2022年第六章数列第一节等差数列等比数列的概念及求和

历年高考真题考点概括2022年第六章数列第一节等差数列、等比数列的观点及求和一、选择题1．（天津理4）已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前项和，nN*，则的值为A．-110B．-90C．90D．110【答案】D2．（四川理8）数列的首项为，为等差数列且bnan1an(nN*)．若则b32，b1012，则A．0B．3C．8D．11【答案】B【解析】由已知知bn2n8,an1an2n8,由叠加法(a2a1)(a3a2)(a8a7)64202460a8a133．（全国纲领理4）设为等差数列的前项和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，则A．8B．7C．6D．5【答案】D4．（江西理5）已知数列{}的前n项和知足：SnSmSnm，且=1．那么=A．1B．9C．10D．55【答案】A二、填空题5．（湖南理12）设是等差数列(nN)，的前项和，且a11,a47，则=．【答案】256．（重庆理11）在等差数列中，a3a737，则a2a4a6a8__________【答案】7417．（北京理11）在等比数列{an}中，a1=2

，a4=-4，则公比q=______________；a1a2...an____________。—22n11【答案】28．（广东理11）等差数列前9项的和等于前4项的和．若a11,aka40，则=____________．【答案】109．（江苏13）设1a1a2a7，其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________【答案】三、解答题10．（江苏20）设Ｍ部分为正整数组成的会合，数列{an}的首项a11，前n项和为，已知对随意整数M，当整数nk时,SnkSnk2(SnSk)都建立（1）设M{1},a22,求a5的值；2）设M{3,4},求数列{an}的通项公式本小题考察数列的通项与前项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考察考生剖析探究及逻辑推理的能力，满分16分。解：（1）由题设知，当n2时,Sn1Sn12(SnS1)，即(Sn1Sn)(SnSn1)2S1，进而an1an2a12,又a22,故当n2时,ana22(n2)2n2.所以的值为8。（2）由题设知，当kM{3,4},且nk时,SnkSnk2Sn2Sk且Sn1kSn1k2Sn12Sk，两式相减得an1kan1k2an1,即an1kan1kan1an1k所以当n8时,an6,an3,an,an3,an6成等差数列，且an6,an2,an2,an6也成等差数列进而当时，2anan3an3an6an6.（*）且an6an6an2an2,所以当n8时,2anan2an2，即an2ananan2.于是当n9时,an3,an1,an1,an3成等差数列，进而an3an3an1an1，故由（*）式知2anan1an1,即an1ananan1.当时，设danan1.当2m时,m68，进而由（*）式知2am6amam128故2am7am1am13.进而2(am7am6)am1am(am13am12)，于是am1am2ddd.因此，an1and对随意都建立，又由SnkSnk2Sk2Sk(k{3,4})可知(SnkSn)(SnSnk)2Sk,故9d2S3且16d2S4，a47d,进而a23d,a1d.解得222因此，数列为等差数列，由a11知d2.所以数列的通项公式为an2n1.11．（北京理20）若数列Ana1,a2,...,an(n2)知足an1a11(k1,2,...,n1)，数列为数列，记S(An)=a1a2...an．（Ⅰ）写出一个知足a1as0，且S(As)〉0的数列；（Ⅱ）若a112，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2022；（Ⅲ）对随意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得SAn=0如果存在，写出一个知足条件的E数列；如果不存在，说明原因。解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具知足条件的E数列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个知足条件的E的数列A5）（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以ak1ak1(k1,2,,1999)所以A5是首项为12，公差为1的等差数列所以a2000=12（2000—1）×1=2022充分性，由于a2000—a1000≤1，a2000—a1000≤1a2—a1≤1所以a2000—a≤19999，即a2000≤a11999又因为a1=12，a2000=2022,所以a2000=a11999故an1an10(k1,2,,1999),即An是递增数列综上，结论得证。（Ⅲ）令ckak1ak10(k1,2,,n1),则cA1.因为a2a1c1a1a1c1c2ana1c1c2cn1,所以S(An)na1(n1)c1(n2)c2(n3)c3cn1n(n1)[(1c1)(n1)(1c2)(n2)(1cn1)].2因为ck1,所以1ck为偶数(k1,,n1).所以*1c1)(n1)(1c2)(n2)(1cn)为偶数,S(An)0,必须使n(n1)所以要使2为偶数,即4整除n(n1),亦即n4m或n4m1(mN*)当n4m1(mN*)时,E数列An的项知足a4k1a4k10,a4k21,a4k1(k1,2,,m)时，有a10,S(An)0;a4k1(k1,2,,m),a4k10时,有a10,S(An)0;当n4m1(mN*)时,E数列An的项知足，a4k1a3k30,a4k21,当n4m2或n4m3(mN)时,n(m1)不能被4整除，此时不存在E数列An，使得a10,S(An)0.12．（广东理20）annban1(n2)an12n设b>0,数列知足a1=b，2．（1）求数列的通项公式；anbn11.（2）证明：关于一切正整数2n1n，解：a1b0,知annban1n12n1an12n20,.（1）由anbban1Ann,A11令anb，n2时,An12An1当bb122n22n1bb2bn1bn1A1122n22n1bb2bn1n.b①当时，1(12n)bn2nAnbb,2bn(b12)bb2时,Ann.②当2annbn(b2),b2bn2n2,b2annbn(b2)bn11,只需证nbn(bn1bn2nbnn2n12n11)2）（2）当时，（欲证2b(2n1bn1)bn2n(2n1bn1)(bn12bn22n1)b22n1bn12n2bn222nb2n2b2n12n1bn12nbn(2222nbnbn1b)bb2bn2n2n122nbn(222)2n2nbnn2n1bn，nbn(b2)bn11.an2n2n1bnb2时,an2bn11.2n1当anbn11.2n1综上所述13．（湖北理19）已知数列的前项和为，且知足：a1a(a0)，an1rSnN*，rR,r1)．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若存在N*，使得，，成等差数列，是判断：关于随意的N*，且m2，，，是否成等差数列，并证明你的结论．本小题主要考察等差数列、等比数列等基础知识，同时考察推理论证能力，以及特殊与一般的思想。（满分13分）解：（I）由已知an1rSn,可得an2rSn1，两式相减可得an2an1r(Sn1Sn)ran1,即an2(r1)an1,又a2ra1ra,所以r=0时，数列为：a，0，，0，；当r0,r1时，由已知a0,所以an0（nN*），an2r1(nN)an2(r1)an1,an1于是由可得，a2,a3,,an成等比数列，当n2时，anr(r1)n2a.anann1,r(r1)n2a,n2综上，数列的通项公式为（II）关于随意的mN*，且m2,am1,am,am2成等差数列，证明如下：ama,n1,0,n2当r=0时，由（I）知，关于随意的mN*，且m2,am1,am,am2成等差数列，当，r1时，Sk2Skak1ak2,Sk1ak1.若存在kN*，使得Sk1,S1,Sk2成等差数列，则Sk1Sk22Sk，2Sk2ak1ak22Sk,即ak22ak1,由（I）知，a2,a3,,am,的公比r12，于是关于随意的mN*，且m2,am12am,进而am24am,am1am22am,即am1,am,am2成等差数列，综上，关于随意的mN*，且m2,am1,am,am2成等差数列。14．（辽宁理17）已知等差数列{an}知足a2=0，a6a8=-10（I）求数列{an}的通项公式；an（II）求数列2n1的前n项和．解：a1d0,（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得2a112d10,a11,解得d1.故数列的通项公式为an2n.5分{an1}的前n项和为SnSna2an,故S112na1n1（II）设数列，即22，Sna1a2an.2242n所以，当时，Sna1a2a1anan1an222n12n1(1112n)242n12n1(1n11)2nn22nn.2Sn2nn1.{ann1}的前n项和Sn2nn1.2121520111.a101an11annbn1an1,记Snbk,证明：Sn1.nk1111,I1an11an{1}1an111,故11n.a11anan11.nIIIbn1an1,nn1nn1n11nn18nn111Snbk1.()1n1k1k1kk112分16．（山东理20）等比数列中，a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列知足：bnan(1)lnan，求数列的前n项和．解：（I）当a13时，不合题意；当a12时，当且仅当a26,a318时，切合题意；当a110时，不合题意。因此a12,a26,a318,所以公式q=3，故an23n1.（II）因为bnan(1)nlnan23n1(1)n(23n1)23n1(1)n[ln2(n1)ln3]23n1(1)n(ln2ln3)(1)nnln3,所以S2n2(1332n1)[111(1)2n](ln2ln3)[125(1)nn]ln3,所以S213nnln3n132当n为偶数时，3nnln31;2S213n(ln2ln3)(n1n)ln3n132当n为奇数时，3nn1ln3ln21.2综上所述，3nnln31,n为偶数Sn2n1ln3-ln2-1,n为奇数3n-217．（上海理22）已知数列和的通项公式分别为an3n6，bn2n7（nN*），将集合{x|xan,nN*}{x|xbn,nN*}中的元素从小到大依次排列，组成数列c1,c2,c3,,cn,。1）求c1,c2,c3,c4；（2）求证：在数列中．但不在数列中的项恰为a2,a4,,a2n,；（3）求数列的通项公式。解：⑴c19,c211,c312,c413；⑵①随意nN*，设a2n13(2n1)66n3bk2k7，则k3n2，即a2n1b3n2②假定a6n6b2k7k3n1N*a{b}2nk2（矛盾），∴2nn∴在数列中．但不在数列中的项恰为a2,a4,,a2n,。⑶b3k22(3k2)76k3a2k1，b3k16k5，a2k6k6，b3k6k7∵6k36k56k66k7∴当时，依次有b1a1c1,b2c2,a2c3,b3c4，6k3(n4k3)cn6k5(n4k2),kN*6k6(n4k1)∴6k7(n4k)。18．（天津理20）3(1)n已知数列与知足：bnanan1bn1an20,bn2，nN*，且a12,a24．（Ⅰ）求a3,a4,a5的值；（Ⅱ）设cna2n1a2n1,nN*，证明：是等比数列；4nSk7*)（III）设Ska2k,kN*,证明：k1ak(nNa2a46．本小题主要考察等比数列的定义、数列求和等基础知识，考察运算能力、推理论证能力、综合剖析和解决问题的能力及分类议论的思想方法满分14分bn3(1)n,nN*,（I）解：由2bn1,n为奇数2,n为偶数可得又bnanan1bn1an20,当n=1时,a1+a2+2a3=0,由a1=2,a2=4,可得a33;当n=2时,2a2+a3+a4=0,可得a45;当n=3时,a3+a4+2a5=0,可得a44.（II）证明：对随意nN*,a2n1a2n2a2n10,①2a2na2n1a2n20,②a2n1a2n22a2n30,③②—③，得a2na2n3.④将④代入①，可得a2n1a2n3(a2n1a2n1)即cn1cn(nN*)又c1a1a31,故cn0,cn11,所以{cn}因此cn是等比数列（III）证明：由（II）可得a2k1a2k1(1)k，于是，对随意kN*且k2，有a1a31,(a3a5)1,a5a71,(1)k(a2k3a2k1)1.将以上各式相加，得a1(1)ka2k1(k1),即a2k1(1)k1(k1)，此式当=1时也建立由④式得a(1)k1(k3).2k进而S2k(a2a4)(a6a8)(a4k2a4k)k,S2k1S2ka4kk3.所以，对随意nN*,n2，4nSnSSSSk(4m34m24m14m)k1akm1a4m3a4m2a4m1a4mnm1

(2m22m12m32m)2m2m22m12m3nm1

23()2m(2m1)(2m2)(2m2)2n5323m22m(2m1)(2n2)(2n3)1n533m2(2m1)(2m1)(2n2)(2n3)15[(11)(11)(111)]33235572n2n1(2n2)(2n3)155133622n1(2n2)(2n3).关于n=1，不等式显然建立所以，对随意nN*,S1S2S2n1S2na1a2a2n1a2nS1S2)(S3S4)S2n1S2n)(a2a3a4(a2na1a2n1(111(112)(11n)4)4242(424n(4n121)1)1112)(1n)n()(242(42n4n(4n41241)41)n(11)n1.412319．（浙江理19）已知公差不为0的等差数列的首项为a（aR）,设数列的前n项和为，且111a1，a2，a4成等比数列（1）求数列的通项公式及An111...1Bn1111...（2）记S1S2S3Sn，a1a2a22a2n，当时，试比较与的大小．此题主要考察等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考察分类议论思想。满分14分。(1)211,（I）解：设等差数列的公差为d，由a2a1a4得(a1d)2a1(a13d)因为d0，所以da所以anna1,Snan(n1).21211)（II）解：因为Sn(ann1，所以An11112(11)S1S2S3Snan1因为a2n12n1a，所以1nBn111111(2)2(11).a1a2a22a2n1a11a2n2当n2时,2nCn0Cn1Cn2Cnnn1，1111n,即n12所以，当a0时,AnBn;当a0时,AnBn.2