高中数学初高中衔接读本专题3.2二次函数的最值问题高效演练学案

第2

二函的值二次函数

y(

是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，也是高中学习的重要基础．当自变量x在某个范围内取值时，求函数的大（小）值，这类问题称最值问题问题．最值问题在实际生活中也有广阔的应用．【识理1.二次函数解析式的三种形式：一般式：＝ax＋bx(≠0).顶点式：＝(－＋a≠0)，顶点坐标(，).零点式：＝(－)(－)(a≠0)，，为)的零点.2.二次函数的图象和性质解析式图象对称性3.二次函数的最值

y＝＋bxab函数的图象关于＝－对2a

y＝ax＋＋ca<0)（.当a＞时函数＝＋＋图开口向上；顶点坐标

(

42,)4

，对称轴为直线＝－bbbb；当x＜时y随x的大而减小；当x＞时随x的大而增大；当x时函2aa2数取最小值＝

a

2

．（.当a＜时函数＝＋＋图开口向下；顶点坐标

(

42,)4

，对称轴为直线＝－bbbb；当x＜时y随x的大而增大；当x＞时随x的大而减小；当x时函2aa2数取最大值＝

a

2

．【效练

221.二次函数的图象过点(0，，称轴为＝，最小值为－，则它的解析式是＝________.【解析】设＝(－2)－＞0)，1当x＝时，a－＝，＝，211所以y＝(－2)－＝x22

－＋1.1【答案】x－＋122.已知函数y=＋ax＋－(x∈[0，1])有最大2则a＝________.【解析】函数f(＝－x＋ax＋－＝－－a)＋

－＋，其图象的对称轴方程为＝.当时，(x)＝(0)1－a，所以1－＝，所以＝－1.1±5当0≤a≤1时，f()＝f(a)＝a－＋，所以a－＋12，所以－－0，所以＝(去．当时，f(x)＝(1)，所以a＝综上可知，＝1或a＝【答案】－或23.已知函数y=x﹣2x+3，下列情况下二次函数的最值（）2≤x≤3；（）≤x2．【分析根据二次函数y=x﹣的图象和性质，分析当≤x≤3时y递增，进而可得y的最大值、最小值；（根据二次函数﹣2x+3的象和性质分析-≤x时函数的单调性进而可得y的大值、最小值．

【点评】熟练掌握二次函数的图象和性质是求取最值的关键。4.二次函数y=ax+bx+c（）a=1，b=﹣，﹣，此抛物线与坐标轴的交点坐标．（）a=1，b=﹣，c=1﹣，当﹣＜x＜，抛物线与轴有个公共点，求m的值范围．（）a=1，b=﹣，c=3，﹣＜＜，二次函数的值恒大于1，的取范围．【分析）将a=1，﹣，c=﹣2入原式，得到二次函数的解析式，令y=0即可求出函数与的交点；（）a=1，b=﹣，c=1﹣代解析式，由于抛物线开口向上，分类讨论列不等式组解答：①，时，y＞；x=﹣，＞；②x=1时，y＜；x=﹣时，＞；③x=1时，y＞；x=﹣时，＜．（）a=1，﹣，c=3代入析式，eq\o\ac(△,令)0x=1时，＞；x=﹣1时y＞，不等式组解答即可．（）a=1，b=﹣，c=1﹣代解析式得，y=x﹣4mx+1﹣，∵当﹣＜＜时，抛物线与x轴有个公共点，∴可得以下几种情况：①，解得m=．②，得m＞．

33③，得m＜1．∴综上，＞，＜1或m=

时当﹣＜＜时抛物线与x有一个公共点．（）a=1，b=﹣，代入解析式得，y=x﹣，∵当﹣＜＜时，二次函数的恒大于，∴，解得﹣＜＜或﹣＜＜．【点评】此题考查了抛物线与x轴交点坐标及函数图象与不等式组的关系，根据题意转化为相应的不等式组是解题的关键．5.已知二次函数

ybx(a

，其两根分别为0,5，且当

4

时，最大值为12.(1)求函数的解析式；(2)当

t

时，求函数的最小值．【解析】(1)因为是二次函数，两根分别为0,5,以可设y＝(－5)(＞，所以当

x

时的大值是－1)＝.由已知得6＝12，所以a＝2，所以y＝x－5)＝x－.5(2)由1)知y＝2－＝

2

255－，图象是开口向上的抛物线，对称轴为＝.2253①当t＋1≤，即≤时在22

tx

上单调递减，所以h＝2(＋1)－10(＋＝2

－t－8；5②当t≥时y在2

tx

上单调递增，所以＝－t；535525③当t＜＜＋，即＜＜时，在＝处取最小值，所以最小值为－.222228，≤，22535综上所述，＝－，＜＜，222，5.26.已知ax2(0≤≤1)．(1)求函数的最小值；

aaaaaaaa(2)若≥1成立，求的值范围；【解析】(1)①当a＝时，＝2在0，1]上递减，所以＝2.1②当a时，＝－的象的开口方向向上，且对称轴为＝a11当0<≤1，即a时，x)＝－的图象的对称轴[，1]内，所以y在

上递减，1在1

121上递增．所以y＝－＝－.1当>1，即a<1时，＝a

－的象的对称轴[01]的侧，所以y在0，1]上递减所以y＝－(2)只需y≥－1，即可．由1)知当a<1时a－2≥1，所以a舍去)；1当a≥1时，－≥－1恒立，所以≥1.a故a的取范围为≥1.．7.已知：关于x的数y=（k1）﹣2kx+k+2的图象与x有交点。（）k的值范围；（）x，是函图象与x两个交点的横坐标，且满足k﹣）+2kx+k+2=4xx．①求k的值②当k≤k+2时请合函数象确定最大值和最大值。【分析）分两种情况讨论，k=1，可求出函数为一次函数，必与x轴一交点；当k≠1，函数为二次函数，若与x轴交点，eq\o\ac(△,则)≥0（）根据（k﹣）

+2kx+k+2=4xx及与系数的关，建立关于k的方，求出的。②充分利用图象，直接得出y的最大值和最值。【解析）当时函数为次函数y=2x+3其图象与x轴一个交点。

当k≠1时，数为二次函数，图象与轴有个或两个交点，令得（k﹣）﹣2kx+k+2=0．△=（﹣）﹣（﹣），解得≤2即≤2≠1。综上所述，的值范围是k。（）∵x≠x，由（）k＜≠1由题意得（﹣）+（k+2）*将（*）代入（﹣）2+2kx+k+2=4xx中：2k（x+x）=4xx。∵+x=

k+2，，kk∴2k•

k+2=4•，kk解得：=﹣1，=2（不合题意，舍去所求k值﹣。②如图，∵k=﹣1，﹣2x2（﹣）+，且﹣≤x≤1，由图象知：当﹣时，=3；当x=∴y的最大值为，小值为。

时，y=。【点评】抛物线与x轴交点，次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。8.如，已知抛物线﹣+2x经原点，且与直线﹣交B，C两点.(1)求抛物线的顶点A的标及点BC坐标；(2)求证：∠ABC=90°；(3)在直线BC上的抛物线上是否存在点使△PBC的面最大？若存在求点P的标不存在，请说明理由；

【答案】(1)A(1，，B(2，，C(﹣，﹣(2)解析（），【分析抛线解析式化顶点式可求得A点坐标联抛物线与直线的解析式可求得BC的标；（）A、、的标可求得AB、BC

和AC

，勾股定理的逆定理可判定△是直角三角形；（）点P作PG∥y轴，交直线BC于G，设出P点坐，则可表示出G点标，从而可表示出PG的，则可表示出△的积，利用二次函数的性质可求得其最大值时P点标【解析）∵y=+2x=-（）+1∴抛物线顶点坐标A（，联立抛物线与直线解析式可得∴B（2，0（，-3

，解得

或，（）图，过点P作PG∥y轴交直线于点，设P（，-t+2tG（，t-2∵点P在直BC上方

∴PG=-t+2t-（t-2）+t+2=-t-）

+，∴S=PG[2-（-1）]=PG=-t-）+，∵＜0，∴当