2021年江苏省中考数学真题分类汇编：函数(附答案解析)

2021年江苏省中考数学真题分类汇编：函数一．选择题（共10小题）1．（2021•南通）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F，且AE＝EF＝FB＝5cm，DE＝12cm．动点P，Q均以1cm/s的速度同时从点A出发，其中点P沿折线AD﹣DC﹣CB运动到点B停止，点Q沿AB运动到点B停止，设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t对应关系的图象大致是（）A． B． C． D．2．（2021•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣13．（2021•常州）为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格y1（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设y2（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则y2随t变化的图象大致是（）A． B． C． D．4．（2021•苏州）已知点A（，m），B（，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（）A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定5．（2021•常州）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＞1 C．a≠1 D．a＜16．（2021•宿迁）已知双曲线过点（3，y1）、（1，y2）、（﹣2，y3），则下列结论正确的是（）A．y3＞y1＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y17．（2021•宿迁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2021•苏州）已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（）A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣29．（2021•南通）平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与双曲线y＝（k＞2）相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设M（m，2）为双曲线y＝（k＞2）上一点，直线AM，BM分别交y轴于C，D两点，则OC﹣OD的值为（）A．2 B．4 C．6 D．810．（2021•无锡）设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．其中，正确的有（）A．②③ B．①④ C．①③ D．②④二．填空题（共10小题）11．（2021•南京）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO，AB的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是．12．（2021•扬州）在平面直角坐标系中，若点P（1﹣m，5﹣2m）在第二象限，则整数m的值为．13．（2021•连云港）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是元．14．（2021•南通）下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．时间/分钟0510152025温度/℃102540557085若温度的变化是均匀的，则14分钟时的温度是℃．15．（2021•徐州）如图，点A、D分别在函数y＝、y＝的图象上，点B、C在x轴上．若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是．16．（2021•无锡）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：．17．（2021•无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为：．18．（2021•泰州）在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而．（填“增大”或“减小”）19．（2021•南京）如图，正比例函数y＝kx与函数y＝的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝．20．（2021•宿迁）如图，点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则k＝．三．解答题（共10小题）21．（2021•盐城）为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到图表：该地区每周接种疫苗人数统计表周次第1周第2周第3周第4周第5周第6周第7周第8周接种人数（万人）710121825293742根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据以上统计表中的数据描出对应的点，发现从第3周开始这些点大致分布在一条直线附近，现过其中两点（3，12）、（8，42）作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为y＝6x﹣6），那么这条直线可近似反映该地区接种人数的变化趋势．请根据以上信息，解答下列问题：（1）这八周中每周接种人数的平均数为万人；该地区的总人口约为万人；（2）若从第9周开始，每周的接种人数仍符合上述变化趋势．①估计第9周的接种人数约为万人；②专家表示：疫苗接种率至少达60%，才能实现全民免疫．那么，从推广疫苗接种工作开始，最早到第几周，该地区可达到实现全民免疫的标准？（3）实际上，受疫苗供应等客观因素，从第9周开始接种人数将会逐周减少a（a＞0）万人，为了尽快提高接种率，一旦周接种人数低于20万人时，卫生防疫部门将会采取措施，使得之后每周的接种能力一直维持在20万人．如果a＝1.8，那么该地区的建议接种人群最早将于第几周全部完成接种？22．（2021•南通）A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折．例如，一次购物的商品原价为500元，去A超市的购物金额为：300×0.9+（500﹣300）×0.7＝410（元）；去B超市的购物金额为：100+（500﹣100）×0.8＝420（元）．（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由．23．（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝x+的图象的“等值点”．（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数y＝（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．24．（2021•盐城）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度α的大小来解决相关问题．【初步感知】如图1，设A（1，1），α＝90°，点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P1（﹣1，1）．（1）点P1旋转后，得到的点P1′的坐标为；（2）若点P′的运动轨迹经过点P2′（2，1），求原一次函数的表达式．【深入感悟】如图2，设A（0，0），α＝45°，点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上的动点，过点P′作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M，求△OMP′的面积．【灵活运用】如图3，设A（1，﹣），α＝60°，点P是二次函数y＝x2+2x+7图象上的动点，已知点B（2，0）、C（3，0），试探究△BCP′的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．25．（2021•南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．（1）求b的值；（2）当c＞﹣1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是．（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当﹣1＜m＜3时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．26．（2021•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）b＝，c＝；（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．27．（2021•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．（1）求二次函数的表达式；（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．28．（2021•常州）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】（1）如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE．已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．①分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；②比较大小：CECD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．【应用】（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，横坐标分别为m、n．设p＝m+n，q＝，记l＝pq．①当m＝1，n＝2时，l＝；当m＝3，n＝3时，l＝；②通过归纳猜想，可得l的最小值是．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．29．（2021•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）和二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象都经过点A（4，3）和点B，过点A作OA的垂线交x轴于点C．D是线段AB上一点（点D与点A、O、B不重合），E是射线AC上一点，且AE＝OD，连接DE，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以DE、DF为邻边作▱DEGF．（1）填空：k＝，b＝；（2）设点D的横坐标是t（t＞0），连接EF．若∠FGE＝∠DFE，求t的值；（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P若S△DFP＝S▱DEGF，求OD的长．30．（2021•宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．

2021年江苏省中考数学真题分类汇编：函数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2021•南通）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F，且AE＝EF＝FB＝5cm，DE＝12cm．动点P，Q均以1cm/s的速度同时从点A出发，其中点P沿折线AD﹣DC﹣CB运动到点B停止，点Q沿AB运动到点B停止，设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t对应关系的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】函数及其图象；推理能力．【分析】根据点P在AD，DC，BC上分三种情况，将面积表示成t的函数，即可确定对应的函数图象．【解答】解：∵AD＝，∴AB＞AD，∴点P先到D，当0≤t＜13时，过点P作PH⊥AB于H，则，∴PH＝，∴，∴图象开口向上，∴A，B不符合题意，当18＜t＜31时，点P在BC上，∴，只有D选项符合题意，故选：D．【点评】本题主要考查动点问题求面积，关键是要根据动点在不同的线段上分情况讨论，依次来确定对应的分段的函数的图象．2．（2021•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，得到：y＝（x+2）2，再向上平移1个单位长度得到：y＝（x+2）2+1．故选：B．【点评】此题主要考查二次函数图象与几何变换，正解掌握平移规律是解题的关键．3．（2021•常州）为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格y1（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设y2（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则y2随t变化的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【专题】函数及其图象；应用意识．【分析】根据商品的价格y1（元/件）随时间t（天）的变化图分析得出y2随t变化的规律即可求出答案．【解答】解：由商品的价格y1（元/件）随时间t（天）的变化图得：商品的价格从5增长到15，然后保持15不变，一段时间后又下降到5，∴第1天到第t天该商品的平均价格变化的规律是先快后慢的增长，最后又短时间下降，但是平均价格始终小于15．故选：A．【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．4．（2021•苏州）已知点A（，m），B（，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（）A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．【分析】根据点A（，m），B（，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，可以求得m、n的值，然后即可比较出m、n的大小，本题得以解决．【解答】解：∵点A（，m），B（，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，∴m＝2+1，n＝2×+1＝3+1＝4，∵2+1＜4，∴m＜n，故选：C．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是求出m、n的值．5．（2021•常州）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＞1 C．a≠1 D．a＜1【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】由二次函数的性质得a﹣1＞0，即可求解．【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，∴a﹣1＞0，∴a＞1，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．6．（2021•宿迁）已知双曲线过点（3，y1）、（1，y2）、（﹣2，y3），则下列结论正确的是（）A．y3＞y1＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【分析】根据k的符号确定反比例函数图象所在的象限，根据反比例函数的性质即可得出答案．【解答】解：∵k＜0，∴反比例函数的图象在第二、四象限，∵反比例函数的图象过点（3，y1）、（1，y2）、（﹣2，y3），∴点（3，y1）、（1，y2）在第四象限，（﹣2，y3）在第二象限，∴y2＜y1＜0，y3＞0，∴y2＜y1＜y3．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质的应用，注意：当k＜0时，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大．7．（2021•宿迁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；应用意识．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①抛物线开口向上，则a＞0，故正确；②由图象可知：抛物线与x轴无交点，即△＜0∴△＝b2﹣4ac＜0，故错误；③由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x＝1时，y＝a+b+c＝1，当x＝3时，ax2+bx+c＝9a+3b+c＝3，∴8a+2b＝2，即b＝1﹣4a，∴4a+b＝1，故正确；④∵点（1，1），（3，3）在直线y＝x上，由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方，∴ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故正确；故选：C．【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．8．（2021•苏州）已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（）A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【分析】根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，然后将（0，0）代入，求得k的值．【解答】解：∵抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，∴x＝﹣＞0，∴k＜0．∵抛物线y＝x2+kx﹣k2＝（x+）²﹣．∴将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y＝（x+﹣3）²﹣+1，∴将（0，0）代入，得0＝（0+﹣3）²﹣+1，解得k1＝2（舍去），k2＝﹣5．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是写出平移后抛物线解析式．9．（2021•南通）平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与双曲线y＝（k＞2）相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设M（m，2）为双曲线y＝（k＞2）上一点，直线AM，BM分别交y轴于C，D两点，则OC﹣OD的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．【分析】解法一：设A（a，2a），M（m，2），则B（﹣a，﹣2a），分别计算直线AM和BM的解析式，令x＝0可得OC和OD的长，相减可得结论；解法二：作辅助线，构建相似三角形，先根据两个函数的解析式计算交点A和B的坐标，根据M（m，2）为双曲线y＝（k＞2）上一点，将点M的坐标代入反比例函数的解析式可得M的坐标，证明△EMD∽△FDB和△CPA∽△CEM，列比例式分别计算OC和OD的长，可得结论．【解答】解：解法一：设A（a，2a），M（m，2），则B（﹣a，﹣2a），设直线BM的解析式为：y＝nx+b，则，解得：，∴直线BM的解析式为：y＝x+，∴OD＝，同理得：直线AM的解析式为：y＝x+，∴OC＝，∵a•2a＝2m，∴m＝a2，∴OC﹣OD＝﹣＝4；解法二：由题意得：，解得：，，∵点A在第一象限，∴A（，），B（﹣，﹣），∵M（m，2）为双曲线y＝（k＞2）上一点，∴2m＝k，∴m＝，∴M（，2），如图，过点A作AP⊥y轴于P，过点M作ME⊥y轴于E，过点B作BF⊥y轴于F，∴∠MED＝∠BFD＝90°，∵∠EDM＝∠BDF，∴△EMD∽△FBD，∴，即＝＝，∴OD＝＝﹣2，∵∠CPA＝∠CEM＝90°，∠ACP＝∠ECM，∴△CPA∽△CEM，∴，即＝＝，∴OC＝＝＝+2，∴OC﹣OD＝+2﹣（﹣2）＝4．故选：B．【点评】本题考查反比例函数的综合问题，解题关键是构造相似三角形求解．10．（2021•无锡）设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．其中，正确的有（）A．②③ B．①④ C．①③ D．②④【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】新定义；一次函数及其应用；二次函数的应用；应用意识．【分析】根据当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”，逐项进行判断即可．【解答】解：①y1﹣y2＝﹣2x﹣7，在1≤x≤2上，当x＝1时，y1﹣y2最大值为﹣9，当x＝2时，y1﹣y2最小值为﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣9，故函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”不正确；②y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在3≤x≤4上，当x＝3时，y1﹣y2最大值为1，当x＝4时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤1，故函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”正确；③y1﹣y2＝﹣x2+x﹣1，在0≤x≤1上，当x＝时，y1﹣y2最大值为﹣，当x＝0或x＝1时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤﹣，当然﹣1≤y1﹣y2≤1也成立，故0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”正确；④y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在2≤x≤3上，当x＝时，y1﹣y2最大值为，当x＝2或x＝3时，y1﹣y2最小值为1，即1≤y1﹣y2≤，故2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”不正确；∴正确的有②③，故选：A．【点评】本题考查一次函数、二次函数的综合应用，解题的关键是读懂“逼近函数”和“逼近区间”的含义，会求函数在某个范围内的最大、最小值．二．填空题（共10小题）11．（2021•南京）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO，AB的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是6．【考点】坐标与图形性质．【专题】几何图形问题；应用意识．【分析】由C、D的横坐标求出线段CD的长度，结合中位线的定义和性质，得出OB的长度，从而得到B点的横坐标．【解答】解：∵边AO，AB的中点为点C、D，∴CD是△OAB的中位线，CD∥OB，∵点C，D的横坐标分别是1，4，∴CD＝3，∴OB＝2CD＝6，∴点B的横坐标为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了中位线定义和性质应用，解题的关键是由点C、D的横坐标求出线段CD的长度．12．（2021•扬州）在平面直角坐标系中，若点P（1﹣m，5﹣2m）在第二象限，则整数m的值为2．【考点】解一元一次不等式组；坐标确定位置．【专题】平面直角坐标系；运算能力．【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0列出不等式组，然后求解即可．【解答】解：由题意得：，解得：，∴整数m的值为2，故答案为：2．【点评】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．13．（2021•连云港）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是1264元．【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【分析】设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80﹣2b）份，由于这两种快餐每天销售总份数不变，可得出等式，求得a＝b，用a表达出W，结合二次函数的性质得到结论．【解答】解：设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80﹣2b）份，由题意可得，40+2a+80﹣2b＝40+80，解a＝b，∴总利润W＝（12﹣a）（40+2a）+（8+a）（80﹣2a）＝﹣4a2+48a+1120＝﹣4（a﹣6）2+1264，∵﹣4＜0，∴当a＝6时，W取得最大值1264，即两种快餐一天的总利润最多为1264元．故答案为：1264．【点评】本题属于经济问题，主要考查二次函数的性质，设出未知数，根据“这两种快餐每天销售总份数不变”列出等式，找到量之间的关系是解题关键．14．（2021•南通）下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．时间/分钟0510152025温度/℃102540557085若温度的变化是均匀的，则14分钟时的温度是52℃．【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；应用意识．【分析】根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升3℃，写出函数关系式，进而把t＝14min代入计算即可．【解答】解：根据表格中的数据可知温度T随时间t的增加而上升，且每分钟上升3℃，则关系式为：T＝3t+10，当t＝14min时，T＝3×14+10＝52（℃）．故14min时的温度是52℃．故答案为：52．【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是分析表格得出温度T与时间t的关系式．15．（2021•徐州）如图，点A、D分别在函数y＝、y＝的图象上，点B、C在x轴上．若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是（2，3）．【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【分析】根据题意设出A、D的纵坐标为n，即可得出A（﹣，n），D（，n），根据正方形的性质得出+＝n，求得n＝3，即可求得D的坐标为（2，3）．【解答】解：设A的纵坐标为n，则D的纵坐标为n，∵点A、D分别在函数y＝、y＝的图像上，∴A（﹣，n），D（，n），∵四边形ABCD为正方形，\∴+＝n，解得n＝3（负数舍去），∴D（2，3），故答案为（2，3）．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出A、D的坐标是解题的关键．16．（2021•无锡）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：y＝﹣答案不唯一．【考点】一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质；二次函数的性质；关于原点对称的点的坐标．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【分析】根据反比例函数的性质得到k＜0，然后取k＝﹣1即可得到满足条件的函数解析式．【解答】解：若反比例函数y＝（k是常数，且k≠0）的图象在第二、四象限，则k＜0，故k可取﹣1，此时反比例函数解析式为y＝﹣．故答案为：y＝﹣答案不唯一．【点评】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限．17．（2021•无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为：y＝x2．【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．【专题】函数的综合应用；图形的相似；应用意识．【分析】过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，又CB＝3AC，得CE＝3CD，BE＝3AD，设AD＝m，则BE＝3m，A（﹣m，m2），B（3m，9m2），可得C（0，3m2），而P为CB的中点，故P（m，6m2），即可得y＝x2．【解答】解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，如图：∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，∴AD∥BE，∴＝＝，∵CB＝3AC，∴CE＝3CD，BE＝3AD，设AD＝m，则BE＝3m，∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上，∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2），∴OD＝m2，OE＝9m2，∴ED＝8m2，而CE＝3CD，∴CD＝2m2，OC＝3m2，∴C（0，3m2），∵P为CB的中点，∴P（m，6m2），又已知P（x，y），∴，∴y＝x2；故答案为：y＝x2．【点评】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，涉及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示C的坐标．18．（2021•泰州）在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而增大．（填“增大”或“减小”）【考点】二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】直接利用二次函数的增减性进而分析得出答案．【解答】解：∵函数y＝（x﹣1）2，∴a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大．故答案为：增大．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确把握二次函数的增减性是以对称轴为界是解题关键．19．（2021•南京）如图，正比例函数y＝kx与函数y＝的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝12．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】反比例函数及其应用；应用意识．【分析】方法一：根据反比例函数的性质可判断点A与点B关于原点对称，则S△AON＝S△OBM，由BC∥x轴，AC∥y轴可得S△AON＝S△CON，S△OBM＝S△OCM，再根据S△AON＝xA•yA＝3，即可得出三角形ABC的面积．方法二：设出A点坐标，根据题意得出B、C点的坐标，再根据面积公式刚好消掉未知数求出面积的值．【解答】解：方法一：连接OC，设AC交x轴于点N，BC交y轴于M点，∵正比例函数y＝kx与函数y＝的图象交于A，B两点，∴点A与点B关于原点对称，∴S△AON＝S△OBM，∵BC∥x轴，AC∥y轴，∴S△AON＝S△CON，S△OBM＝S△OCM，即S△ABC＝4S△AON＝4×xA•yA＝4×＝12；方法二：根据题意设A（t，），∵正比例函数y＝kx与函数y＝的图象交于A，B两点，∴B（﹣t，﹣），∵BC∥x轴，AC∥y轴，∴C（t，﹣），∴S△ABC＝BC•AC＝×[t﹣（﹣t）]×[﹣（﹣）]＝12；故答案为：12．【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求三角形面积等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．20．（2021•宿迁）如图，点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则k＝8．【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【分析】设OM的长度为a，利用反比例函数解析式表示出AM的长度，再表示出OC的长度，然后利用三角形的面积公式列式计算表示面积即可得解．【解答】解：作AM⊥OC，BN⊥OC，设OM＝a，∵点A在反比例函数y＝，∴AM＝，∵B是AC的中点，∴AB＝BC，∵AM⊥OC，BN⊥OC，∴BN∥AM，∴，，∴NM＝NC，BN＝＝，∵点B在反比例函数y＝，∴ON＝2a，又∵OM＝a，∴OM＝MN＝NC＝a，∴OC＝3a，∴S△AOC＝•OC•AM＝×3a×＝k＝12，解得k＝8；故答案为：8【点评】本题综合考查了反比例函数与三角形的面积，根据反比例函数的特点，用OM的长度表示出AM、OC的长度是解题的关键，本题设计巧妙，是不错的好题．三．解答题（共10小题）21．（2021•盐城）为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到图表：该地区每周接种疫苗人数统计表周次第1周第2周第3周第4周第5周第6周第7周第8周接种人数（万人）710121825293742根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据以上统计表中的数据描出对应的点，发现从第3周开始这些点大致分布在一条直线附近，现过其中两点（3，12）、（8，42）作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为y＝6x﹣6），那么这条直线可近似反映该地区接种人数的变化趋势．请根据以上信息，解答下列问题：（1）这八周中每周接种人数的平均数为22.5万人；该地区的总人口约为800万人；（2）若从第9周开始，每周的接种人数仍符合上述变化趋势．①估计第9周的接种人数约为48万人；②专家表示：疫苗接种率至少达60%，才能实现全民免疫．那么，从推广疫苗接种工作开始，最早到第几周，该地区可达到实现全民免疫的标准？（3）实际上，受疫苗供应等客观因素，从第9周开始接种人数将会逐周减少a（a＞0）万人，为了尽快提高接种率，一旦周接种人数低于20万人时，卫生防疫部门将会采取措施，使得之后每周的接种能力一直维持在20万人．如果a＝1.8，那么该地区的建议接种人群最早将于第几周全部完成接种？【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【分析】（1）利用平均数的计算公式计算可得结论；用前8周已接种人数的和除以22.5%，可得结论；（2）①将x＝9代入y＝6x﹣6中，计算后可得结论；②计算出实现全民免疫所需的接种人数为800×60%；设最早到第x周，该地区可达到实现全民免疫的标准，依题意列出不等式，通过计算可得结论；（3）依题意计算出第9周的接种人数，进而计算出第x周的接种人数，根据题意列出不等式，解不等式得到从第21周开始接种人数低于20万，再依据题意列出完成全部接种时，满足的不等式即可得出结论．【解答】解：（1）∵（万人），∴这八周中每周接种人数的平均数为22.5万人．∵（7+10+12+18+25+29+37+42）÷22.5%＝800（万人），∴该地区的总人口约为800万人．故答案为：22.5；800．（2）①∵当x＝9时，y＝6x﹣6＝6×9﹣6＝48，∴估计第9周的接种人数约为48万人．故答案为：48；②∵疫苗接种率至少达60%，∴实现全民免疫所需的接种人数为800×60%＝480（万人）．设最早到第x周，该地区可达到实现全民免疫的标准，则由题意可得接种的总人数为180+（6×9﹣6）+（6×10﹣6）+•••+（6x﹣6）．∴180+（6×9﹣6）+（6×10﹣6）+•••+（6x﹣6）≥480．化简得：（x+7）（x﹣8）≥100．∵当x＝13时，（13+7）（13﹣8）＝20×5＝100，∴最早到第13周，该地区可达到实现全民免疫的标准．（3）由题意得：第9周的接种人数为42﹣1.8＝40.2（万）．第10周的接种人数为42﹣1.8×2，第11周的接种人数为42﹣1.8×3，•••第，x周的接种人数为42﹣1.8×（x﹣8），设第x周接种人数y不低于20万人，即：y＝42﹣1.8（x﹣8）≥20．∴﹣1.8x+56.4≥20．解得：x≤．∴当x＝20周时，接种人数不低于20万人，当x＝21周时，低于20万人；∴从第9周开始周接种人数y＝．∴当x≥21时，总接种人数为：180+56.4﹣﹣1.8×9+56.4﹣1.8×10+•••+56.4﹣1.8×20+20（x﹣20）≥800（1﹣21%）．解得：x≥24.42．∴当x为25周时全部完成接种．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，平均数，不等式的应用．依据已知条件列出相应的不等式是解题的关键．22．（2021•南通）A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折．例如，一次购物的商品原价为500元，去A超市的购物金额为：300×0.9+（500﹣300）×0.7＝410（元）；去B超市的购物金额为：100+（500﹣100）×0.8＝420（元）．（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由．【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用．【专题】一元一次不等式(组)及应用；一次函数及其应用；应用意识．【分析】（1）根据题意，可以写出两家超市的促销方式下y关于x的函数解析式；（2）根据题意和（1）中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，当x≤300时，yA＝0.9x；当x＞300时，yA＝0.9×300+0.7（x﹣300）＝0.7x+60，故；当x＞100时，yB＝100+0.8（x﹣100）＝0.8x+20；；（2）由题意，得0.9x＞0.8x+20，解得x＞200，∴200＜x≤300时，到B超市更省钱；0.7x+60＞0.8x+20，解得x＜400，∴300＜x＜400，到B超市更省钱；0.7x+60＝0.8x+20，解得x＝400，∴当x＝400时，两家超市一样；0.7x+60＜0.8x+20，解得x＞400，∴当x＞400时，到A超市更省钱；综上所述，当200＜x＜400到B超市更省钱；当x＝400时，两家超市一样；当x＞400时，到A超市更省钱．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．23．（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝x+的图象的“等值点”．（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数y＝（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题；新定义；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）先根据“等值点”的定义求出函数y＝（x＞0）的图象上有两个“等值点”A（，），同理求出B（b，b），根据△ABC的面积为3可得×|b|×|﹣b|＝3，求解即可；（3）先求出函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），再利用翻折的性质分类讨论即可．【解答】解：（1）在y＝x+2中，令x＝x+2，得0＝2不成立，∴函数y＝x+2的图象上不存在“等值点”；在y＝x2﹣x中，令x2﹣x＝x，解得：x1＝0，x2＝2，∴函数y＝x2﹣x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（2，2）；（2）在函数y＝（x＞0）中，令x＝，解得：x＝，∴A（，），在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，解得：x＝b，∴B（b，b），∵BC⊥x轴，∴C（b，0），∴BC＝|b|，∵△ABC的面积为3，∴×|b|×|﹣b|＝3，当b＜0时，b2﹣2﹣24＝0，解得b＝﹣2，当0≤b＜2时，b2﹣2+24＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×24＝﹣84＜0，∴方程b2﹣2+24＝0没有实数根，当b≥2时，b2﹣2﹣24＝0，解得：b＝4，综上所述，b的值为﹣2或4；（3）令x＝x2﹣2，解得：x1＝﹣1，x2＝2，∴函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），①当m＜﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上必有2个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），W1：y＝x2﹣2（x≥m），W2：y＝（x﹣2m）2﹣2（x＜m），令x＝（x﹣2m）2﹣2，整理得：x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，∵W2的图象上不存在“等值点”，∴Δ＜0，∴（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＜0，∴m＜﹣，②当m＝﹣1时，有3个“等值点”（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（2，2），③当﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，④当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”（2，2），⑤当m＞2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m＜﹣或﹣1＜m＜2．【点评】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“等值点”综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题．24．（2021•盐城）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度α的大小来解决相关问题．【初步感知】如图1，设A（1，1），α＝90°，点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P1（﹣1，1）．（1）点P1旋转后，得到的点P1′的坐标为（1，3）；（2）若点P′的运动轨迹经过点P2′（2，1），求原一次函数的表达式．【深入感悟】如图2，设A（0，0），α＝45°，点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上的动点，过点P′作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M，求△OMP′的面积．【灵活运用】如图3，设A（1，﹣），α＝60°，点P是二次函数y＝x2+2x+7图象上的动点，已知点B（2，0）、C（3，0），试探究△BCP′的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】【初步感知】（1）根据旋转的旋转即可得出答案；（2）运用待定系数法即可求出答案；【深入感悟】设双曲线与二、四象限平分线交于N点，通过联立方程组求出点N的坐标，再分两种情况：①当x≤﹣1时，作PQ⊥x轴于Q，证明△PQA≌△P′MA（AAS），再运用三角形面积公式即可求出答案；②当﹣1＜x＜0时，作PH⊥y轴于点H，同理可得到答案；【灵活运用】连接AB，AC，将B，C绕点A逆时针旋转60°得B′，C′，作AH⊥x轴于点H，证明△C′AO≌△CAB（SAS），利用待定系数法求出OC′的函数表达式为：y＝x，设过P且与B′C′平行的直线l解析式为y＝x+b，由于S△BCP′＝S△B′C′P，当直线l与抛物线相切时取最小值，再利用一元二次方程根的判别式求解即可．【解答】解：【初步感知】（1）如图1，∵P1（﹣1，1），A（1，1），∴P1A∥x轴，P1A＝2，由旋转可得：P1′A∥y轴，P1′A＝2，∴P1′（1，3）；故答案为：（1，3）；（2）∵P2′（2，1），由题意得P2（1，2），∵P1（﹣1，1），P2（1，2）在原一次函数图象上，∴设原一次函数解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴原一次函数解析式为y＝x+；【深入感悟】设双曲线与二、四象限平分线交于N点，则：，解得：，∴N（﹣1，1），①当x≤﹣1时，作PQ⊥x轴于Q，∵∠QAM＝∠POP′＝45°，∴∠PAQ＝∠P′AN，∵PM⊥AM，∴∠P′MA＝∠PQA＝90°，∴在△PQA和△P′MA中，，∴△PQA≌△P′MA（AAS），∴S△P′MA＝S△PQA＝＝，即S△OMP′＝；②当﹣1＜x＜0时，作PH⊥y轴于点H，∵∠POP′＝NOY＝45°，∴∠PON＝∠P′OY，∴∠MP′O＝90°﹣∠MOY﹣∠P′OY＝45°﹣∠P′OY，∵∠POH＝∠POP′﹣∠P′OY＝45°﹣∠P′OY，∴∠POH＝∠MP′O，在△POH和△OP′M中，，∴△POH≌△OP′M（AAS），∴S△P′MO＝S△PHO＝＝，综上所述，△OMP′的面积为；【灵活运用】如图4，连接AB，AC，将B，C绕点A逆时针旋转60°得B′，C′，作AH⊥x轴于点H，∵A（1，﹣），B（2，0），C（3，0），∴OH＝BH＝1，BC＝1，∴OA＝AB＝OB＝2，∴△OAB为等边三角形，此时B′与O重合，即B′（0，0），连接C′O，∵∠CAC′＝∠BAB′＝60°，∴∠CAB＝∠C′AB′，在△C′AO和△CAB中，，∴△C′AO≌△CAB（SAS），∴C′O＝CB＝1，∠C′OA＝∠CBA＝120°，∴作C′G⊥y轴于G，在Rt△C′GO中，∠C′OG＝90°﹣∠C′B′C＝30°，∴C′G＝OC′＝，∴OG＝，∴C′（，），此时OC′的函数表达式为：y＝x，设过P且与B′C′平行的直线l解析式为y＝x+b，∵S△BCP′＝S△B′C′P，∴当直线l与抛物线相切时取最小值，则，即x+b＝x2+2x+7，∴x2+x+7﹣b＝0，当△＝0时，得b＝，∴y＝x+，设l与y轴交于点T，∵S△B′C′T＝S△B′C′P，∴S△B′C′P＝×B′T×C′G＝××＝．【点评】本题考查了待定系数法，一次函数图象和性质，反比例函数图像，二次函数图象和性质，全等三角形判定和性质，等边三角形性质等知识，是中考数学压轴题，综合性强，难度大，熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，全等三角形判定和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．25．（2021•南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．（1）求b的值；（2）当c＞﹣1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是1．（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当﹣1＜m＜3时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】（1）把已知点代入解析式，两式联立即可求出b的值；（2）把a用c表示，然后写出顶点的纵坐标，根据c的取值即可求出最小值；（3）根据题意m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，将m用a表示出来，根据m的取值即可求出a的取值．【解答】解：（1）把（﹣2，1），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c中，得：，两式相减得﹣4＝4b，∴b＝﹣1；（2）把b＝﹣1代入①得：1＝4a+2+c，∴a＝，∴顶点的纵坐标，∵c＞﹣1，∴c+1＞0，下面证明对于任意的正数，a，b，都有a+b≥，∵，∴a+b，当a＝b时取等号，∴＝1，∴该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是1．（3）由题意得：am2﹣m+c＝0，且c＝﹣1﹣4a，∴am2﹣m﹣1﹣4a＝0，△＝1﹣4a（﹣1﹣4a）＝1+4a+16a2，若﹣1＜m＜2，此时有a＜0，且，解得a＜0，∴a＜0，若2＜m＜3，此时有a＞0，且，解得a，综上a＜0或．【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键在于理解二次项系数a对函数图象的影响，包括开口方向和开口大小，都要熟记于心，不然第三问很难做出来．26．（2021•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）b＝﹣2，c＝﹣3；（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数的应用；几何直观．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出△ABC的面积，设点D（m，m2﹣2m﹣3），再根据S△ABD＝2S△ABC，得到方程求出m值，即可求出点D的坐标；（3）分点P在点A左侧和点P在点A右侧，结合平行线之间的距离，分别求解．【解答】解：（1）∵点A和点B在二次函数y＝x2+bx+c图象上，则，解得：，故答案为：﹣2，﹣3；（2）连接BC，由题意可得：A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3，∴S△ABC＝＝6，∵S△ABD＝2S△ABC，设点D（m，m2﹣2m﹣3），∴|yD|＝2×6，即×4×|m2﹣2m﹣3|＝2×6，解得：m＝或，代入y＝x2﹣2x﹣3，可得：y值都为6，∴D（，6）或（，6）；（3）设P（n，n2﹣2n﹣3），∵点P在抛物线位于x轴上方的部分，∴n＜﹣1或n＞3，当点P在点A左侧时，即n＜﹣1，可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，∴S△APC＜S△APB，不成立；当点P在点B右侧时，即n＞3，∵△APC和△APB都以AP为底，若要面积相等，则点B和点C到AP的距离相等，即BC∥AP，设直线BC的解析式为y＝kx+p，则，解得：，则设直线AP的解析式为y＝x+q，将点A（﹣1，0）代入，则﹣1+q＝0，解得：q＝1，则直线AP的解析式为y＝x+1，将P（n，n2﹣2n﹣3）代入，即n2﹣2n﹣3＝n+1，解得：n＝4或n＝﹣1（舍），n2﹣2n﹣3＝5，∴点P的坐标为（4，5）．【点评】本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行线之间的距离，一次函数，解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离．27．（2021•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．（1）求二次函数的表达式；（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】函数的综合应用；平移、旋转与对称；图形的相似；应用意识．【分析】（1）由y＝﹣x+3得B（3，0），C（0，3），代入y＝ax2+2x+c即得二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）由y＝﹣x2+2x+3得A（﹣1，0），OB＝OC，AB＝4，BC＝3，故∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，B和F为对应点，设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），EF＝﹣m2+3m，CF＝m，①△ABC∽△CFE时，＝，可得EF＝，②△ABC∽△EFC时，＝，可得EF＝；（3）连接NE，由点N、F关于直线EC对称，可得CF＝EF＝CN，故﹣m2+3m＝m，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣，即得CN＝CF＝m＝3﹣2，N（0，3+1）．【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，∴B（3，0），C（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：，解得，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图：在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC，AB＝4，BC＝3，∴∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，∴以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，B和F为对应点，设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），∴EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，①△ABC∽△CFE时，＝，∴＝，解得m＝或m＝0（舍去），∴EF＝，②△ABC∽△EFC时，＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴EF＝，综上所述，EF＝或．（3）连接NE，如图：∵点N、F关于直线EC对称，∴∠NCE＝∠FCE，CF＝CN，∵EF∥y轴，∴∠NCE＝∠CEF，∴∠FCE＝∠CEF，∴CF＝EF＝CN，由（2）知：设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，∴﹣m2+3m＝m，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣，∴CN＝CF＝m＝3﹣2，∴N（0，3+1）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及解析式、三角形相似的判定与性质、对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的线段长度，根据已知列方程求解．28．（2021•常州）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】（1）如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE．已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．①分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；②比较大小：CE＞CD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．【应用】（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，横坐标分别为m、n．设p＝m+n，q＝，记l＝pq．①当m＝1，n＝2时，l＝；当m＝3，n＝3时，l＝1；②通过归纳猜想，可得l的最小值是1．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．【考点】反比例函数综合题．【专题】代数几何综合题；推理能力．【分析】（1）①利用相似三角形的性质求出CD，利用直角三角形斜边中线的性质求出EC．②根据垂线段最短，可得结论．（2）①根据m，n的值代入计算即可．②如图2中，过点M作MA⊥x轴于A，ME⊥y轴于E，过点N作NB⊥x轴于B，NF⊥y轴于F，连接MN，取MN的中点J，过点J作JG⊥y轴于G，JC⊥x轴于C，则J（，），根据反比例函数k的几何意义，求解即可．【解答】解：（1）①如图1中，∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠A＝90°，∠A+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ADC∽△CDB，∴＝，∴CD2＝AD•DB，∵AD＝a，DB＝b，CD＞0，∴CD＝，∵∠ACB＝90°，AE＝EB，∴EC＝AB＝（a+b），②∵CD⊥AB，∴根据垂线段最短可知，CD＜CE，即（a+b）＞，∴a+b＞2，故答案为：＞．（2）①当m＝1，n＝2时，l＝；当m＝3，n＝3时，l＝1，故答案为：，1．②猜想：l的最小值为1．故答案为：1．理由：如图2中，过点M作MA⊥x轴于A，ME⊥y轴于E，过点N作NB⊥x轴于B，NF⊥y轴于F，连接MN，取MN的中点J，过点J作JG⊥y轴于G，JC⊥x轴于C，则J（，），∵当m≠n时，点J在反比例函数图象的上方，∴矩形JCOG的面积＞1，当m＝n时，点J落在反比例函数的图象上，矩形JCOG的面积＝1，∴矩形JCOG的面积≥1，∴•≥1，即l≥1