第二章-一元非线性方程的数值解法

第二章一元非线性方程的数值解法在科学和工程计算中，如电路和电力系统计算、非线性微分和积分方程、非线性规划、非线性力学等众多领域中，经常会遇到求解非线性方程的问题.非线性科学是当今科学发展的一个重要的研究方向，而非线性方程的数值解法又是其中不可缺少的内容.本章主要讨论一元非线性方程的数值解法，其中、/⑴为'的非线性函数.的数值解法，其中、/⑴为'的非线性函数.m）=o（5.0.1）在方程(5.0.1)中，若函数/⑴是、的〃次多项式，则称方程为多项式方程或代数方程：3./一/+尸一2=0；若函数f⑴是超越函数(自变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等都是超越函数)，则称方程为超越方程：例广-®$=。6使/U)=0的P称为方程=0的根，又称为函数/W的零点.若f⑴可分解为/⑴=(]-•/)七⑴，其中〃[为正整数，且g(x*)#0.当〃?=1时，称『为方程f⑴=0

的单根，而当〃?>1时，则称'•为方程似)=。的刀重根，或称X*为f(x)的〃，重零点.设『为/(Q的川重零点，且g(x)充分光滑，则/(/)=广(F)==「T(x')=0,严(X*)*0.根的求解：对于〃次多项式方程，当次数心4时，多项式方程的根可用求根公式表示："=1,2时方程的根是我们已经熟知的，〃=3,4时虽然有求根公式，但已不适合用于数值计算；而次数伫5时，就不能用公式表示多项式方程的根了.因此，对于次数〃23的多项式方程和一般连续函数方程(5.0.1),在实际应用时，通常并不需要得到方程根的解析表达式，只要得到满足一定精度的数值近似根就可以了.U!对于非线性方程/W=0，求其近似数值根一般分为四步：U!判断根的存在性:判断方程八力=。是否有根若有，有几个=i确定根的分布范围：分析并估计方程根的分布情况，并将每一个根用相应区间分隔开，即确定方程根的有根区间；=i根的初始化：确定根的初始近似值(称之为初始近似根)；根的精确化：对根的某个初始近似值设法逐

步精确化，使其满足一定的精度要求.由以上步骤可以看出，求非线性方程数值近似根的方法一般为迭代法.第一节初始近似根的确定一、有根区间的确定设g为区间心］上的连续函数，若fwf(b)<o,由闭区间上连续函数的性质(根的存在定理)可知，方程f(x)=O在(响内至少存在一个实根，此时则称稣］为方程r(x)=o的有根区间(RootedInter-val).此外我们也可以借助某些数学软件(如MathCAD,Mathematics,Matlab等)描绘出仆)的图像，直观地了解方程《)=。根的分布情况.因此，我们可用试探的办法或根据函数的图象，确定出根的分布范围，即将函数似)的定义域分成若干个只含一个实根的区间.例试确定方程f(x)=x6-x-l=0的有根区间.r(x)>o,贝br(x)>o,贝b⑴为严格单调增函数；而当格单调增函数；而当XV*<09则地)为严格单调减函数.又由于4减函数.又由于4出/(±co)>0,所以方程f(x)=x6-x-l=O只有两个实根.经进一步分析可知，7W⑵<0,则方程在［1,2］内有一个实根；/(-1)/(0)<0,则方程的另一个实根在［T,0］内.下面介绍的几种求方程的根的常用数值解法，即二分法，牛顿迭代法，都是将方程的初始近似根逐步精确化的方法.第二节二分法二分法也称为区间对分法，是解非线性方程最直观、最简单的方法.为讨论方便，不妨设函数f⑴在"］上连续，严格单调，且/(a)/(fc)<0,则方程f(x)=0在区间［时］内有且仅有一个实根,•.二分法的基本思想：将方程的有根区间平分为两个小区间，然后判断根在哪个小区间，舍去无根小区间，而后再把有根的小区间一分为二，判断根属于哪个更小的区间，如此反复，直到求出满足精度要求的近似根.二分法的具体计算过程如下：取区间［视的中点幻，计算区间中点函数值e。），并判断：若/0）/（L）＜O，则根x*e［a9xQ］,令a,=a,bt=x09则新的有根区间为［角,妇；若fW=0,则％即为所求根、,；若f0）f0o）＞O,则根若氏力］,令a、=Xo，b\=b,则新的有根区间为［%,妇.对有根区间［%,妇施行同样的操作，即取中点X】=扑+&），再将［"］分为两个子区间［%，知和［皿］9计算/（们）和/Ui），若彻）/（也）＜。则令@=4,如=羽；否贝人七区,妇,令皿=知6=&・这样又确定了一个有根区间［%妇,其长度是区间郊姐长度的一半.如此反复，便得到一系列有根区间口力］o［《A］o［«2A］z＞--o［atl,b"］n…显然，区间［%,力„］的长度为1=上尹—”学 （5.2.1）

当时，上式的极限为0,当时，上式的极限为0,区间［%妇最终必收敛于I=J点，该点就是所求方程（5.0.1）的根・我们取二分后的最后的有根区间［〃,也］的中点匕作为方程（5.0.1）的根、•的近似根an+b,,

—nnXn一其误差估计式为（5.2.2）当〃T8时，取|X*-|<h"~ 0,即对预先给定的精度八0（即指定的绝对误差限。,可以用以下方式结束二分法:当I如时，必有I'JS结束二分法计算,取；二分法的计算步骤如下:输入有根区间的端点琳及预先给定的精度£；（2）x:=（〃+》）/2；⑶若<0，则I,转向（4）；否则…,转向⑷；（4）若…,则输出方程满足精度的根“结束;否则转向（2）.

二分法的优点：1、 是算法简单；2、 对函数的性质要求较低(只要连续即可)；3、 收敛性可保证.二分法的缺点：1、 收敛速度很慢；2、 不能求偶数重根，原因在于当方程(5.0.1)有偶数重根时所分区间端点处函数值同号，而将该区间舍去造成失根现象.因此.在实际应用时，可用它求方程根的初始近似值.例用二分法求方程/(少八XJ=。在啊上的根(取£=10-3)・解⑴这里a=O,b=l9,•,/(0)=-1<0,/(I)=1>09得有根区间［0,1］；⑵计算％=(=0.5,/(0.5)=-0.125v0,得有根区间［0.5,1］；(3)计算x2= =0.75,/(0.75)=-0.01563<0得有根区间［0.75,1］；如此继续，直到亦W时停止，计算结果见表:bkf(bkf(xk)Xk-Xz123456789由表知一，=0.00098VW所以原方程在［。,1］内的根F"心。0.75489.第三节牛顿迭代法及其收敛性迭代法在数学的各个分支都有着重要的应用.本节主要讨论迭代法在非线性方程求根的应用.一、迭代法的基本思想迭代法的基本思想是：将方程(5.0.1)中加=。化为下列等价形式x=g(x)(5.3.1)若要求，满足/(/)=0,则只需求出x*=g(x*)即可；反之也是如此，则称，，为函数的一个不动点，求函数®的零点就等价于求函数g的不动点.在有根区间内选一个初始近似值％,然后按(5.3.1)构造公式知=g(./)M=0,l,2,…（5.3.2）可得到一个数列称｛昌为迭代序列，而称(5.3.1)式中的曲为迭代函数.如果迭代序列｛疳是收敛的，且收敛于F,则当曲连续时，在式两边取极限即得/=,(/),艮II/（x'）=0从而'便是方程（5.0.1）的根.但实际计算当然不可能做无穷多步，实用上，当人充分大时，若就取七作为原方程的近似根.这种求根法称为不动点迭代法，或称逐次逼近法（Picard迭代法）.（5.3.2）就是一个不动点迭代公式.当迭代公式产生的迭代序列氐｝收敛时，就称迭代法或迭代公式是收敛的，否则就称为是发散的.二、 不动点迭代法的构造我们使用迭代法求解非线性方程（5.0.1）时需要解决如下四个问题：（1）迭代函数的构造；（2）初始近似根的选取；（3）迭代序列收敛性分析；（4）收敛速度和误差分析.三、 牛顿迭代法及其收敛性设f是一元非线性方程海）=。的根，函数/⑴在/的某邻域内连续可微，X,是某个迭代近似根，且fXxk）*o.把期在点x.处进行一阶泰勒展开，可得/W«f（Xk）+f\xk\x-xk）则方程f⑴=0可近似表示为 f（xk）+fXxk）（x-xk）=0

这是一个线性方程，求解得X=XL件将其右端项作为新的迭代值队，则可得迭代公式5尧3… （E）图切线法示意图这就是牛顿迭代法（Newton'sMethod）,（5.3.4）称为牛顿迭代公式.图切线法示意图如图所示，曲线KQ与'轴的交点/就是方程似）=。的根.设心是方程川）=0的一个近似根，过曲线），=e）上的点g,m））作切线,切线与•'轴的交点为％,切线的方程为y=fM+f\xk)3-也)设切线点与'轴的交点为"。）,若E。,则可得牛顿迭代公式（5.3.4）知=W-令％,SO,1,2,…因此，牛顿迭代法又称为切线法（TangentMethod）.牛顿迭代法的几何意义：用曲线y=/(v)牛顿迭代法的几何意义：用曲线y=/(v)在点(M))处的切线与、轴的交点的横坐标％来代替曲线y=f（x）与轴交点的横坐标'•.牛顿迭代法的计算步骤为:⑴给出初始近似根L及精度£；1=/Vo).1=⑶对于给定的允许误差J若gr°|<£,转向(4)；否则如=如转向(2)；(4)输出满足精度的根"结束.例用牛顿迭代法求方程『-1=。在\=。5附近的根，精度为"KT'.解这里/(X)=行-1”(X)=b+xe，，相应的牛顿迭代公式为xkeKk-1xkeKk-1xk-e"v—r— —X— 'e”+光。”—*l+xk取"。.5,迭代结果见表，易见|x4-x31=0.00000001<10'8x◎甚a0.567143290k010.234表迭代了4次就得到了较满意的结果.例用牛顿法计算刀・解令f则亍-3=0,即求刀等价于求方程f(x)=x2-3=0的正实根.因为g=2x,由牛顿迭代公式得标一31 3、-4—=s(易+—)，2玉 2 xk

取初值X。取初值X。=L5l¥（5.3.