矩阵论范数理论

第二章范数理论在第一章我们曾利用内积定义了向量的长度，他是几何向量长度概念的一种推广。虽然当n>3时对定义的向量长度无法作出具体的几何解释，但这样规定的长度具有几何向量长度的基本性质，即非负性，齐次性和三角不等式。本章我们采用公理化的方法，八项量长度的概念推广到更一般的情形，主要讨论向量范数、矩阵范数及其有关的应用。§2.1向量范数定义2.1若对任意xeCn都有一个实数||圳与之对应，且满足：（1） 非负性：当x?0时，||x||0；当x=0,||x|=0；（2） 齐次性：对任何i?c，e『|倒；（3） 三角不等式：对任意x,yCn,都有||x+y||?|M|圳，则称||x||为Cn上的向量乂的范数，简称向量范数。定义中并未给出向量范数的计算方法，只是规定了向量范数应满足的三条公理，称之为向量范数三公理。从范数定义可得范数的下列基本性质。定理2.1对任意x,yeCn,有⑴M=IWI；⑵Il|x||-|M|?Iky||.只证（2）。根据三角不等式，有IM="I+||yIM=||y|=||y-M+M||?||y域+||M|综合二式即得IIIMI-bill?假yll证毕例2.1设，*,%,...?如.规定眺'”|气F=第一章已表明IIX是向量x的一种范数，并称之为向量2-范数，该范数具2有如下重要的性质，对任意xICn和任意n阶酉矩阵U，有||Ux||=^(Ux)H(Ux)=^xhUhUx=4xHM=IMI.称之为向量2-范数的酉不变性。例2.2设x=(x1，x2，...xn)「Cn.规定TOC\o"1-5"\h\z||x|=四|xI11 1 kk=1则|x||是向量x的一种范数，称为向量1-范数。证 当x?0时，显然||x|| a\x^|>0；当x=0时，x的每一分量都是0，故||x||=0.k=1对任意2IC，有Il,x||=曲xk|=『InI仆MI|x||k=1 k=1又对任意y*，七，…七）『Cn.有

||x+y||=ilxkk=1nI(x

Ikk||x+y||=ilxkk=1nI(x

Ikk=1故||x||是Cn上的一种向量范数。例2.3设x=(x,x，…x)TCn.规定则||x||是向量x的一种范数，称为向量¥+hk?h)=

kk=1n+k=1x=(x,x，…x)TCn.I|x|1=范数。证当x】对任意槌Cmaxxkk0时，有||x||

有11/x||任|¥=maxx,|>0;当x=0时，现然有||x|_0.kk=maxIx|=/|max意意、 y=(h,h，…h)tCn.1 2n…kJmaxlhkl=IM+bllk k k||x||是Cn上的一种向量范数。为给出其他的向量范数，先证明如下结论.||x+y=maxk"J?max

k引理2.1对任意实数a吵0和80，都有ab?竺竺，其中p>1，q>1，且L+上=1pq证若ab=0，显然结论成立，下而就只就a>0和b>0来讨论，考虑函数j(t)=生+— (0<t<+)pq因为j'(t)=tp-1-t-(q-1)=^P^tq+1可见，当0<t<1时，j'((t)0;而当1?t+时，j'((t)30，故总有j(t)?j⑴1 (0<t<+)

令t=a1b-t1 111? (aqb-p)p定理2.21（令t=a1b-t1 111? (aqb-p)p定理2.21（a：b:）-q=上竺+如）故结论成立。q abpq对任意工卜,hk?C（k1,2,…,n），有n q1(|hj)qk=1其中p>1，q>1，且1+1=1.pq邋x|||h||£

kkk=1(2.1)证 当乂火=hk=0（k=1,2,…,n）时，结论成立。下设&不全为0，T也不全为0.由引理2.1得寻叩hkl k=1 （邋Xpkk=11+1=1.故结论成立。pq称式（2.1）为Holder不等式。n)p(k=1%kh-k-hk=1Cauchy-Schwarz不等式(遍|x牌|)'kk'k=1例2.4设x=(气，x2，...xn)rCn.，规定k=1Xkk=1XP—k p)Xkk=1h knq(k=1p=q=2)(〃|hk|2)k=1时，即得(1.5)七|pk=1(1?p+七|pk=1(1?p+)p则||x||是向量x的一种范数，称为向量p-范数。p证 易知非负性和齐次性成立，当p=1时，例2.2中已证明三角不等式成立。下设p>1，则对y=hh厂h）TCn.，利用 定 理 2.2 得

(邋X|p

kk=1譬尤(邋X|p

kk=1譬尤+hpk=inxkk=1hp-1)p(nx+h|q(p-1))q+(通h|=1 =11lp)p+n|h|X+hp-k=11(''|x+hq(p-1))qk=1=(lxlp+Mp)llx+y\q故x+Ml广||x+yp:?||x||p眺对于向量p-范数，显然p=1和p=2时，分别得到向量1-范数和2-范数，并且¥-范数也是p? 时的特殊情形。定理2.3设x=(气，x2，...x/Cn.，则limW=llxllp? p¥证当x=0时，结论成立。下设x】0，又设|x|=max|xk|x|=max|xk|=||x||¥则有||x|,=桫k=1HI?xJPnpllxll-1lp-1lp=故ip?血||x||=|x|[in证毕下面我们给出一种从已知的某种向量范数构造的向量范数的方法。定理2.4设Ai6n，|甘|是Cm上的一种向量范数，对任意xICn，规定||x||广||Ax||则|虬是Cn中的向量范数。证当x=0时，Ax=0，从而|x||=n^xi=0；当x0时，由rankA=n知Ax10，于是||x||=网>0.对任意3C，有『x||=||A(/x)||=l|||Ax||=l|||x||又对任意yICn，有

|x+y||=||A3+y)||?||心|||Ay||=间+||y||故11圳是Cn中的向量范b a a a b b b数。由于满足Aif〃的矩阵有无穷多个，这样由一个已知的n向量范数(不一定是p-范数)就可构造出无穷多个新的向量范数。如取A=diag(1,2,…,n)则对于任意x=(x，”Cn.由Cn上的向=且nkxkk=1量的1-范数和2-范数可得|=且nkxkk=1||x||= ||Ax|| =b 2||x||= ||Ax|| =b 2这是两种新的向量范数。规定例2.5设A是n阶Hermite正定矩阵，对任意xiCn，规定||x||=忐HAX则||x||是一种向量范数，称为加权范数或椭圆范数。证有定理1.24知，存在矩阵Pe5使得A=PHP，于n是|x||=<xhPhPx=、：(Px)h(Px)=||Px||由定理2.4知|x||是Cn上的一种向量范数。虽然在Cn中可以定义各种不同的向量范数，且同一向量按不同范数算出的值一般不等，如对于向量"(“…』)TCn.有|同广n』e||2=和J国^=但是，不同的范数之间存在着一种重要的关系，为了描述这种关系，先给出如下的定义。定义2.2设IHI和IH是Cn上的两种向量范数，如果存

在正数a和阡使对任意xeCn都有。映#|同砰乩则称向量范数I「l与|杆b等价。定理2.5Cn上的所有向量范数等价。..,g）是连续函数，因为对任证设x=（x1，yx）TCn.m是Cn..,g）是连续函数，因为对任j(x,x，…,x)=||x||首先证明甲(g,&，-1 2意意、y=(h,h，…h)t(x,x,•••x)-j(h,h,•••h1 2 n 1 2 n||xll-||j||I?||xMlhJHekll而ieII(k=1，2,…,n)都是确定的实数，故当h?x(k1,2,...,n)ka kk是连续函数。考虑集合时，有是连续函数。考虑集合j(h,h，…,h)®j(x,x，…,x)即平(g,g，…,g)1 2 n 1 2n 1 2nS={x|||x|=1,xCn}这是Cn中的一个有界闭集。根据连续的性质知,平（g「g2,...,g）在S上达到最大值p和最小值a，且b?a0.当里*，且有a?j（土，二，…二） 三=虬b即kll2 kll2IH2 \\42 同，a ixLaIaIE]#11xll们圳当x=0时，上式也成立，这表明任意向量范数同与向量2-范数等价。又若国是Cn上的向量范数，则存在正实数a，p，使得故勺x||#||x|| b||x||1 1 bbaab即 |日与|q 等 价证毕

对于c〃上向量的1一，2—，¥一范数，易知下面二不等式成立|叶刑呷|时珥州2^\\x\\向量范数及其等价性，使得在研究向量序列的收敛问题时表现出简洁性和明显的一致性。见如下的定义和定理。定义2.3给定c中的向量序列(x(k)｝，其中x(k)=(x(k),x(k),•••,x(k))T (k=0,1,2,…)limx(k)=x. (j=1,2，•…,n)则称向量序列(x(k)｝收敛于x=(气，x2，...Xn)T.简称(x(k)｝收敛，记为limx(k)=x或xkx(k+)不收敛的向量序列称为是发散k?的。定理2.6 cn中向量序列(x(k)｝收敛于x的充分必要条件则有是，对于Cn上的任意一种向量范数||』，都有lim||x(k)-x||=0则有设x(k)=(x(k),x(k)，•…，x(k))t,x=(x,x，…，x)t，x(k)-x.maxx(k)jjx=||x(x(k)-x.maxx(k)jjlimx(k)=x(j=1,2,…,n)的充分必要条件是lim||x(k)-x||=0。k?j j k?对于Cn上的任意一种向量范数，有等价性知a||x(k)a||x(k)-x]?||x(k) x||?bx(k)必要条件是lim||x(k)-xi=0。x|| 从而lim|x(k)-x||=0的充分证毕k? ¥§2.2矩阵范数§2.2矩阵范数由于一个m，n矩阵可以看做mn维的向量，因此可以按定义向量范数的方法来定义矩阵范数。但是，矩阵之间还有乘法运算，在研究矩阵范数时应予以考虑。首先研究方阵范数。一、方阵的范数定义2.4若对任意AMnn都有一个实数同与之对应，且满足：（1）非负性：当A】O时，||A||>0；当A=O时，IAII=0；（2）齐次性：对任何i?C,『A||l|||A||;（3）三角不等式：对任意A,BMnn，都有||A+B||?A||B||；（4）相容性：对任意A,BICn-n，都有||AB|£IAIIIBII，则称A为Cnn上矩阵A的范数，简称矩阵范数。由于定义中前三条公理与向量范数一致，因此矩阵范数与向量范数所具有的性质类似，如I-A||=||A||,|||A||-||B|||?\\AB\\,以及Cnn上的任意两个矩阵范数等价，又由于矩阵范数定义中相容性公理的出现，使得由向量范数的表达式推广到矩阵情形时，有时需做一些修改。例2.6设A3） Cn,规定||A||=巡n|^J则A是Cnn上的一1i=1j=1 ^1种矩阵范数，称为矩阵的m一范数。证只证相容性，设B=（b），则ijnn

i=1j=1:bikkji=1j=1:bikkjk=1#n 邋("a.kibk|)i=1j=1k=1邋n[(^S^a^|)(i=1j=1 k=1 k=1b)]kj=(iin|aikl)(邋n|bk.|)=||A||I网Ii=1k=1 j=1k=1 m"故"k是Cn上的一种矩阵范数。例2.7设A=（a「 Cnn，规定 ||A|| =］邋 n |aj = ^tr（AhA）则||A|| 是'i=1j=1Cnn上的一种矩阵范数，称为矩阵的Frobenius范数，简称F-范数。证只证相容性，设B=（b），由Cauchy-Schwarz不等式ijnn（ 1.5 ） ， 得i=1j=1\kbi=1j=1\kbkjk=1i=1j=1 k=1aikb)2ilna|2lilnb2=||A||列故||A||是Cnn上的一种矩阵范iJV kk11''f ''f 11"fi=1j=1 i=1j=1数。F一范数有下列良好的性质。定理2.7设aisn,则对任意n阶酉矩阵U和V,恒有倒=||AV||=||UAV||=||A||称之为F-范数的酉不变性。证利用定理1.6,得UA=V‘tr[(UA)H(UA)]=<tr(AhUhUA=£tr(AhA)=||A||IAW=^trVHAHAV]=.：tr(AhAVVh)=0r(AhA)=||A||F F最后||uav||=||av||=A证毕需要指出的是，对于A=(a) Cnn,如果将向量的¥—范数ijnn直接推广到A,即||A||=maxa|，则矩阵范数定义中前三条公i,jl]理成立，但相容性公理却不成立。如取A=B=骣*，则I|A|=IM=1，而ab=骣3于是||AB£IAIIBII。因此要做适当的修改。例2.8设A=(o) Cnn，规定||A||=nmaxa|则||a||是Cn上的矩ijnn m^ ij可' 四阵范数，称为矩阵的m一范数。证 只证相容性。设B=(b) Cnn,则ijnn镣一nmaxi,jlaJbkjk=1IAB=nmaxi,jlaJbkjk=1#nmax|a|•.ikI,jmax宓lbIIIAIInmaxbI=IIA#nmax|a|•.ikI,j1，jk=1 " l，j故A是cnn上的一种矩阵范数。m^二、与向量范数的相容性由于矩阵与向量在实际运算中常同时出现，所以矩阵范数和向量范数也会同时出现，因此需要建立矩阵范数与向量范数的联系。定义2.5 设叫是Cnn上的矩阵范数，忡是Cn上的向量范数，如果对任意AiCnn和XICn都有|网|£M| 则称矩阵范数同与向量范数11』是相容的。例2.9证明Cnn的矩阵*一范数和F—范数分别与Cn上的向量1—范数和2—范数相容。证设A=(a)Cnn,x=(x,X，…,X)t Cn，则ijnn 1 2n||Ax||=邋nax 邋(naX)11 "1 ikk ikk

?邋［(M |a |)(邋K)］(”遢】|)( n |x )= ||A|| ||x||ik' '■ 1ik k11 11利用Cauchy-Schwarz不等式，得miL邋n气已'i=11kmiL邋n气已'i=11k=1?:邋［(naiki=1 k=12)(nxkk=1i=1k=1(ax)2ik2)］的IMF2例2.10证明Cnn上的矩阵的气一范数分别与Cn上的向量1―、2—、¥一范数相容。证只证矩阵的m—范数与向量¥—范数相容，其余¥证明留给读者。设A=(a)Cnn,x= (x ,x，…,x)tCn，贝'Jijnn 1 2n|Ax||=max=A』x|||Ax||=max=A』x||、圈邋axikkk=1#maxnklk. ikkik=1nmax\ai,k kmax|xk上例表明，与一个矩阵范数相容的向量范数可能不唯一，那么，对于Cnn上任意给定的一种矩阵范数，是否一定存在与之相容的向量范数呢?对此有下面的结论。定理2.8设同是Cnn上的一种矩阵范数，则称Cn上必存在与它相容的向量范数。证取定0刮aCn，对任意xICn，规定||x||广"||则当x，0时，xaH.。，于是||x||广||xaH||>0；而当x=0时，xaH=0，所以||x|=|xaH|=。.对任意XcC，有阻x||=(Xx)aH -|X||xa^=|X||x||又对任意 x,JcCn ,有

I"y||T|（"y加||』切d|+||yaH\=|lxll+||y||故IH|是c上的一种向量范数，并且对任意腥5,xeCn,有||Ax||="奶|V||A||||xa^=||A||||x||即矩阵范数州与向量范数11.||相容。证毕。三、从属范数我们知道，单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于1在数的乘法中的作用，但对于矩阵的*一，F一,和皿一范数，有此||疽n,|叩广血,||/孔=n这对于一些理论分析带来不便，'"1 8那么能否构造出使||/||三1的矩阵范数呢？下面给出的就是这样一类矩阵范数。定理2.9已知Cn上的向量范数||・||，对任意Ae5规定V||A||=maxx#0 x||V^A^^^（=maxiAxii）则||A||=maxx#0 x||V的矩阵范数，且||/||三1,称之为由向量范数||・||导出的矩阵范数或从属于向量范数||・||的矩阵范数，简称导出范数或从属V范数。证显然11/三1，又由||证显然11/三1，又由||A||=maxAL2顷得n x丰0 xVl|x||VI例＜|A||风从而州与向量范数州相容。当VA二。时，A=。；而当A。。时，存在x（0）eCn使Ax（0）。0从Ax(0)间槌井>0x(0)||V任意xeC，有||XA||=max"L<|"ax悍二网|A||硕 ini 硕件V V又对任意 A,Be6〃 ，有(A+(A+B)nil||A+B|=maxIWIVl<max^l功Bn||"罗可V V=1All+1BII|A||||B||=max^^以<max均羿=||A||||B||故||・||是s〃上的矩阵范硕||n||y||n||V V数。证毕矩阵的从属范数的计算归结为求函数的最大值，从分析的角度来看，连续函数在有界闭集上可以达到最大值，但计算却不是很容易，下面给出由向量1一、2—、¥一范数导出的矩阵范数的具体计算公式。定理2.10设a=(a) c〃〃，记由向量1一、2—、¥一范ij〃〃数导出的矩阵范数分别为||A||』A||,||A||，则有(1)|A||=max况a;1j"j⑵||A||=气,%为AHA的最大特征值；(3)|A||=max^a.8 'j=1通常|A||，a』A||依次称为矩阵的1一范数、2—范数、¥一范数，或称为列和范数、谱范数和行和范数。证⑴对n=(x,n,,n)t0，有

网=EEi=1aij—jj=1&w£(Ea,.&.)

网=EEi=1aij—jj=1&w£(Ea,.&.)

i=1j=1

孚|&j=E低|Ea]V(maxj=iJi=1〃 ji=1 j=i)=(max£|a|)||x||J,=1J即网IWI1<maxjEai=1设E|a.J=maxE|a..|取

i=1lk ji=1l]则I阿11=1且有巴x(0)=(&(0),&(0),・・・E",其中&(0)=以’J=:一 j10,j丰k=EE1,, ,・ i=11故||a||=max愣=maxE|1硕圳]ji=1X(0)a&(0)j=1=Ei=1\a|=maxE|lkJaiji=1(2)由定理1.24知，如人的特征值为非负实数，设如人的n个特征值为"人>...q>0由于am是Hermite矩阵，故1 2 n存在n阶酉矩阵U，使UhAhAU=diag(人,人，…,人)记U=(u,u，…,u)其中u(j=1,2,.n)是1 2 n 1 2 n jU的第j列向量，对任意0「xeCn,有x=Eku可求得j=1XHXHX=,':]ElkJ'J=1Ax=wAx=wEX=(Eku)h(E"u)=2 \rJ] ]]JYJ=1 J=1/!I/!IXI|即有计£矿取X(1)=u「则有IIAx(1)IIAx(1)IFT2Au=JuhAhAu=iia =2iia =2maxx10(4)对X=(x,X,...,X)r 0，有Ax3=max£a&Ax3=max£a&ijjj=1<maxi习aj=1<(maxiEajj=1=max(»a|)||x||1 j=1 3于是||A||疽maJA!maxaaljj=1邋a于是||A||疽maJA!maxaaljj=1邋a1kjj=1n=maxj=1X(2)=(X(2),X(2),…,X(2))T,其中g(2)=<a'1；aijj0则||x(2)I=1，a=0Ax(2)=(*,...,*,ana,*,.・.,*)tj=1于是2 )2IAX()1[j=1a)ijnmax于是2 )2IAX()1[j=1a)ijnmaxj=1aijIAII=maxaij矩阵2一范数有下列良好的性质。定理2.11设AeCnxn，U和V为n阶酉矩阵，则⑴||a^|2=IIAI2；（2） ||ua=|AV二||uav||二||A||；（3） 若A是正规矩阵，且i，i.i是A的n个特征值,则||A||=max\lk\。证（1）由定理1.26矢口，aha与aah有相同的非零特征值，于是||ah|=||A||（ 2 ）UAl2=v'(UA)h(UA)的最大特征值=(AhA的最大特征值=|A||2II时||2=,腿|I=||ah|I=1All2阳V技I|"|广||尴（3）当A是正规矩阵时，存在n阶酉矩阵U,使得UhAU=diag（七,气,…,人,）于是UhAhAU=UhAhUUhAU=diag（|X|2,|人|2,...」人|2）1 2故||A|=\/AhA的最大特征值=jmax|Xj2=max|XJ 证毕有其他矩阵范数的计算公式易知："Ah, = ||A , Ah|| =A， Ah° =A, Ah| =A，Ah=Am m1 F F " m¥ ¥ 1 1 ¥四、长方阵的范数前面介绍的主要是方阵的防范数，给相应的定义做一些修改可以推广到吗m*n矩阵的情形。首先，在矩阵范数的定义中，相容性公理应改为：对任意Ais/Bic〃I都有n||A8||£aim上式左边是5上的矩阵范数，右边分别是Cmxn和6上的矩阵范数，他们应取为同类的矩阵范数，如均取为F-范数。其次，在与向量范数相容性的定义中，对任意Ai6n，nxiCn，有||Ax||£||A||||x||其中上式左边的回是Cm上的向量范数，右边的||［是；上的向量范数，它们应取为同类的向量范数。最后，在从属范数定义中，对任意AiCm'n，有A11=maJA^L其中右边分子上的仰是Cm上的向量范数，炉0IM v

分母上的IIII是5上的向量范数，它们应取为同类的向量范数。对于任意AiCmn，常用的矩阵范数为如下七种:n（1）|A|=邋〃 ,m1-范数;皿1i=1j=1（2）||A||=j避nE2=4tr（AHA）, F-范数；\i=1j=1⑶l|A||=max{m,n}max\aI，M-范数或最大范数;M 门ij⑷||A||=面maxa，G-范数或几何平均范数;G i,jij（5）（6（5）（6）||A||=max且maij，1-范数或列和范数;||A||=（AhA的最大特征值，2-范数或谱范数;（7）|叫=max场ai，¥-范数或者行和范数。1j=1其中F-范数和2-范数是酉不变的，皿］一范数与向量1—范数相容；F一范数和G—范数与向量2—范数相容；M一范数分别与向量1一、2—、¥一范数相容；而矩阵的1一、¥一、2一范数分别有向量1一、¥一、2—范数导出，从而与相应的向量范数相容。§2.3范数应用举例在§2.1中介绍了向量范数在讨论向量序列极限中的应用，有关范数在矩阵分析中的应用可见下一章，本届主要介绍范数在特征值的估计及数值分析中的应用。

、矩阵的谱半径定义2.6设aiox,X，…,X为A的n个特征值，称1 2 nr(A)=maxl为A的谱半径。利用定义可得到谱半径的如下性jj质:(1(1)r(Ak)=(r(A))k；(2(2)(3)r(AhA)=r(AAh)=||A||2；2当A是正规矩阵时，r(A)=||A||。(1)设A的n个特征值为％,x厂,X，则Ak的特征值为Xk,人k，…,人k于是1 2 nr(Ak)=maxlk=(maxl)k=(r(A))k.jjj(2)由矩阵2一范数的计算公式和AhA与aah有相同的非零特征值即得;(3)利用定理2.11的结果即得。证毕有关矩阵的谱半径，有如下的一些估计式。定理2.13设AICn^n，则对Cn上的任意矩阵范数||||，都有r(A)£||A|证设l是A的特征值，x是A的对应l的特征向量，又设||||是Cn上与矩阵范数||||相容的向量范数，则由Ax=lx，V可得II*网vAiiq从而|l|#||A||,即r(A)||A|| 证毕

例2.11骣0 0.2已知例2.11骣0 0.2已知A=|0.2 0桫0.i-0.20.L0.2士，试估计A的谱半径。解可求得a=||A||=0.4,||A||=1,||A|| =0.6,||A||=v0?180.4243.于是r(A)£0.4。实际计算可知A的特征值为0，—0.4i,0.4i，从而r(A)=0.4，可见对此矩阵谱半径的估计很精确，但对多数矩阵来说，估计的结果偏保守。定理2.14设AJCn-n，对任意给定的正数e，存在某一矩阵范数||||，使得m||A||?r(A)e证由定理i.9,存在pidn，使得nPiAP=J=验证¥¥¥¥¥¥¥早dilPiAP=J=验证¥¥¥¥¥¥¥早diln-iD1P1APD=DiJD令D=diag(i,e,e2,…,en-i)，则易于是于是||d-iP-1apd||¥|B||=||D-iP-iAPDJm ¥?max(le)=r(A)+e对任意b16〃，规定jj容易验证网是"〃上的一种矩阵范数，且有m||A||=||D-1P-1APD||?r(A)e证毕需要指出的是，定理2.14中构造的矩阵范数与给定的矩阵A和正数e均密切相关。二、矩阵的条件数设AIn，biC,在工程实际中经常需要计算A-1和线性方程组Ax=b的解，由于矩阵A和向量b的元素一般是由观测或者计算得到的，所以不可避免的带有微小的误差dA和db。我们首先必须研究的一个重要问题是：数据的误差对于问题的解将会产生什么样的影响呢？如对于求逆矩阵的问题，要研究A-1与(A+dA)-i的近似程度如何；而对于线性方程组求解问题，要研究系数矩阵A与有段b有误差dA和db时，引起解x的误差必的大小问题，利用范数可以给出误差对于问题的解产生影响大小的一个度量。引理2.2设PiCnn，若对Cnn上的某一矩阵范数||||有|冏<1，贝ljI—P可逆。证如果I-P不可逆，则齐次线性方程组(I—P)x=0有非零解押)，即有(I—P)X(0)=0或¥(。)=PX(0)设||||是Cn上的矩阵范数"相容的v向量范数，则||x(0)||=|Px(0)|| ||P||||x(0)||即有IP||31，这与假设条件矛盾，故I—P可逆。证毕定理2.15设Ai6n，dAiC"n，若对Cnn上的某一种矩阵范数Illi有||a-idA||<1,则(1)A+dA可逆;(2)||(A(2)||(A+dA)-i|||A-i||||A-1dA|(3)||A-1-(A+dA)-11||A-1dA||1-||A-1