第二章一元二次函数方程与不等式重点题型复习-【题型分类归纳】2

第二章：一元二次函数、方程与不等式重点题型复习题型一不等式的性质应用【例1】若，则下列命题为假命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【解析】对A：因为，所以，故选项A正确；对B：因为，，所以当时，；当时，；当时，，故选项B错误；对C：因为，所以由不等式的性质可得，故选项C正确；对D：因为，所以，所以，故选项D正确.故选：B.【变式1-1】已知，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】方法一：因为，可知，所以，所以，，所以，，，所以A正确，B，C错误．因为，所以，所以D错误，故选：A方法二；因为，设，，所以，，，所以，,,,所以A正确，B，C，D错误,故选：A【变式1-2】（多选）若，则下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】选项A，因为，所以，，故A正确；选项B，由均值不等式，当，，由于，故等号不成立，即，故B正确；选项C，由于，故，故，故C正确；选项D，取，而，故D错误故选：ABC【变式1-3】（多选）若，且，则在四个数中正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】由于，则，又，所以，又，即.故选：ABD题型二利用不等式求代数式的取值范围【例2】已知，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故，，得故选：C【变式2-1】若实数x，y满足，则的取值范围（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则，解得，故，又因，所以，所以.故选：A.【变式2-2】已知，，求的取值范围.【答案】【解析】设，则有：，解得：，所以.因为，所以，因为，所以，所以，即，所以的取值范围为.【变式2-3】已知，，求，的取值范围．【答案】的取值范围是，的取值范围是．【解析】因为，所以．又，所以，即．因为，所以，因为，所以，所以，即．所以的取值范围是，的取值范围是．题型三解一元二次不等式【例3】已知集合，，则A∩B=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D【变式3-1】不等式的解集为（）A．或B．C．或D．【答案】A【解析】可化为，即，即或．所以不等式的解集为或.故选：A【变式3-2】解下列不等式：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）或；（2）；（3）或或【解析】（1）原不等式等价于，即，即，所以，所以或，所以原不等式的解集或；（2）由，可得，所以，解得，所以原不等式的解集为；（3）原不等式等价于或，分别解这两个不等式组，得或或或，故原不等式的解集为或或.【变式3-3】解下列关于的不等式：（为实数）（1）；（2）.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】（1）原不等式对应的一元二次方程为：，，当时，，原不等式无解；当时，对应一元二次方程的两个解为：，所以的解为：，综上所述，时，原不等式无解，当时，原不等式的解集为；（2）原不等式等价于，当时，解集为；当时，原不等式可化为，因为，所以解集为；当时，，解集为；当时，原不等式等价于，所以，解集为；当时，，解集为；综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.题型四三个“二次”之间的关系【例4】已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】不等式的解集是，所以方程的解是和，且，则，解得，，所以不等式化为，即，解得，所以，所求不等式的解集是．故选：A．【变式4-1】不等式的解集为，则不等式的解集为______．【答案】【解析】因为的解集为，则，且对应方程的根为-2和4，所以，，且，不等式可化为，则，即，解得或．故答案为．【变式4-2】已知不等式的解集是，，则不等式的解集是____________.【答案】【解析】由不等式的解集是，可知：，是一元二次方程的实数根，且；由根与系数的关系可得：，，所以不等式化为，即：；化为；又，；不等式的解集为：|}，故答案为：【变式4-3】已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（）A．B．或C．D．或【答案】A【解析】由二次函数图象知：有.故选：A【变式4-4】已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为_________.【答案】【解析】根据二次函数的图象可知，为方程的两根，故，即，则即，也即，，解得或.故不等式解集为.故答案为：.题型五一元二次不等式恒成立与有解问题【例5】“关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由“关于的不等式对恒成立”，可得，解得：.故选：B．【变式5-1】已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对任意，不等式恒成立，即对任意，恒成立，所以对任意，恒成立，所以对任意，，所以，解得，故实数x的取值范围是．故选：D．【变式5-2】若关于x的不等式有实数解，则a的取值范围是（）A．(0，1]B．[0，1)C．D．【答案】D【解析】当时，不等式为，有实数解，满足题意；当时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式有实数解，满足题意；当时，要使不等式有实数解，则需满足，解得，综上，a的取值范围是.故选：D.【变式5-3】已知命题：“，”为真命题，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意不等式在上有解，所以或，解得或，所以．故选：A．题型六利用基本不等式求最值【例6】已知，，则的最小值为___________.（人教B版）【答案】18【解析】，，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为18，故答案为：18.【变式6-1】已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为正实数，=，当，即时等号成立，此时有，又因为，所以，由基本不等式可知（时等号成立），所以.故选：B.【变式6-2】已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A．B．3C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，令，则，且，所以，当且仅当，即，时，取等号，所以的最小值是.故选：A.【变式6-3】已知正实数x，y满足，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．12【答案】C【解析】解：由，且，可得，所以，当且仅当，即，时取等号．故选：C【变式6-4】下列命题中不正确的为（）①.若正实数，满足，则的最小值为②.已知，，，则的最大值为③.存在实数，满足，使得的最小值是6④.若，则的最小值为A．④B．②④C．③④D．①②【答案】A【解析】①正实数，满足，故，所以，当时，取得最小值为，故①正确；②因为，，所以，当且仅当时，等号成立，故，所以的最大值为，②正确；③因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故存在实数，满足，使得的最小值是6，③正确；④当，时，满足，此时，故的最小值不是；④错误故选：A题型七基本不等式恒成立问题【例7】已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A．B．}C．D．【答案】D【解析】∵，且，∴，当且仅当时取等号，∴，由恒成立可得，解得：，故选：D.【变式7-1】已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，当且仅当时“”成立，又不等式恒成立，，的取值范围是．故选：B．【变式7-2】若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意得，当时，恒成立，又因为，当且仅当时取等号，所以，的最大值为，所以，解得的取值范围为．故选：B【变式7-3】对任意及，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，对任意及，不等式恒成立等价于对任意及，恒成立.设，则.因为，，所以，则，即，则，当且仅当，即时取等号，∴.故选：D.【变式7-4】若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为（）A．（－1，4]B．（0，4