2023年高等数学第7章微分方程解答

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐高等数学第7章微分方程解答习题7-2可分别变量的微分方程

1求下列微分方程的通解：（1）

2211yyx-='-；

解

=

=

两端积分得arcsinarcsinyxC=+，（C为随意常数）

即为原方程的通解。

（2）0tansectansec2

2

=+xdyyydxx；

解将原方程分别变量，得22secsectantanyx

dydxyx

=-

两端积分得ln

tanlntanlnyxC=-+或lntantanlnxyC=

故原方程的通解为tantanxyC=（C为随意常数）。

2、求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1）ey

yyxyx=='=

2

,lnsinπ

；

解将原方程分别变量，得

lnsindydx

yyx

=两端积分得()tanln2lntan2

xddyxy?

??

??

=??，即lnlnlntanln2xyC=+

故原方程的通解为lntan

2xy

C=,代入初始条件,2

xyeπ

==,得1C=.于是,所求之特解为tan

2

x

ye

=.

（2）.1,022

==+=xyydxxdy

解将原方程分别变量，得

2dydxyx

=-两端积分得

2dydx

yx=-??，即ln2lnlnyxC=-+

故原方程的通解为2

xyC=,代入初始条件2,1xy==,得4C

=.于是,所求之特解为24xy=.

3、一曲线通过点（2,3），它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.解设曲线方程为,切点为.由条件,切线在x轴与y轴上的截距分离为2x与2y,于是切线的斜率

2022yy

yxx

-'=

=--,分别变量得dydxyx=-,积分得lnlnlnyxC=-+,即xyC=.代入初始条件

23xy==,得6C=,故曲线方程为6xy=.

习题7-3齐次方程

1、求下列齐次方程的通解（1）022=

'xyyyx

解(a)当0x>时,可将方程改写成yyx'=+.令yux=,即yxu=,所以有

yuxu''=+.则原方程成为uxuu'+=+分别变量,

dx

x

=

.

两边积分得lnlnlnuxC+=+,即uCx+=.

将yu

x

=

代入上式收拾,得通解为2yCx=;

(b)当0x0的状况一样)

所以,对随意的0x≠,方程的通解为

2yCx=(C为随意常数).

（注:假如C=0,则由原方程知,0xy'=,即0x=或

yA=,若0x=,则原方程变为0y+=,

惟独当0y时,去掉肯定值即得上述解答过程.而当ln0y时,原方程为

2

1

1

ydy

dx

Cy

=±

-

.两边积分得

()

2

1

2

11

1

1

21

dCy

dx

CCy

-

=±

-

??.即

2

110

1

CyCxC

-=±+,两边平方得

()()()()

2222

2

1101012

1

CyCxCCxCCxC

-=±+=±±=+(其中

20

CC

=±);

综上研究知,原方程的通解为()2

2

112

1

CyCxC

=++(

1

C为不等于零的随意常数,C2为随意常数)

8、求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

（1）0

25=

+''y

y，2

=

=x

y，5

=

'

=x

y.

解

（2）0

13

4=

+'

-''y

y

y，0

=

=x

y，3

=

'

=x

y.

解

9、求下列微分方程的通解：

（1）xe

y

a

y=

+''2；

解

（3）xxyycos4=+''.

解特征方程2

40r+=的特征根为1,22ri=±,故对应齐次方程的通解为

12cos2sin2YCxCx=+.

因

()cos,fxxxiiλω=+=不是特征方程的特征根,故可设

()()*cossinyaxbxcxdx=+++

是原方程的一个特解.代入原方程,得

()()332cos332sincosaxbcxcxdaxxx++++-=.

比较系数得31320,

30,320,

abccda=??+=??=??-=?,解得130,

0,2,

9abcd?=??=??=??=??

,

即*12