高中数学：分类讨论思想转化与化归思想

第2讲分类讨论思想、转化与化归思想1．分类讨论思想 分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．分类讨论的常见类型：(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算和字母参数变化引起分类；如偶次方根非负，对数的底数与真数的限制，方程(不等式)的运算与根的大小比较，含参数的取值不同会导致所得结果不同等．(4)由图形的不确定性引起的分类：有的图形的形状、位置关系需讨论，如二次函数图象的开口方向，点、线、面的位置关系，曲线系方程中的参数与曲线类型等．分类讨论思想，在近年高考试题中频繁出现，涉及各种题型，已成为高考的热点，考查的重点是含参数函数性质、不等式(方程)问题，与等比数列的前n项和有关的计算推理，点、线、面的位置以及直线与圆锥曲线的位置关系不定问题等．2．转化与化归思想 化归与转化是指在处理问题时，把待解决或难解决的问题通过某种方式转化为一类已解决或比较容易解决的问题的一种思想方法，它是研究和解决数学问题的核心思想，化归与转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性．在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式，它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换．在实际解题过程中，实施化归与转化时，我们要遵循以下五项基本原则：(1)化繁为简的原则；(2)化生为熟的原则；(3)等价性原则；(4)正难则反原则；(5)形象具体化原则．历年高考中，化归与转化思想无处不在，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于提高解决数学问题的应变能力，提高思维能力和技能、技巧.

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(1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必需进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延．(2)在数学运算中，有时需对不同的情况作出解释，就需要进行讨论，如解二次不等式涉及到两根的大小等．探究提高

(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论．(2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论．[微题型3]

由定理、性质、公式等引起的分类讨论【例1－3】

已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.探究穿提高(1舞)利用迅等比邀数列坟的前n项和台公式名时，促需要巴分公志比q＝1和q≠1两种咸情况疤进行吴讨论朽，这柄是由奸等比生数列皂的前n项和核公式档决定洞的．锐一般键地，帅在应病用带南有限撞制条右件的虏公式湖时要胃小心扒，根薪据题射目条征件确萌定是结否进顺行分泥类讨业论．(2索)由性盯质、起定理营、公姜式等馋引起羽的讨躺论，蓬主要怨是应亮用的歼范围障受限彼时，丢存在垮多种痒可能归性．[微题摄型4]由字恨母参凝数引绣起的症分类赵讨论【例1－4】已知击函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax(a∈R)．(1勉)求f(x)的单叫调区披间与般极值侍；(2喉)若函笨数f(x)在区菊间(1，＋∞)上单南调递素减，狼求实爆数a的取承值范冶围．探究滔提高一般竿地，滋遇到英题目巧中含舅有参沾数的宜问题胡，常馅常结赵合参筛数的迷意义送及对京结果捆的影付响进内行分销类讨色论，眯此种炊题目曾为含搬参型狭，应泄全面警分析贴参数废变化皮引起黎结论硬的变雹化情鸽况，瘦参数欢有几瓜何意折义时党还要民考虑杜适当熄地运孙用数网形结旧合思宣想，哨分类跳要做纹到分税类标补准明青确，爷不重舱不漏抵．【训练1】(2虹01仿4·洛阳淋统一冒考试)已知衰圆心瞎为F1的圆氏的方植程为(x＋2)2＋y2＝32，F2(2犬,0内)，C是圆F1上的捎动点章，F2C的垂良直平揭分线感交F1C于M.(1锣)求动景点M的轨钞迹方怀程；(2匙)设N(0忠,2忧)，过惧点P(－1，－2)作直波线l，交M的轨艇迹于驰不同互于N的A，B两点厌，直鸦线NA，NB的斜迹率分努别为k1，k2，证蔑明：k1＋k2为定吃值．答案3规律堂方法用特庙殊化胜法实介现化凶归与栏转化再是在矮解决农问题贺过程裙中将摄某些折一般抗问题桐进行握特殊海化处老理的挑方法锤．常效用的男特例猾有特凳殊数僻值、迹特殊闷数列死、特括殊函鞋数、划特殊男图形伯、特湖殊角第、特睡殊位其置等晕．对采于选闯择题惊，当捏题设蔬在普前通条纷件下抓都成饲立时钻，用寺特殊风值进睛行探上求，捷可快匠捷地尽得到氧答案茧；对窃于填迷空题维，当抵填空接题的腐结论方唯一驳或题桃设条叉件提俭供的转信息利暗示名答案犹是一漫个定菜值时纸，可职以把偷题中将变化脱的量捎用特静殊值自代替失，即起可得熊到答栋案．[微题哨型2]换元芝转化塘问题【例2－2】已知船函数f(x)＝ax3＋bsi洞nx＋4(a，b∈R)，f(l瓣g(丛lo迷g210季))＝5，则f(l眼g(塘lg铁2到))＝()．A．－5骑B.－1C．3土D.咐4答案C规律决方法复杂黑的数常学问馅题常借用换丢元法玩实现查化归庆与转觉化，颤运用“换元”把式梢子转帜化为钱有理风式或苗使整酿式降挥幂等漆，或保者把篇较复巴杂的竞函数馅、方吼程、希不等培式问销题转怀化为庭易于标解决奇的基擦本问毛题．[微题写型3]常量盐与变宫量的篮转化【例2－3】对于胀满足0≤p≤4的所沸有实锦数p，使棋不等丧式x2＋px＞4x＋p－3成立静的x的取盆值范独围是__物__拔__剪__．答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)探究造提高在处疲理多扇变元刊的数爸学问托题时季，我没们可满以选柳取其显中的挽常数(或参呆数)，将愧其看起做是“主元”，而自把其体它变推元看汤做是涛常量亦，从舰而达翼到减号少变益元简妙化运荡算的耗目的歇．解析g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区六间(t,3)上总沿为单波调函盆数，辅则①g′(x)≥0在(t,3)上恒诉成立弯，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒奖成立拘．规律针方法否定沟性命漏题，温常要套利用全正反遥的相拍互转披化，产先从掉正面睁求解闸，再径取正争面答沫案的洲补集勇即可堵，一郑般地询，题应目若伸出现迟多种遇成立调的情获形，岗则不明成立哄的情怖形相核对很丘少，飞从反权面考适虑较堵简单猎，因赖此，沃间接套法多传用于纤含有“至多”、“至少”及否题定性偶命题疮情形厕的问下题中贼．证明(1慈)连接A1B，设A1B与AB1交于E，连凉接DE.∵点D是BC中点躁，点E是A1B中点水，∴DE∥A1C，又∵A1C⊄平面AB1D，DE⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2齐)∵△AB忍C是正柴三角此形，配点D是BC的中凉点，∴AD⊥BC.∵平面AB荣C⊥平面B1BC暮C1，平面AB幕C∩平面B1BC余C1＝BC，AD⊂平面AB闲C，∴AD⊥平面B1BC阿C1，∵BC1⊂平面B1BC予C1，∴AD⊥BC1.1．分剂类讨访论思罪想的细本质庄是“化整抛为零俘，积纺零为樱整”．用分碗类讨迅论的喂思维铜策略坑解数姓学问垦题的邻操作度过程歌：明订确讨雨论的反对象着和动臭机→确定推分类蔬的标山准→逐类匪进行钩讨论→归纳健综合罢结论→检验料分类涂是否饱完备(即分筹类对倚象彼暮此交愤集为饿空集贡，并炒集为草全集)．做榜到“确定杆对象旷的全纤体，输明确街分类陡的标锯准，信分类蛇不重迅复、讨不遗平漏”的分搜析讨丛论．(4秤)三角药函数此：角征的象贡限及转函数捆值范宋围的团讨论馋．(5掘)不等惨式：店解不遣等式粮时含谎参数优的讨作论，斧基本毙不等妨式相幼等条雹件是君否满帆足的省讨论威．(6甘)立体严几何蜡：点充线面颤及图厚形位鄙置关泄系的烟不确尚定性解引起研的讨输论；非平面邀解析恢几何析：直会线点爬斜式挡中k存在凑和不端存在泊，直悉线截莫距式请中b＝0和b≠0的讨吩论；目轨迹斥方程尽中含冈参数罗时曲刊线类钱型及叼形状散的讨鸦论．(7扬)去绝蹲对值吊时的筝讨论伟及分魔段函目数的鹅讨论水等．(4肾)等价安转化忧法：鸣把原尼问题较转化萍为一唇个易阵于解创决的且等价施命题尘，达凳到化币归的