面平行的性质定理得线线平行．跟踪训练3如图，E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形．类型三平行关系的综合应用例4设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点．求证：MP∥平面β.反思与感悟线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如下图：跟踪训练4如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，使得平面D1BQ∥平面PAO?1．以下命题中正确的选项是()A．一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B．假如一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．平行于同始终线的两个平面肯定相互平行D．假如一个平面内的很多多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行2．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，以下四对截面彼此平行的一对是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G3．平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，那么交线a，b，c，d的位置关系是()A．相互平行 B．交于一点C．相互异面 D．不能确定4．假设平面α∥平面β，a⊂α，以下说法正确的选项是________．①a与β内任始终线平行；②a与β内很多条直线平行；③a与β内任始终线不垂直；④a与β无公共点．5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.1．常用的平面与平面平行的其他几共性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与平面平行．(4)假如两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面相互平行．2．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图

答案精析问题导学学问点一思索1不肯定．思索2平行．梳理两条相交直线两条相交直线两条直线学问点二思索1是的．思索2平行．梳理平行成比例a∥b题型探究例1证明如图，连接B1C.由得A1D∥B1C，且MN∥B1C，∴MN∥A1D.又∵MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.连接B1D1，同理可证PN∥平面A1BD.又∵MN⊂平面MNP，PN⊂平面MNP，且MN∩PN＝N，∴平面MNP∥平面A1BD.引申探究证明由于ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以DD1綊BB1，所以BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，同理A1D∥平面CB1D1.又BD∩A1D＝D，所以平面CB1D1∥平面A1BD.跟踪训练1证明(1)由于G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又由于B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)由于E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC.由于EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.由于A1G∥EB，A1G＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.由于A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.由于A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.例2证明设AB，CD共面γ，由于γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，所以AC∥BD，所以△SAC∽△SBD，所以eq\f(SC,SC＋CD)＝eq\f(SA,SB)，即eq\f(SC,SC＋34)＝eq\f(8,9)，所以SC＝272.引申探究解设AB，CD共面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.由于α∥β，所以AC与BD无公共点，所以AC∥BD，所以△ACS∽△BDS，所以eq\f(AS,BS)＝eq\f(CS,DS).设CS＝x，那么eq\f(x,34－x)＝eq\f(8,9)，所以x＝16，即CS＝16.跟踪训练2eq\f(4\r(3),9)解析AA′，BB′相交于O，所以AA′，BB′确定的平面与平面α，平面β的交线分别为AB，A′B′，有AB∥A′B′，且eq\f(OA,OA′)＝eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(3,2)，同理可得eq\f(OA,OA′)＝eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(3,2)，eq\f(OA,OA′)＝eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(3,2)，所以△ABC，△A′B′C′面积的比为9∶4，又△ABC的面积为eq\r(3)，所以△A′B′C′的面积为eq\f(4\r(3),9).例3证明∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，∴A′D′∥B′C′.∵A′D′⊄平面BB′C′C，B′C′⊂平面BB′C′C，∴A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.∵A′D′⊂平面AA′D′D，AA′⊂平面AA′D′D，且A′D′∩AA′＝A′，∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.又∵AD，BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D，平面BB′C′C的交线，∴AD∥BC.同理可证AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．跟踪训练3证明如图，连接AC，BD，交点为O，连接A1C1，B1D1，交点为O1，连接BD1，EF，OO1，设OO1的中点为M，由正方体的性质可得四边形ACC1A1为矩形．又由于E，F分别为AA1，CC1的中点，所以EF过OO1的中点M，同理四边形BDD1B1为矩形，BD1过OO1的中点M，所以EF与BD1相交于点M，所以E，B，F，D1四点共面．又由于平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1，平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，所以ED1∥BF.同理，EB∥D1F.所以四边形BED1F是平行四边形．例4证明如图，过点A作AE∥CD交平面β于点E，连接DE，BE.∵AE∥CD，∴AE，CD确定一个平面，设为γ，那么α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.又α∥β，∴AC∥DE(平面平行的性质定理)，取AE的中点N，连接NP，MN，∵M，P分别为AB，CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE.又NP⊄β，DE⊂β，MN⊄β，BE⊂β，∴NP∥β，MN∥β，∵NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.∵MP⊂平面MNP，MP⊄β，∴MP∥β.跟踪训练4解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连接PQ，如图，易证四边形PQBA是平行四边形，∴QB∥PA.又∵AP⊂平面APO，QB⊄平面APO，∴QB∥平面APO.∵P，O分别为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO.同理可得D1B∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.当堂训练1．B4.②④5．证明如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴eq\f(CM,MB1)＝eq\f