弹性力学空间问题解答

弹性力学空间问题解答第一页，共二十八页，编辑于2023年，星期六§7-1空间问题的基本方程1.平衡微分方程方程第二页，共二十八页，编辑于2023年，星期六2.几何方程第三页，共二十八页，编辑于2023年，星期六3.物理方程

各种弹性常数之间的关系第四页，共二十八页，编辑于2023年，星期六4.相容方程第五页，共二十八页，编辑于2023年，星期六5.边界条件：位移边界条件：对于给定的表面Su，其上沿x，y，z方向给定位移为，则应力边界条件：给定表面上的面力为第六页，共二十八页，编辑于2023年，星期六求解空间问题同样有位移法、应力法和应力函数法三种方法。1.位移法：将几何方程代入物理方程，得到用位移表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。2.应力法：以应力作为基本未知量。将相容方程用应力表示——应力控制方程3.应力函数法：先引入应力函数，满足微分平衡方程。

由微分平衡方程得应力函数与应力分量的关系，再将用应力函数表示的应力分量代入相容方程，得到一组用应力函数表示的相容方程，即应力函数表示的控制方程。第七页，共二十八页，编辑于2023年，星期六§7-2柱坐标和球坐标系下的基本方程一.柱坐标系下的基本方程直角坐标系下，空间一点M的位置由（x,y,z）表示，在柱坐标系下，空间一点M的位置由（r,q,z）表示。两坐标间的关系为：在柱坐标系下的应力分量为应变分量为位移分量为第八页，共二十八页，编辑于2023年，星期六柱坐标表示的基本方程1.平衡方程（7-1）第九页，共二十八页，编辑于2023年，星期六2.几何方程（7-2）第十页，共二十八页，编辑于2023年，星期六3.物理方程（7-3）或（7-4）第十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期六当物体的几何形状、约束情况以及外力都对称于z轴时，则称为空间轴对称问题。在空间轴对称问题中，有：应力分量、应变分量、位移分量仅是r，z的函数，与q无关。（7-5）第十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期六4.空间轴对称问题的基本方程(1)平衡方程：将式（7-5）代入式（7-1），得（7-6）(2)几何方程：将式（7-5）代入式（7-2），得（7-7）第十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期六(3)物理方程：将式（7-5）代入式（7-4），得（7-8）第十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期六(4)空间轴对称问题位移求解的基本方程空间轴对称问题共有四个应力分量，两个位移分量。以位移求解更方便。将几何方程（7-7）代入物理方程（7-8），得（7-9）第十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期六将式（7-9）代入平衡方程（7-6），化简后得（7-10）不计体力：（7-11）位移控制方程第十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期六为求得式（7-11）的解，拉甫（Love,A.E.H）引进一个位移函数，它和位移分量有如下关系：（7-12）将式（7-12）代入式（7-11），其中第一式满足，第二式为：表明为双调和函数，称为拉甫位移函数。（7-13）第十七页，共二十八页，编辑于2023年，星期六将式（7-12）代入式（7-9）,得应力分量与位移函数的关系式:对空间轴对称问题，只要找到满足式（7-13）的位移函数，代入式（7-12）和式（7-14）求出位移和应力分量。如能满足边界条件，即为问题的解。（7-14）拉甫位移函数的量纲比应力分量高三次第十八页，共二十八页，编辑于2023年，星期六球坐标表示的基本方程（自学）见教材P144~145第十九页，共二十八页，编辑于2023年，星期六§7-3半空间体在边界上受法向集中力设有一半空间体，不计体力，在水平边界受法向集中力P作用。xyzM(r，z)rz选P的作用点为坐标原点，Oz轴与P的作用线重合。水平边界面为xOy面。第二十页，共二十八页，编辑于2023年，星期六应力边界条件：在半空间体中过任一点M（r，z），作与边界平面平行的水平截面，取半空间体的上部分，在z方向有平衡条件（a）（b）由因次分析，设想体内的应力分量表达式是力P与坐标r，z等长度坐标的负二次幂相乘，即第二十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期六位移函数比应力分量高三次，即位移函数应为P与r,z等长度坐标的正一次相乘的形式。同时，随M点离O点越远，位移越小，即与R成反比。为此，设代入式（7-12）和式（7-14），得位移分量和应力分量（c）（d）第二十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期六将应力分量式（e）代入边界条件（a），式（a）第一式满足，但式（a）第二式不满足。（e）（f）第二十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期六为使边界条件（a）的第二式满足，应叠加一个位移函数，它在z=0处有，且给出的能与式（f）抵消。叠加的位移函数应是双调和函数，且是长度坐标的零次幂。由此条件，试算后，取（g）第二十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期六对应的位移分量和应力分量为：（h）第二十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期六两个位移函数式(e)和式（h）叠加后，边界条件（a）的第一式仍满足，第二式为：即由平衡条件（b），得（i）（j）由式（i）和式（j），得第二十六页，共二十八