高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社)习题五答案详解

PAGEPAGE116高等数学上（修订版）黄立宏（复旦出版社）习题五答案详解求下列各曲线所围图形的面积：eqy=\f(1,2)x2与x2+y2=8(两部分都要计算)；解：如图D1=D2解方程组eq\b\lc\{(\a\al(y=\f(1,2)x2,x2+y2=8))得交点A(2，2)(1)eqD1=\i\in(0,2,\b\bc(\r(,8-x2)-\f(1,2)x2)dx)=π+\f(2,3)∴eqD1+D2=2π+\f(4,3),eqD3+D4=8π-\b\bc(2π+\f(4,3))=6π-\f(4,3)．eqy=\f(1,x)与直线y=x及x=2；解：eqD1=\i\in(1,2,\b\bc(x-\f(1,x))dx)=\b\bc\[(\f(1,2)x2-lnx)\s(2,1)eq=\f(3,2)-ln2.(2)y=ex，y=ex与直线x=1；解：eqD=\i\in(0,1,\b\bc(ex-e-x))dx=e+\f(1,e)-2．(3)y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb．(b>a>0)；解：eqD=\i\in(lna,lnb,eydy)=b-a．(4)抛物线y=x2和y=x22；解：解方程组eq\b\lc\{(\a\al(y=x2,y=-x2+2))得交点(1，1)，(1，1)eqD=\i\in(-1,1,\b\bc(-x2+2-x2)dx)=4\i\in(0,1,\b\bc(-x2+1)dx)eq=\f(8,3)．(5)y=sinx，y=cosx及直线eqx=\f(π,4)，x=\f(9,4)π；解：eqD=2\i\in(\f(,4),\f(5,4),(sinx-cosx))dx eq=2\b\bc\[(-cosx-sinx)\s(\f(5,4),\f(,4))eq=4\r(2)．(6)抛物线y=x2+4x3及其在(0，3)和(3，0)处的切线；解：y′=2x+4．∴y′(0)=4，y′(3)=2．∵抛物线在点(0，3)处切线方程是y=4x3 在(3，0)处的切线是y=2x+6两切线交点是(eq\f(3,2)，3)．故所求面积为(7)解：求两曲线交点eq\b\lc\{(\a\al(y=x2,y2=x3))得(0，0)，(1，1)eqV=\i\in(0,1,\b(x3-x4))dxeq=\b\bc\[(\f(1,4)x4-\f(1,5)x5)\s(1,0) eq=\f(,20)．（14）（2）由y=x3，x=2，y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转；解：见图14，eqVx=\i\in(0,2,x6dx=\f(128,7))eqVy=\i\in(0,8,\b(22-y\f(2,3)))dy eq=\f(64,5)．星形线eqx2/3+y2/3=a2/3绕x轴旋转；解：见图15，该曲线的参数方程是：eq\b\lc\{(\a\al(x=acos3t,y=asin3t))0t2，由曲线关于x轴及y轴的对称性，所求体积可表示为eqVx=2\i\in(0,a,y2dx) eq=2\i\in(\f(,2),0,\b(asin3t)2d\b(acos3t)) eq=6a3\i\in(0,\f(,2),sin7tcos2tdt) eq=\f(32,105)a3(15)设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2解：如图16建立直角坐标系，则图中点E，D的坐标分别为：E(a，h)，D(A，0)，于是得到ED所在的直线方程为：eqy=\f(h,a-A)(x-A)(16)对于任意的y∈[0，h]，过点(0，y)且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆的半轴为：eqx1=A-\f(A-a,h)y，同理可得该椭圆的另一半轴为：eqx2=B-\f(B-b,h)y．故该椭圆面积为eqA(y)=x1x2=\b(A-\f(A-a,h)y)\b(B-\f(B-b,h)y)从而立体的体积为 eqV=\i\in(0,h,A\b(y)dy)=\i\in(0,h,\b(A-\f(A-a,h)y)\b(B-\f(B-b,h)y))dy eq=\f(1,6)h\b\bc\[(bA+aB+2\b(ab+AB)).计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图17.(17)解：以底面上的固定直径所在直线为x轴，过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：x2+y2=R2．过区间[R，R]上任意一点x，且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x对应的圆周上的点为(x，y)，则该等边三角形的边长为2y，故其面积等于 eqA\b(x)=\f(\r(3),4)\b(2y)2=\r(3)y2=\r(3)\b(R2-x2)\b(-R≤xR)从而该立体的体积为 eqV=\i\in(-R,R,A\b(x)dx)=\i\in(-R,R,\r(3)\b(R2-x2))dx eq=\f(4\r(3),3)R3．求下列曲线段的弧长：eqy2=2x，0≤x≤2；解：见图18，2yy′=2．eqy′=\f(1,y)∴eq1+y′2=1+\f(1,y2)．从而(18)eql=2\i\in(0,2,\r(1+y′2))dx=2\i\in(0,2,\r(1+\f(1,y2)))dx eq=2\i\in(0,2,\f(1,y)\r(1+y2))d\f(y2,2)=2\i\in(0,2,\r(1+y2))dy eq=y\r(1+y2)+ln\b(y+\r(1+y2))\b\lc\|(\a\al(2,0))=2\r(5)+ln(2+\r(5))y=lnx，eq\r(3)≤x≤\r(8)；解：eql=\i\in(\r(3),\r(8),\r(1+y′2)dx)=\i\in(\r(3),\r(8),\r(1+\f(1,x2))dx)eq=\i\in(\r(3),\r(8),\f(\r(1+x2),x)dx)eq=\b\bc\[(\r(1+x2)-ln\f(1+\r(1+x2),x))\a\al(\r(8),\r(3))=1+\f(1,2)ln\f(3,2)．eqy=\i\in(−\f(,2),x,\r(cost)dt),−\f(,2)≤t≤\f(,2)；解：eql=\i\in(−\f(,2),\f(,2),\r(1+y′2)dx)=\i\in(−\f(,2),\f(,2),\r(1+cosx)dx) eq=\i\in(−\f(,2),\f(,2),\r(2)cos\f(x,2)dx)=4\r(2)\i\in(0,\f(,2),cos\f(x,2))d\f(x,2) eq=4\r(2)sin\f(x,2)\b\lc\|(\a\al(\f(,2),0))=4.设星形线的参数方程为x=acos3t，y=asin3t，a>0求星形线所围面积；绕x轴旋转所得旋转体的体积；星形线的全长．解：(1)eqD=4\i\in(0,a,ydx)=4\i\in(\f(,2),0,asin3td\b(acos3t)) eq=12a2\i\in(0,\f(,2),sin4tcos2tdt) eq=12a2\i\in(0,\f(,2),\b(sin4t−sin6t)dt)eq=\f(3,8)a2． (2)eqVx=2\i\in(0,a,y2dx)eq=2\i\in(\f(,2),0,\b(asin3t)2d\b(acos3t)) eq=6a3\i\in(0,\f(,2),sin7tcos2tdt) eq=\f(32,105)a3 (3)xt′=3acos2tsint yt′=3asin2tcost xt′2+ yt′2=9a2sin2tcos2t，利用曲线的对称性eql=4\i\in(0,\f(,2),\r(xt′2+ yt′2))dteq=4\i\in(0,\f(,2),3a\r(sin2tcos2t))dteq=12a\i\in(0,\f(,2),\r(\f(1,4)sin22t))dteq=6a\i\in(0,\f(,2),sin2t)dteq=\b\bc\[(3a\b(-cos2t))\a\al(\f(,2),0)=6a．求对数螺线r=eaθ相应θ=0到θ=φ的一段弧长．解：eql=\i\in(0,φ,\r(r2+r′2))dθ eq=\i\in(0,φ,\r(e2aθ+a2e2aθ))dθ eq=\f(\r(1+a2),a)\b(eaφ-1)．求半径为R，高为h的球冠的表面积．解：eqD=2\i\in(R-h,R,x\r(1+x′2)dy) eq=2\i\in(arcsin\f(R-h,R),\f(,2),Rcosθ\r(\b(Rcosθ)′2+\b(Rsinθ)′2))dθ eq=2\i\in(arcsin\f(R-h,R),\f(,2),R2cosθ)dθ eq=2R2\b\bc\[(sinθ)\a\al(\f(,2),arcsin\f(R-h,R)) =2Rh．求曲线段y=x3(0x1)绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积．解：eqD=2\i\in(0,1,y\r(1+y′2)dx) eq=2\i\in(0,1,x3\r(1+9x4)dx) eq=\f(,18)·\f(2,3)\b(1+9x4)\s\up6(\f(3,2))\b\lc\|(\a\al(1,0)) eq=\f(,27)\b(10\r(10)-1)．把长为10m，宽为6m，高为5m的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？解：如图19，区间[x，x+dx]上的一个薄层水，有微体积dV=10·6·dx(19)设水的比重为1，，则将这薄水层吸出池面所作的微功为 dw=x·60gdx=60gxdx．于是将水全部抽出所作功为 eqw=\i\in(0,5,60gxdx) eq=\f(60g,2)x2\b\lc\|(\a\al(5,0)) eq=750g(KJ)．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力．解：如图20，建立坐标系，直线AB的方程为 eqy=-\f(x,10)+5．压力元素为 eqdF=x·2ydx=2x\b(-\f(x,10)+5)dx所求压力为（20） eqF=\i\in(0,20,2x\b(-\f(x,10)+5))dx（20） eq=\b\bc\[(5x2-\f(1,15)x3)\a\al(20,0)=1467(吨)=14388(KN)14．半径为R的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取离水面，问做功多少？解：如图21，以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为(x－R)2+y2=R2将球从水中取出需作的功相应于将[0，2R]区间上的许多薄片都上提2R的高度时需作功的和的极限。取深度x为积分变量，典型小薄片厚度为dx，将它由A上升到B时，在水中的行程为x；在水上的行程为2R－x。因为球的比重与水相同，所以此薄片所受的浮力与其自身的重力之和x为零，因而该片在水中由A上升到水面时，提升力为零，并不作功，由水面再上提到B时，需作的功即功元素为（21）（21）所求的功为15．设有一半径为R，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m的质点，试求细棒对该质点的引力。解：如图22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段ds对质点N的引力的近似值即为引力元素（图22）则则故所求引力的大小为，方向自N点指向圆弧的中点。16．求下列函数在[－a，a]上的平均值：;解：(2)f(x)=x2解：17．求正弦交流电i=I0sinωt经过半波整流后得到电流的平均值和有效值。解：有效值故有效值为.18．已知电压u(t)=3sin2t，求(1)u(t)在上的平均值；解：(2)电压的均方根值.解：均方根公式为故19．设某企业固定成本为50，边际成本和边际收入分别为C′(x)=x2－14x+111，R′(x)=100－2x．试求最大利润．解：设利润函数L(x)．则L(x)=R(x)－C(x)－