2019-2020年初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第16章几何变换试题新人教版

希望能帮助您，欢迎下载2019-2020年初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第16章几何变换试题新人教版16．1．1★设是边长为2的正三角形的边的中点．是边上的任意一点，求的最小值．A'CPM'AMB解析作正三角形关于的对称图形．是的对称点，故是的中点．，如图所示，则PAPMPAPM≥AM.连结，易知，所以AMAC2CM2437．所以，的最小值是．16．1．2★★已知中，．试在的边、上分别找出一点、，使最小．解析作关于直线的对称点，关于直线的对称点，连与、分别交于点、，则、即为所求，如图所示．A'CPM'AMB事实上，对于、上的任意点，，BQQPPCBQQPPC．评注因为，所以所作线段必与线段、相交．16．1．3★★求证：直角三角形的内接三角形的周长不小于斜边上高的两倍．解析如图所示，设在直角三角形中，是斜边上的高，是它的任一内接三角形．BDSPQVEARCUTGF将以为对称轴反射为，此时反射为，再将以为对称轴反射为，此时反射为延长交于．可编辑修改希望能帮助您，欢迎下载易知，所以，即，且是两平行线与之间的距离．所以PQQRRPPQQVVT≥GD2CD.16．1．4★★★在内取一点使，．设，．求.CEMAHB解析本题中为等腰三角形，这就提示我们利用对称性解题，先作一条对称轴，作的高与直线交于点由对称性知，，所以，从而，因为AMEMABMBA40，又，所以≌，于是，1AMC所以70．18040216．1．5★★在中，是高，在边上，已知，，，求的面积．解析作的关于的对称图形，作的关于的对称图形．分别延长和，它们相交于，如图所示．AMNCBHL易知，且，．所以，四边形是正方形．设正方形的边长为，则，．在直角三角形中，由勾股定理知．．解方程，得，即．所以可编辑修改希望能帮助您，欢迎下载．16．1．6★★★如图，凸四边形的四个顶点分别在边长为的正方形的四条边上，求证：的周长不小于．解析作正方形关于的轴对称图形，得到正方形，再作正方形关于的轴对称图形，得到正方形，再作正方形关于的轴对称图形，得到正方形，而、、、四点的对应点如图所示．ASDPRCQ2B2BQR1P2P1A2P3A1SD11S2R3C3Q3B3显然，，，故，所以四边形的周长．即四边形的周长不小于．16．1．7★★★如图，和是两个不全等的等腰直角三角形，，现固定而将绕点在平面上旋转，试证：不论旋转到什么位置，线段上必存在点使力等腰直角三角形．BACA'EMD解析如图，设为等腰直角三角形，下面证明点在线段上．作关于的对称点，则．因为，所以EDMADM45ADB，又．所以又是关于的对称点．同理也是关于的对称点，因此，，又因，所以．可编辑修改希望能帮助您，欢迎下载即在上（且为的中点）．16．1．8★★★如图，矩形中，，，若在、上各取一点、，使的值最小，试求出这个最小值．EDACBGQFMPN解析作关于直线的对称线段，即、关于对称，作关于的对称点，则在上，且有于，于．由对称变换可知，.欲使最小，必须共线，所以最小值为点到的距离.在中，，，所以，则．AQAB2BQ220245285．又，在在中，12BEAQ12AEBG中，S△ABE，则．从而的最小值为16．16．1．9★★凸四边形中，，．求证：.DPCEAB解析将沿翻折，点落在点．因为，，所以必定在内部．延长线交于点，则ABADBEFDBPPDBCCD.16．1．10★★设表示凸四边形的面积，证明．BlACDD'解析如图，作点关于的垂直平分线的对称点，显然与关于成轴对称图形．所以，12ABADsinBAD12BCCDsinBCD.可编辑修改希望能帮助您，欢迎下载16．1．11★★在矩形内取一点，使，试求的值．M'ADMBC解析如图将沿平移至，显然，．BCMDAMADM所以，由已知条件，即、、、四点共圆，从而DAM．16．1．12★★设是平行四边形内一点，使得，证明：．APDP'CB解析如图，把平移至，则，及，，所以．又已知，故，从而、、、四点共圆．于是，又，所以．16．1．13★（1）如图（a）所示，在梯形中，.已知：，，，求梯形的面积．（2）如图（b），在梯形中，．是的中点，于．设，，求梯形的面积．解析（1）将平移到，连结，则，．所以ADEBCNMADEBFC(b)(a)AEADDEADBC3．．因此．因为，1ACCE32．S△ACE所以S梯形ABCD22可编辑修改希望能帮助您，欢迎下载（2）将平移至，如图（b）所示，过点．由于≌，所以S梯形ABCDS梯形ABFEABMNah．评注本题的两种添平行线法是解梯形问题的常用方法．16．1．14★★如图，在四边形中，，、分别是及中点，的延长线与及的延长线分别交于点、．求证：．GHECDBAFB'(a)解析1如图（a），将线段平移至．则四边形为平行四边形．由于是中点，故、、共线．现在是的中位线，故，所以，．又显然．故．于是．GHECDMBFA(b)解析2如图（b），连结，取中点为，连结、，则、分别为、的中位线，所以，．故，，且，故，所以．16．1．15★★如图，，、、均垂直于，垂足为、、，，，，．求的值．可编辑修改希望能帮助您，欢迎下载BAPCEDB1A1P1解析将平移到，在线段上，延长交于，将平移到，在上．因为、、均垂直于，所以四边形和都是矩形．由，，得．又，所以，，．所以≌，，．于是，，．在中，，，也即．16．1．16★★在正三角形的三条边上，有三条相等的线段、、．证明：直线、、所成的三角形中，三条线段、、与包含它们的边成比例．CA2A3B3B1B2A1ABC1C2C3解析如图，将平移到，连结、、．因为四边形为平行四边形，所以，，故为正三角形，．这样所得四边形为平行四边形，．因此，由、、这三条线段构成的三角形与全等，而≌，从而命题得证．16．1．17★★如图所示，且共点于，AOBBOCCOA60，S△BOCS△COA3．求证：S△AOBQAC'RBOB'PA'C解析将沿方向平移长的距离，得，将沿方向平移长的距离，得．由于，，可编辑修改希望能帮助您，欢迎下载所以．QRRPOCOCCC'2，又因故与重合，且、、三点共线．在正三角形中，．16．1．18★★★如图，由平行四边形的顶点引它的高和，已知，，求点到的垂心的距离．BPCH1HaAKD解析令表示的垂心．考虑到，，有．同理有，因而四边形，为平行四边形，平移到位置，显然为上一点，所求线段即，已与位于同一直角三角形中．由于四边形为矩形，有，于是BHPHPK1KHba2．22216．1．19★★★已知的面积为，、、分别为、、上的点，且，试求以、、为边的三角形的面积．GCEDAFB解析如图，过点作平行且等于．连、、，则四边形为平行四边形，．CGAFAEAE1，又ABABABCAn1所以≌，，因此.又因，所以．于是四边形在梯形中，S也为平行四边形，从而，即为、、所构成的三角形，它的面积为．1GCAB1GC1ABAB，梯形GABCSn1所以，而，CGCD1BABCn1n1所以n，S△ABC可编辑修改希望能帮助您，欢迎下载1n11nS因此1Sn1n12．§16.2旋转16．2．1★★对于边长为1的正内任一点．求证：．APCBP'C'解析把绕点旋转到．则为正三角形，且，，因而PAPBPCPAPPPC≥AC3．16．2．2★★设是等边三角形内一点，，，．试求此等边三角形的边长．B54P3CAP'解析如图，把绕点逆时针旋转，到达的位置，显然，，，．PP252AP2，所以．34在中，AP2故22APCAPPPPC9060150.在中，由余弦定理，得AC2AP2PC22APPCcos150．所以，等边三角形的边长是．16．2．3★★设是正三角形内一点，已知，，求以线段、、为边构成的三角形的各角．可编辑修改希望能帮助您，欢迎下载BDOAC解析以为旋转中心，将按逆时针方向旋转，旋转至，如图所示．连结．由于，，所以是正三角形，故．又，故是以、、为边构成的一个三角形．因此，，从而OCD180655560．所以，以线段、、为边构成的三角形的各角分别为、和．16．2．4★★如图，两个正方形与（顶点按顺时针方向排列），求证：这两个正方形的中心以及线段、的中点是某正方形的顶点．CDQKPLARBSM解析设、分别是正方形、的中心，、分别是线段、的中点，先证是以为斜边的等腰直角三角形．连结、，将绕逆时针旋转，则、分别到、位置，所以，．因为、分别是、的中点，所以．同理．所以，且．即是以为斜边的等腰直角三角形．同理可证也是以为斜边的等腰直角三角形．故、、、是正方形的四个顶点．16．2．5★★正方形内有一点，，．，求正方形的面积．P'ADPBC解析将绕点旋转，得．连结．易知，．于是．2279PD2在中，PP2．所以是直角三角形，从而．PD可编辑修改希望能帮助您，欢迎下载由余弦定理得AD2PA2PD22PAPD．16．2．6★★在正方形的边和上分别取点和，使得，在线段上取点，使得．证明：是直角．AMBPKDLC解析如图所示，在边上取点，使，连结、、．由于，所以、、、四点共圆，作四边形的外接圆和矩形的外接圆，因为这两个外接圆均过、、三点，从而这两圆是相同的，所以．易知≌.故以正方形的中心为旋转中心，将以逆对针方向旋转，则旋转至，从而．又，故、、三点共线，所以．16．2．7★★★已知凸六边形中，，，，AAAAAA．求证：135246（1）；（2），，．A2A3A'4A1A6A4A5解析（1）将绕点旋转，使与重合，得到，如图所示．连结．因为(AAA)(AAA)135246，所以．AAA360AAAA412因此4161.可编辑修改希望能帮助您，欢迎下载从而≌，≌，112S2S所以S．△AAAA2A4A6A4A1A2A3A4A5A6246（2）由（AAAAAAAAAAAA41）可知62462412632，所以．同理可证：，．评注本题通过旋转，把、、拼成一个与全等的新三角形.也可以采取向内部旋转的方法，把、、放在的内部，使之恰好“拼成”．16．2．8★★★如图所示，、是边长为1的正方形内，求的两点，使得值．ADADQQPPQ'BCBCQ''(b)(a)解析将绕点顺时针旋转至，绕点逆时针旋转至，连结、，则≌，≌．又ABQCBQADQCDQ90，所以、、三点共线，且，故，所以．16．2．9★★在中，，点不与重合．求证.解析如图，将绕点旋转至的位置，使与共线．于是ABACABACPCPB．B'AP'BCP又因为PABPACBAPPACBAC≥120，所以PAP180BAC≤60．故在等腰中，可编辑修改希望能帮助您，欢迎下载．因此PB≤PPPB≤PAPBPAPB，从而.评注此题似乎依赖于图形，在内，事实上在其他位置照样成立，方法完全一样．16．2．10★★★凸四边形中，点、分别是、的中点，且（是常数），求证：．ECNDFMAB解析如图所示，将绕点旋转得，将绕点旋转得，连，于是E