2019届高三数学一轮复习讲义附练习第2章第13节定积分与微积分基本定理

第十三节定积分与微积分基本定理[考纲传真]1.认识定积分的实质背景，认识定积分的基本思想，认识定积分的看法.2.认识微积分基本定理的含义．1．定积分的看法与几何意义(1)定积分的定义假如函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]平分红n个小区间，nnb－a在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，，n)，作和式∑f(ξi)x＝∑nf(ξi)，当i＝1i＝1n→∞时，上述和式无穷靠近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]nb－a上的定积分，记作bb∑f(x)dx，即f(x)dx＝limnf(ξi)．aan→∞i＝1(2)相关看法在bf(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区a间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．(3)定积分的几何意义f(x)bf(x)dx的几何意义a表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成f(x)≥0的曲边梯形的面积表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成f(x)＜0的曲边梯形的面积的相反数表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴f(x)在[a，b]上有正有负下方的曲边梯形的面积2.定积分的性质1(1)bkf(x)dx＝kbf(x)dx(k为常数)；aa(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝bf1(x)dx±bf2(x)dx；aaa(3)bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx(此中a<c<b)．aac3．微积分基本定理一般地，假如f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么bf(x)dxaF(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．此中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|ba，即bf(x)dx＝F(x)|b＝F(b)－F(a)．aa1．(思虑辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则bf(x)dx＝bf(t)dt.( )aa若f(x)是偶函数，则a－af(x)dx＝2a)(2)f(x)dx.(0(3)若f(x)是奇函数，则a－af(x)dx＝0.()[答案](1)√(2)√(3)√2．(教材改编)已知质点的速率v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的行程是( )A．10t220B.5t010252C.3t0D.3t022B[S＝∫t00vdt＝∫t0010tdt＝5t|t00＝5t0.]3．(2017·沙模拟长(一))1xedx＝________.0e－1[1exdx＝ex|01＝e－1.]0．·天津高考)曲线2与直线y＝x所围成的关闭图形的面积为4(2015y＝x2________．1[如图，暗影部分的面积即为所求．62，y＝x由得A(1,1)．y＝x，故所求面积为S＝1－2(xx)dx01213112x－3x|0＝6.]5．若Tx2dx＝9，则常数T的值为________．0T2133[∵xdx＝3T＝9，T＞0，∴T＝3.]0定积分的计算计算以下定积分．(1)1(x2＋sinx)dx；－12|1－x|dx.0[解](1)12＋sinx)dx(x－11x2dx＋1sinxdx－1－1＝212x312.6分xdx＝2·|0＝0333(2)2|1－x|dx＝1(1－x)dx＋2(x－1)dx001＝121122x－x|0＋2x－x|12＝－1－＋1×22－2－1×12－1＝1.12分12022[规律方法]1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依照定积分“对区间的可加性”，分段积分再乞降；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分；(4)注意用“F′(x)＝f(x)”查验积分的对错．2．依据定积分的几何意义，可利用面积求定积分．[变式训练1](1)(2017石·家庄质检二))1－1(x2＋1－x2＝________.()dxx2，x∈[0，1]，(2)设f(x)＝1，x∈1，e(e为自然对数的底数)，则ef(x)dx的值为x0________.【导学号：01772093】π24221312(1)2＋3(2)3[(1)原式＝1xdx＋1－11－xdx＝3x|－1＋11－xdx－1－12＝3＋

1－2，1－11－x2dx等于半径为1的圆面积的1，即1xdx21

1－x2dx1ππ2＝2，故原式＝2＋3.x2，x∈[0，1]，(2)∵f(x)＝1x，x∈1，e，∴e＝12＋1＝131e14f(x)dxe3x0＋lnx|1＝＋lne＝3.]0xdxxdx|301利用定积分求平面图形的面积(1)曲线y＝－x＋2，y＝x与x轴所围成的面积为________．4(2)已知曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k＝________.【导学号：01772094】7(2)2[(1)以下图，由y＝x及y＝－x＋2可得交点横坐标为x＝1.(1)6由定积分的几何意义可知，由y＝x，y＝－x＋2及x轴所围成的关闭图形的面积为1xdx＋2312x－x2272(－x＋2)dx＝x|0＋2|1＝.01326y＝x2，x＝0，x＝k，得y＝0或(2)由y＝kx，y＝k2，则曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边梯形的面积为2k213kk(kx－x)dx＝2x－3x|00k3134＝2－3k＝3，即k3＝8，∴k＝2.][规律方法]利用定积分求平面图形面积的步骤(1)依据题意画出图形；(2)借助图形确立被积函数，求交点坐标，确立积分的上、下限；(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案．易错警告：利用定积分求曲边图形面积时，必定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的界限不一样时，要分不一样状况议论．[变式训练2](1)(2016山·东威海一模)曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成的关闭地区的面积为________．抛物线2＝4x与直线y＝2x－4围成的平面图形的面积为________．(2)y由题意知关闭地区的面积＝ππ(1)2(2)9[(1)0＝－cosπSsinxdx＝－cosx|05(－cos0)＝1－(－1)＝2.y2＝4x，x＝1，x＝4，(2)由得或y＝2x－4，y＝－2y＝4.画出草图以下图．采用x为积分变量所求面积为1[2x－(－2x)]dx＋4(2x－2x＋4)dx01＝4×2312342440＋2×1－x1＋4x|13x2|3x2||8324＝3＋3－3－(16－1)＋(16－4)＝9.]定积分在物理中的应用一辆汽车在高速公路上行驶，因为碰到紧迫状况而刹车，以速度v(t)25＝7－3t＋1＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此时期汽车持续行驶的距离(单位：m)是( )11A．1＋25ln5B.8＋25ln3C．4＋25ln5D.4＋50ln2258C[由v(t)＝7－3t＋1＋t＝0，可得t＝4t＝－3舍去，所以汽车从刹车到停4v(t)dt＝425止一共行驶了4s，此时期行驶的距离为7－3t＋1＋tdt＝003247t－2t＋25ln1＋t|0＝4＋25ln5.][规律方法]定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的行程，假如变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，6那么从时刻t＝a到t＝b所经过的行程s＝bv(t)dt.a(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)同样方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝bF(x)dx.a5，0≤x≤2，[变式训练3]一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力3x＋4，x＞2F同样的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________J.[由题意知，力F(x)所做的功为W＝4F(x)dx＝25dx＋4(3x＋4)dx002＝5×2＋324x＋4x|223232＝10＋2×4＋4×4－2×2＋4×2＝36(J)．][思想与方法]1．求定积分的两种常用方法：(1)利用微积分基本定理求定积分，其步骤以下：①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a)．(2)利用定积分的几何意义求定积分．2．对于求平面图形的面积问题，应第一画出平面图形的大概图形，而后根据图形特色，选择相应的积分变量及被积函数，并确立被积区间．[易错与防备]1．被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分．2．若积分式子中有几个不一样的参数，则一定先分清谁是被积变量．3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形面积的代数和，但要注意面积非负，而定积分的结果能够为负．第二章函数、导数及其应用[深研高考·备考导航]为教师讲课、学生学习供给丰富备考资源7[五年考情][要点关注]1．从近五年全国卷高考试题来看，函数、导数及其应用是每年高考命题的要点与热门，既有客观题，又有解答题，中高档难度．2．函数的看法、图象及其性质是高考考察的主要内容，函数的定义域、解析式、图象是高考考察的要点，函数性质与其余知识的综合是历年高考的热门．3．导数的几何意义，导数在研究函数单一性、极值、最值、函数的零点等方面的应用是高考的要点与热门．4．本章内容集中表现了四大数学思想：函数与方程、数形联合、分类议论、转变与化归的思想，且常与方程、不等式、导数等知识交汇命题，表现了综合与创新．[导学心语]1．着重基础：对函数的看法、图象、性质(单一性、奇偶性、周期性)、导数的几何意义、导数在研究函数单一性、极值、最值、函数的零点等方面的应用，要娴熟掌握并灵巧应用.2．增强交汇，增强综合应意图识：在知识的交汇点处命制试题，已成为高考的一大亮点，函数的看法和方法贯串于高中数学的全过程，所以，应增强函数与三角函数、数列、不等式、分析几何、导数等各章节之间的联系．3．掌握思想：数形联合思想、函数与方程思想、分类议论思想和等价转变思想在解决各样与函数相关的问题中均有应用，复习时应惹起足够重视．8第一节函数及其表示[考纲传真]1.认识构成函数的因素，会求一些简单函数的定义域和值域；认识映照的看法.2.在实质情境中，会依据不一样的需要选择适合的方法(如图象法、列表法、分析法)表示函数.3.认识简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超出三段)．1．函数与映照的看法函数映照两会合A，设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的会合B假如依照某种确立的对应关系f，假如按某一个确立的对应关系f，对应关系使对于会合A中的随意一个数x，使对于会合A中的随意一个元素f：→在会合B中都有独一确立的数f(x)，在会合B中都有独一确立的元ABx和它对应素y与之对应名称称f：A→B为从会合A到会合B称f：A→B为从会合A到会合B的一个函数的一个映照记法函数y＝f(x)，x∈A映照：f：A→B2.函数的相关看法(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的会合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三因素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：假如两个函数的定义域同样，而且对应关系完整一致，则这两个函数为相等函数．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有分析法、图象法和列表法．93．分段函数(1)若函数在其定义域的不一样子集上，因对应关系不一样而分别用几个不一样的式子来表示，这类函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数．1．(思虑辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数是特别的映照．( )(2)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．( )(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( )(4)分段函数是两个或多个函数．( )[答案](1)√(2)×(3)√(4)×．教材改编1的定义域为( )2()函数y＝2x－3＋x－33B.(－∞，3)∪(3，＋∞)A.2，＋∞3C.2，3∪(3，＋∞)D.(3，＋∞)2x－3≥0，[由题意知x－3≠0，3解得x≥2且x≠3.]log5x，x＞0，13．(2017·东北三省四市二联)已知函数f(x)＝2x，x≤0，则ff25＝( )1A．4B.41C.－4D.－411－2B[∵f25＝log525＝log55＝－2，ff1＝f(－2)＝2－2＝1，应选B.]254104．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________.3－2[∵f(x)＝ax－2x的图象过点(－1,4)，5．给出以下四个命题：①函数是其定义域到值域的映照；f(x)＝x－3＋2－x是一个函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝lgx2与g(x)＝2lgx是同一个函数．此中正确命题的序号是________．【导学号：01772018】[由函数的定义知①正确．x－3≥0，∵知足的x不存在，∴②不正确．2－x≥0y＝2x(x∈N)的图象是位于直线y＝2x上的一群孤立的点，∴③不正确．f(x)与g(x)的定义域不一样，∴④也不正确．]求函数的定义域(1)(2016江·苏高考)函数y＝3－2x－x2的定义域是________．f2x(2)(2017郑·州模拟)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝x－1的定义域是________．22(1)[－3,1](2)[0,1)[(1)要使函数存心义，需3－2x－x≥0，即x＋2x－(2)由0≤2x≤2，得0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，11所以0≤x<1，即g(x)的定义域为[0,1)．][规律方法]1.求给出分析式的函数的定义域，可结构使分析式存心义的不等式(组)求解．2．(1)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；(2)若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．[变式训练1](1)函数f(x)＝x11－2＋的定义域为( )x＋3A．(－3,0]B.(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D.(－∞，－3)∪(－3,1](2)已知函数f(2x)的定义域为[－1,1]，则f(x)的定义域为________.【导学号：01772019】1[(1)由题意，自变量x1－2x≥0，(1)A(2)2，2应知足x＋3＞0，解得x≤0，∴－3＜x≤0.x＞－3，(2)∵f(2x)的定义域为[－1,1]，1x1∴2≤2≤2，即f(x)的定义域为2，2.]求函数的分析式2(1)已知fx＋1＝lgx，求f(x)的分析式．(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的分析式．1(3)已知f(x)＋2fx＝x(x≠0)，求f(x)的分析式．[解](1)令2＋1＝t，因为x＞0，∴t＞1且x＝2，xt－1∴f(t)＝lg2，即f(x)＝lg2＞．t－1x－1(x1)12(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，12a＝1，a＝2，∴f(x)＝123∴a＋b＝－1，即32x－2x＋2.b＝－2，∵f(x)＋1＝x，∴f1＋2f(x)＝1(3)2fxxx.1fx＋2fx＝x，联立方程组11fx＋2fx＝x，2x解得f(x)＝3x－3(x≠0)．[规律方法]求函数分析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的种类，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的分析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；1(3)结构法：已知对于f(x)与fx或f(－x)的表达式，可依据已知条件再结构出此外一个等式，经过解方程组求出f(x)；(4)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成对于g(x)的表达式，而后以x代替g(x)，即得f(x)的表达式．[变式训练2](1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝________.1(2)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2·fx·x－1，则f(x)＝________.221(1)x－1(x≥1)(2)3x＋3(x＞0)[(1)(换元法)设x＋1＝t(t≥1)，则x＝t－1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．(配凑法)f(x＋1)＝x＋2x＝(x＋1)2－1，13又x＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．11取代x，(2)在f(x)＝2fx·x－1中，用x11得fx＝2f(x)·x－1，1fx＝2fx·x－1，由11fx＝2fx·x－1，1得f(x)＝3x＋3(x＞0)．]分段函数及其应用?角度1求分段函数的函数值1＋log22－x，x<1，(1)(2015全·国卷Ⅱ)设函数f(x)＝2x－1，x≥1，则f(－2)＋f(log212)＝()A．3B.6C．9D.12(2)(2017东·北三省四市一联)已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，假如f(x2sinx，x≥0，π＝＋2016)＝那么f＋·－)lg－x，x＜0，20164f(7984)(【导学号：01772020】1A．2016B.41C.4D.2016(1)C(2)C(1)∵－2<1，f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.12log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝2＝6.f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.应选C.14ππ(2)当x≥0时，有f(x＋2016)＝2sinx，∴f2016＋4＝2sin4＝1；当x＜0时，f(x＋2016)＝lg(－x)，∴f(－7984)＝f(－10000＋2016)＝lg10000＝4，∴π2016＋4·f(－7984)＝1×4＝4，应选C.]角度2已知分段函数的函数值求参数logx，x≥1，2若f(f(－1))＝(1)(2017成·都二诊)已知函数f(x)＝x2＋m2，x＜1，2，则实数m的值为()A．1B.1或－1C.3D.3或－33x－b，x＜1，(2)设函数f(x)＝2x，x≥1.A．1

5若ff6＝4，则b＝( )7B.831C.4D.2(1)D(2)D2222＝3，解得m＝±3，[(1)f(f(－1))＝f(1＋m)＝log(1＋m)＝2，m应选D.55553515(2)f6＝3×6－b＝2－b，若2－b<1，即b>2，则3×2－b－b