半导体物理与器件微电子物理基础半导体物理学电子器件

半导体物理与器件

习题集

《微电子物理基础》

《半导体物理学》

《电子器件》

北方工业大学

微电子系

目录

《微电子物理基础》...............................................................1

第1章经典物理的困难......................................................1

第2章定态薛定蹲方程......................................................4

第3章量子力学中的力学量..................................................9

第4章微扰理论...........................................................13

第5章晶体结构...........................................................15

第6章晶体的结合.........................................................21

第7章晶格振动与晶体热学性质............................................26

第8章晶体中的电子能带理论...............................................30

《半导体物理学》...............................................................34

绪论........................................................................34

第1章半导体中的电子状态..................................................35

第2章半导体中杂质和缺陷能级.............................................44

第3章半导体中载流子的统计分布...........................................50

第4章半导体的导电性......................................................60

第5章非平衡载流子.......................................................69

第6章pn结..............................................................75

第7章金属和半导体的接触.................................................80

第8章半导体表面与MIS结构...............................................86

《微纳电子器件》...............................................................91

第1章pn结二极管........................................................91

第2章双极型晶体管（BJT）.........................................................................................102

第3章结型场效应晶体管（JFET）..............................................................................116

第4章MOS型场效应晶体管（MOSFET）.................................................................120

《微电子物理基础》

第1章经典物理的困难

(-)主要知识

1普朗克的能量量子假设：

光波在发射过程中，物体的能量变化是不连续的，并且能量值只能取某个最小单

元的整数倍。

2爱因斯坦试探性的答案：

因为光波本身就是由一个个的能量子组成的(光量子)

3玻尔原子理论：

由于物体中束缚在原子周围的电子只能处于分立的能量态，而当电子在这些能量

态之间跃迁时，它所发出的光也就自然具有分立的能量

4Compton效应证实了光的粒子性

5、主要公式

□Planck假设£■“=nhv

h

□Einstein的光量子假说P=彳

/L

□波粒二象性

6、光电效应：

光照射某些金属时能从表面释放出电子的效应。这时产生的电子称为光电子

(photoelectron)。

7、爱因斯坦光量子假设

光束和物质相互作用时，其能量并不象波动理论所想象的那样连续分布，而是集

中在一些叫光子(photon)的粒子上。这种粒子保持着频率或波长的概念，光子

的能量正比于其频率，即£=%

根据光的动量和能量关系：p=E/c,得到：p=h/A

光量子具有“整体性”，光的发射、传播、吸收都是量子化的

8、原子结构的玻尔量子论Bohr

1.按照经典理论，带电粒子作这种轨道应该不断地释放电磁能，从而电子的能量

越来越小，轨道半径也越来越小，

最后要落到原子核中去。

2,原子中电子在圆周运动中，由于能量的连续变化，发射谱线应该是是连续谱,

结果是线光谱。谱线中亮线对应

着原子辐射能量，暗线对应原子的吸收能量。

9、经典物理学中波动的概念

①经典波动是可以在整个空间中传播的周期性扰动。

②表征经典波动的物理量是频率和波矢，运动服从相应的波动方程。

③经典粒子满足叠加原理，可以得到干涉和衍射花样。

光的波动性用波长和频率来描述

光的粒子性用质量和动量来描述

10、爱因斯坦的光

♦1909年，爱因斯坦首次提出光的波粒二象性p=h”

♦对于统计平均现象光表现为波动，而对于能量涨落现象光却表现为粒子。

（二）例题

1由普朗克黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长儿“与温度T成

反比，即

4.7=仇常量）

并近似计算b的数值，准确到两位有效数字。

（提示：5-x=5e-*的解为X24.965）

解：根据c=，。将普朗克公式变为

~,一、2nhe1

E（2,T）=—------------------------

25exp（hc/AkT）-l

令》=勺，则普朗克公式变为

AkT

17tk5T5x5

E(x,T)=c3k4e1

为求极大值，需求dE/心并令其为零

245T55(e*—1)V—

E(无,T)==0

34

ch(el)2

于是5"—xe'一5=0

即5-x=5e-、

其近似解为5,将x=5代入等式右侧可得

x-5—5e5«4.966

再把x=4.966代入等式右侧经两三次迭代，得到xx4.965

所以

x=-^-=4.965

4“kT

-3

得到AmT=he/4.965k=2.898x10

令Z?=2.898xlO3

证毕。

2在0K附近，钠的价电子能量约为3电子伏特，求其德布罗意波长。

2

解：根据E=hu=meV/2

电子质量机《=9.11*10卬依，leV=1.6xlO-'9J

f2E__12x3x1.6x10-^

=lxl06m,v1

9.11X10-31

一6.63x10-34

=7.2x10l0/n=0.72〃加

P9.11x10-31*106

3氢原子的动能是E=34/V2（做为玻耳兹曼常数，求T=1K时，氨原子的德布罗意

波长。

解：根据1

E=hu=mxy12

得

2E3k?

V=言费磊

〃%机o

h6.63x10-"

A=1.27x109m=1.Tlnm

p4x1.67x1027xO.78xlO2

4两个光子在一定条件下可以转化为正负电子。如果两个光子的能量相等，问要实现这种转

化，光子的波长最大是多少？

解：根据能量守恒，2〃。=2机/

h6.63x1()3

得到40=0.73xl(T，

me9.11X10-3'x3xlO8

第2章定态薛定谤方程

(-)主要知识

1微观粒子的波粒二象性

•在光的波粒二象性的启发下，为了克服玻尔理论的局限性德布罗意提出

了微观粒子具有波粒二象性的假设，将粒子的波动性(匕4)或(。闺和粒子性

(E,P)通过德布罗意关系联系起来

E=hv=ha>

h—

p=n=hk

2

r[=lnl2n,co=2VTT

r2万_

k=——n

A

微观粒子的波动性被电子衍射实验、干涉实验所证实

2Schrodinger方程

状态随时间的变化所遵循的方程

/_、

由..dy/(r:,t')=

3算符化规则

—访▽动量算符

-d

Ef访三能量算符

dt

方2

H=f+V=---V2+;7(f)哈密顿算符

2m

4波函数及波函数的统计解释

玻恩的统计解释：波函数在空间某一点的强度(振幅绝对值的平方)与该点找到

粒子的几率成正比。也就意谓着描写微观粒子的波乃是几率波。

•在t时刻，在r点附近的体积元di中找到粒子的几率为

5波函数满足的条件

I.平方可积条件/>=有限值

2.一般说来，波函数“(；”)1f-o>0

—•A

3.要求是〃(rj)单值函数

4.波函数及其各级微商要具有连续性

6态叠加原理

若体系具有一系列不同的可能状态{曲,出…},则它们的线性组合¥=

Cl+7+C232+…也是该体系的一个可能的状态，各态出现的几率为

其中C/.C2…为复常数。

7不确定关系

是力学量的不确定度之间的关系

-Ar=v\p-Ar=Ar-A/?〜〃/2

8定态薛定渭方程

(1)前提：微观粒子的势能函数U与时间t无关

定态薛定瑞方程

定态波函数

(2)处于定态的粒子其在空间某处出现的几率不随时间变化，即几率密度不是

时间的函数

一维无限势阱模型

(3)

粒子的势能具有如下形式U(x)=°(-

能量本征值:

n27i2n七

=nE(〃=1,23・・・)

8m6?]

本征函数:

A!sin——(X+Q),〃为正整数，国<。

凶＞a

(4)隧道效应

,在£>U0的情况下，入射粒子的一部分透过势垒进入x>a的区域

•在粒子能量次U0时的情况下，透射系数不为零经典理论无法解释

•隧道效应的本质是粒子具有波动和粒子的二象性，是经典力学无法解释的

(二)例题

例1证明在定态中，几率密度与时间无关。

证明：设定态波函数为

”(r,f)=0(r)exp[-j£7/%]

其复共班为

=°*(r)exp匹〃方］

根据几率密度定义w(r,r)=力(£，)〃*(r=0(r)0*(r)

所以dw/dt=0

例2一粒子在一维势场

8X<0

U(x)=<00<x<a

oox>a

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

解：分别写出三个区的薛定谓方程

在阱外(x<0,x>。)

一^^A^+U0(X)=E"，(X)(U-8)⑴

2max

在阱内(0<x<a)

h2d2(/>(x)

=E0(x)⑵

2mdx1

设薛定调方程在阱内和阱外的解分别为外,勿，根据关于薛定谤方程的边界条件的讨论，有

@=0x>a,x<0(3)

4(a)=我⑷，(0)=%(。)⑷

引入符号

2mE1/2

a=(5)

则(2)式化为

"?+aMx)=0(6)

dx~

其解为。=Asinar+8cosca

根据波函数的连续条件

(Asinaa+Bcoscxci)^=0(7)

(Asinaa+3cos助)后〃=0(8)

得到(xci—n7iB=0,Asinas=0

A不能为零，所以有

2

aa=n兀，an=n7rla,En=fian12m

tlTT

所以由=Asinax-Asin——x

na

根据波函数的归一化条件

J"J；dx=A?「(sin竺凶2dx=1

A=jl

例3求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。

解：第一激发态就是n=l的态，其波函数为

6=——caexp(-a2x2/2)

TC，

其几率密度

卬=帆|2=—exp(-a2x2)

71

色^=^^-exp^a2x2)(2x-2^z2x3)

dx71

令我=0,得到x=0,x=±l/a

dx

x=0不符合要求所以第一激发态几率最大的位置为

x=±l/a=±J-^-

(三)练习题

a"2x2

1、一维谐振子处在基态〃(x)=expF——cot],求

22

(1)势能的平均值"=机02//2

(2)动能的平均值亍="2/2加

4曰一严2/C2、」阮

提示：xexpGySr)ax=———

J-001

2、设f=0时；粒子的状态为

什(x)=A[sin2kx+—coskx]

求此粒子的平均动量。

3、在一维无限势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a,如果粒子的状态由波函数

以x)—Ax(a—x)

描写，A为归一化常数。求粒子动量的平均值。

4、设氢原子处于状态

1V3

4*)=万&⑺几(仇9)一-./I⑺几(-9)

求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的儿率和这些力学量

的平均值。

5、设一体系未受微扰作用时只有两个能级：Em,E02,现在受到微扰后'的作用，微扰矩阵

元为";2=”]=“；2都是实数。用微扰公式计算能量二级修正值。

6、基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即

「0z<0

一[/expf-t/v]t>0(?■为大于零的参数)

求经过多长时间后氢原子处在2p态的儿率。

(提示：根据跃迁选择定则只考虑从基态到“210的跃迁)

7、一维运动的粒子处在下面状态。

‘AxexpG疝)(x>0,2>0)

〃(x)=〈

[0(x<0)

(1)此波函数归一化；(2)求坐标的概率分布函数；(3)在何处找到粒子的几率最大。

(提示：£e~xxn~'dx=(n-1)!)

8、若在一维无限势阱中运动的粒子的量子数为n。求

(1)距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子的几率是多大

(2)n取何值时，在此范围内找到粒子的几率最大

9、考虑一个粒子受不含时势V(r)的束缚。

(a)设粒子的态用形式为“(「，。二双切力⑺的波函数描述。证明/Q)=Aexpji")

力2,

(A是常数)，而既r)必须满足方程——vV(r)+V(rW)=

2m

(b)证明(a)中薛定谓方程的解导致时间无关的概率密度。

10、考虑波函数

叭x,t)={Aexp(ipx/方)+BexpQipx/方))exp(-ip°t/2mh)

求出该波函数相应的概率流。

11、考虑质量为m的粒子束缚在形为

V(x,y,x)=V(x)+U(y)+W(z)

的三维势阱中，推导该情况的定态薛定调方程，分量变量以得到三个独立的一维问题。建立

三维态能量和一维问题有效能量的关系。

第3章量子力学中的力学量

(-)基础知识

1、算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号

2、算符的引入规则

3、算符的本征值和本征函数

4、简并degeneration

5、厄米算符本征函数的正交归一性

1(m=ri)

J%(FW,(F)dr=3削=«

0ri)

6、完备性(Completeness)

7、力学量的平均值(AverageValues)

:=|肃4+同24+…+同24

8、轨道角动量算符定义

A绘的本征方程：£2〃,“(6/)=/。+1»2九〃(仇力

1=0,l,2,3....nT称为角量子数，表征角动量的大小

BLz的本征值和本征函数

上工网@=向匕网哈

m=09±1,±2,±3,・••士/

9、类氢原子的波函数

(1)分离变量法求解定态方程，可以得到满足波函数条件的解

〃汕«，a。)=%(叫〃(a。)

在球坐标下，薛定谤方程变为

三仁3斗，色颌/)+」二位且=ERY

2mr'|_5rVdr)sin0dOdOsin_0d(p~Jr

(2)波函数正交归一性

10、本征能量

(1)能量取下列离散值时，才有满足波函数有限性条件的解

能量本征值/nZ2e：z221

rLe•-〃=1,2,3,・・・

24n~

(2)对氢光谱的解释

(3)能级简并度：电子的能级是A?度简并的

11、基本的对易关系：动量分量算符和与之对应的坐标分量是不对易的.

xmPn-Pnxm

(二)例题

1、证明对于算符A友。，证明下述恒等式成立

(1)[B,A]=4AB|

ZV人人/V人人ZK

(2)[A+B,C]=[A,C]+[B,C]

人人人人人八ZX./X

(3)[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]

证明：

人人人TV八八八人

[B,A]=BA-AB=-(AB-BA)=TAB]

人人人八人八八八A

[A+8,C]=(A+B)C—C(A+8)

八八八八八八八/V

=(AC+BC)-(CA+CB)

AA人人人人人人人人人人

=(AC-CA)+(BC-CB)=[A,C]+\B,C]

人人人人人人人人八人人人人

[A,BC]=ABC-BCA+BAC-BAC

八人八人八人人人-人人人

=ABC-BAC+BAC-BCA

八八八八八人八八八八

=(AB-BA)C+B(AC-CA)

八八八X***/X

=[A,B]C+B[A,C]

2、考虑如下算符

O#(x)=x3i//(x),6、i//(x)=x"火幻

dx

求对易关系

解：由等式可以看出

O=x3,0=x—

l2dx

-)〃(X)=(/3)W(X)-X二(%V(X))

dxax

dxdx

dxdx

=一3/〃(x)=一3。］〃(幻

=-3«

3、求出二维各向同性谐振子的本征函数和本征值；求能级的简并度，该系的哈密顿量是

A2分21

H=—++-mar(x2+y2)

2m2m2-

解：体系所满足的薛定谬方程为,

22

fiW(x,y)=［玖+△+工〃z

@2(—+y2w(x,y)=y)

2m2m2

采用分量变量法”(x,y)=X(x)Y(y)

则薛定谓方程变为

嗡+3同加+吟+-")xjxy

--F+-mco2x2XY+(--X驾+~ma)2y2XY)^EXY

2mdx122mdy22'

两边同除〃(x,y)=X(x»(y),得到

方2

1方2d2X22✓1d2y

+—1mcox=Ei--(-+—1mco2y2\)

X2mdx122mYdy22

方程左边只是x的函数右边仅是y的函数，欲使两边相等，只有两边均等于一常数时才能成

立，令此常数为E、.，于是有

力22

dX22

+-ma)xX=E.X(1)

2x

2mdx2x

h1d2Y

+—mco2y2Y=EY(2)

2mdy22，

式中Ey

方程（1）、（2）的分别是一维线性谐振子的所满足的定态薛定谓方程，它们相应的本征值分

别为

Ex=（4.+力①,Ey=（ny+g）力o）

所以有

E=Ev+EK=（〃*+〃、,+V）ha>=（〃+

在〃空y间，有〃**<+"y、,=〃，所以体系是〃+1度简并的。

4、考虑具有哈密顿量

fP122

H1=-----F—mcox

2m2

的一维谐振子，我们定义新的算符

P=/P,：=xylmcolh

ylmcoh

于是百=掾（溟+户2）。

（1）计算对易关系/,0]

（2）定义算符

©二+（。+商=、mcoi八

区"+嬴P'

mcoi人

-----x-------p

T°力）=2力mco

计算&与4+的对易关系。

解：（1）根据犬与仄的对易关系以力]二访；有

A八人八人.DI--------/--------D

[P,Q]=PQ-QP=■,xylmcolti-xylmco/h.

-Jmcohylmcoh

（2）利用上边的结果，可以写出

a+a=-(Q-iP)((Q+iP)

=-[Q2+P1-i(PQ-QP>]

=-[Q2+P2-i[P,Q]]

=；[Q2+户+1]

于是我们有

方=?(02+户2)

=hco(a+a+—)

现在我们开始计算(5+与4的对易关系

[a+,a]=^Q-iP,Q+iP]=i[Q,户1=一1

(三)练习题

1、谐振子在，=0时刻的波函数是

”(x,0)=6AI//、+V24%+Ak

这里〃“是谐振子第n个能态的定态本征函数，计算

(a)常数A

(b)对于所有的t求波函数科(xj)

2、设义(r,/)和〃2(r,f)是薛定谬方程

ih-w=------V咳+V(r)打

dt2m

的两个解，证明J%*%dr与时间无关。

第4章微扰理论

(一)基本知识

1、微扰理论的任务就是从H。的本征值和本征函数出发，近似求出经过T微扰后

的本征值和本征函数。

将体系的哈密顿量写为：

方匕=("°)+欣')％=£>"

将能级和波函数按入展开

用苦+型+说黑+…

一”=必°）+之吸）+先必2）+一.

靖），耳,，心，H分别表示能量和波函数的一级、二级修正

准确到一级近似，体系的能级和波函数是

E„=簿°）+H1nn=片。＞+J3。喈记。）八

…S‘/

准确到二级近似,体系的能级为

纥=£7+”：“…

，*"纥一上7

（二）例题

例1设粒子在一维无限深势阱（0,a）中的粒子，受到微扰

(0<xv〃/2)

w)=<

G(Q/2<XVQ)

的作用，求一级近似下粒子的基态能量

解：粒子的哈密顿算符为方=方（。）+6，

粒子的能量基态本征函数和基态能量为

j2/asin—,(0<x<a)

a

0,(X<0,X>4Z)

E(o)=

2ma

基态能量的一级修正为/=/瞰*(幻方州:°)(幻公

=—{hsin2(—x)t/x+—「csin2(—

aJoaaJfl/2a

2haca1、

二(5155x)=2(z,+c)

一级近似下的基态能量为

42方21.

--十;;S+c)

2ma2

E,=E；。）+=耳8+JV，）*/?%⑼dr

（三）练习题

1、设一体系未受微扰作用时只有两个能级：EOI,EO2,现在受到微扰力'的作用，微扰矩阵

元为=a,H'[l=H!n="a力都是实数。用微扰公式计算能量二级修正值。

第5章晶体结构

（一）主要知识

1、晶体结构：

*晶体的性质与其中原子的种类和存在的质粒形态——基元（原子、分子、离

子或它们的集团）有关，也与这些基元的排列方式有关.晶体的结构就是指基元

在晶体中的排列方式.在讨论晶体的结构时，把基元都抽象成为格点，因此格点

的排列规律就反映了晶体的结构，称为晶格结构或晶体结构.格点也就是基元

在晶体中的平衡位置.

*由格点排列而成的空间格子称为布拉菲格子（Bravaislattice）;把具体的基元

以相同的方式、重复地放置在布拉菲格子的格点上即得到整个晶体的结构.因此

可以说，布拉菲格子是晶体结构形式的一种理想概括.晶体结构的基本特点就是

具有周期性（平移对称性）和对称性.

2、晶体的共性

长程有序性

—晶体中的原子都是按一定顺序规则排列，至少在微米量级范围内是有序排

列

-长程有序是晶体材料具有的共同特征

-在熔化过程中，晶体长程有序解体时对应着一定熔点

-多晶体：由许多晶粒组成，在每个晶粒范围内规则排列

-单晶体：在整个范围内原子都是规则排列的

单晶体不见得是由同种元素组成

晶面夹角守恒：

属于同一品种的晶体，两个相对应晶面之间的夹角恒定不变。

晶体具有各向异性特征

一晶体的物理性质在不同方向上存在着差异，这种现象称为晶体的各向异性

3、密堆积结构：

可把原子看成是刚性球，在一个平面内紧密排列（一个球的周围有6个球）

而构成密排面，然后再把许多密排面上下紧密堆积起来，即形成密堆积结构.密

堆积的方式可有多种：

①如果是ABAB…型堆积，则形成六角密堆积结构；每一个球与周围的12个

球相接触，则配位数为12.是由2套Bravais格子构成的复式晶格.金属Be,Mg,

Zn,Co,Cd等都具有六角密堆积结构.理想六角密堆积的c/a=1.633;实际上，Be

的c/a=1.566,Cd的c/a=1.885,其余的在其间）.

③密堆积方式的多型性（polytypism）:密排面堆积的重复周期也可以大于3

层，则密堆积方式有无穷多种.例如，SiC,PbI2,CdI2,可以有多种所谓多型体

（polytype）,差别只是密排面的堆积顺序不同，能量的差别很小；一般是层状结构,

层间的键合远弱于层内.

4、六角密堆积（hep）

第三层小球放在第一层小球之上，即重复第一层的排列，这样就形成了

ABABAB.......的密堆积方式。

・每一个球与周围的12个球相接触，则配位数为12

,由2套Bravais格子构成的复式晶格

•金属Be,Mg,Zn,Co,Cd等都具有六角密堆积结构

•理想六角密堆积的c/a=1.633;实际上，Be的c/a=1.566,Cd的

c/a=1.885,其余的在其间.

5、配位数

~由于布拉菲格子中的每一个格点都是相互等价的，则每一个格点周围的最近

邻格点数也是相同的；这个格点数就称为该布拉菲格子的配位数.

配位数可以给出相应晶体的许多信息.例如，若配位数=12,则该晶体具有密

堆积结构（在同一层内有6个最近邻格点，在上下层内各有3个最近邻格点）；若

配位数=4,则该晶体多半是共价晶体.

5、空间点阵

是由几何点规则地周期地排列而成的无限点阵，可看成由几何点沿空间三个

不共面的方向各按一定距离无限重复地平移构成

•由x射线衍射对固体的结构进行分析得知，晶态物质和非晶态物质区别之

点就在于：晶态物质是由原子、分子、离子或原子团在三维空间中有规则

地重复排列而组成的，这种组成晶体的原子、离子、分子或原子团通常称

为晶体的基本结构单元，简称基元。

•有些简单的晶体，如铜、金、银等，它的基元是单个原子.有些晶体包括

化合物晶体，如金刚石、氯化钠（NaCl）、氮化钙（GaF2）等，它的基元是由

两个或两个以上的原子组成.有些无机物晶体的基元可多达100个以上的

原子，如金属间化合物NaCd2的基元包含1000多个原子，而蛋白质晶体

的基元包含多达10000个以上的原子.如果忽略晶体基元的具体细节，用

一个数学上的几何点来代表它.

6、Bravais格子：

*布拉菲格子的定义~布拉菲格子是矢量Rn=nlal+n2a2+n3a3的全部端点

（格点）的集合（ni为0和正负整数）.Rn称为布拉菲格子的格矢;al、a2、a3是三个

不共面的矢量，称为布拉菲格子的基矢.因此，布拉菲格子的所有格点都是几何

位置上等价、周围环境相同的;据此即可以判断一个格子是否布拉菲格子.

布拉菲格子反映了晶体的主要特点——对称性；其中原子排列的周期性，或

平移对称性，可用布拉菲格子表示为：平移任一格矢Rn,晶体保持不变.

7、晶格的周期性基矢

根据空间点阵学说，晶体结构可以用晶格来描述，晶体结构=基元+空间

点阵。但是，采用晶格来描述晶体很不方便，也不直观，为了更方便地描述

晶体结构，常采用原胞和基矢来描述。

8、原胞

布拉菲格子的原胞是指晶体中体积最小的周期性重复单元，可由基矢al、a2、

a3作边来构成（平行六面体）.原胞的体积为0=al.（a2Xa3）,与每个格点在

空间平均占有的体积相等.则每个原胞中只包含一个格点.由于基矢的选取方法

各种各样，则原胞也可以有各种选取方法；但是各种原胞都应该具有相同的体积,

并且只包含一个格点.为了克服这种原胞形状的任意性给分析带来的困难，对于

一个给定的布拉菲格子，其基矢往往已经有约定的选取方法（下面将示出）.

9、单胞（结晶学原胞）

布拉菲格子的原胞是晶体的最小周期性重复单元，只包含一个格点;而布拉菲

格子的单胞可包含一个或数个格点，体积也可比原胞大（一倍或数倍），是反映

了晶体的一定对称性的周期性重复单元.例如，简单立方、体心立方和面心立方

晶格的原胞各不相同，但其单胞却都是立方体（包含的格点数分别是1、2和4）.

布拉菲格子的单胞在于强调其晶系归属以及所应有的点群对称性.

单胞的边长称为晶格常数.对于具有立方体单胞的晶体，其晶格常数就是一

个数；而对于其他的晶体则否.晶向、晶面和基元的标记，常常以单胞为基准.

两种常见的原胞：固体物理学原胞

结晶学原胞

固体物理学原胞--初基原胞，原胞

结晶学原胞——惯用晶胞，单胞

10、基矢primitivevector

每个方向上一定的平移距离称为点阵在该方向上的周期，在一定方向上有一

定的周期，不同方向上的周期的大小一般不相同，于是可选用三个不共面的方向

上的最小周期作为这三个不共面方向上的天然长度单位.并选取任一阵点作为原

点.由此原点引出这三个方向上的天然长度单位以构成三个初级平移矢量

al,a2,a3形成一个坐标系统，这样一个坐标系统便可用来描述整个空间点阵。这

空间点阵可用矢量Rn来描述

Rn=nlal+n2a2+n3a3,al,a2,a3通常称为基矢。我们把所有可用位矢来描述

的点阵布拉菲点阵，这是晶体结构的最重要概念

11、典型的晶格结构：

*简式晶格和复式晶格~如果基元中包含一个原子，则相应的晶格是简式晶

格；相反，如果基元中包含一个以上的原子，则相应的晶格是复式晶格.很显然,

简式晶格必然是布拉菲格子，每个原胞中只有一个原子.而复式晶格的每个原胞

中包含有多个原子，整个晶格可看成是由多个简单的子晶格——布拉菲格子复

合（套构）而成的.

12、面心立方（fee）布拉菲格子：

*三个基矢是从立方体的一个顶点到三个相邻的面心的矢量；

*原胞中只包含一个原子，单胞中含有4个原子（6X1/2+8X1/8=4）

*格点配位数=12.

*金刚石、闪锌矿（立方ZnS）、氯化钠、C60晶体、Al、Ag、Au、Pt、Cu、

Ni、Pb等具有面心立方的布拉菲格子.

13、金刚石结构和闪锌矿结构：

*由2套面心立方Bravais格子沿体对角线方向措开1/4对角线长度而构成.

*金刚石结构中虽然只有一种原子，但相邻的2个原子并不等价，则是复式晶

格，每个原胞中有2个原子.闪锌矿结构中相邻的2个原子是不同种类的，当然

是复式晶格.

*配位数=4,每个原子的4个最近邻形成一个正四面体.

*单胞是立方体，边长为晶格常数.立方体顶角和面心上的原子等价，但与立

方体中部的4个原子不等价.单胞中包含8个原子.

*Si和Ge具有金刚石结构.重要的III-V族和H-VI族半导体材料都具有闪锌矿

(立方ZnS)结构.

(二)例题

1、具有笛卡尔坐标(nl,n2,n3)的所有点形成什么样的布拉菲点阵？如果

(a)ni个为奇数，或全为偶数

(b)要求nl+n2+n3全为偶数

解：(a)若ni全为偶数，则点阵矢量R=(21,2m,2n),于是有：

R=l(2x)+m(2y)+n(2z)=/q+根令+na^

ciy==a?—2

显然由R定义的是一个晶格常数为2的SC点阵

若ni全为奇数，则点阵矢量为：

R=(2/+l)x+(2m+l)y+(2n+l)z

=l(2x)+m(2y)+n(2z)+(x+y+z)

显然由R定义的也是一个晶格常数为2的SC点阵，但相对

上面一个sc点阵位移了一个矢量(x+y+z),正好位于bcc位置

(b)nl+n2+n3全为偶数

R="£+%,+(2N_〃1一%)2

=〃R+%$+(N-4)2+(N-〃2)2

令1=N—〃i，m=N—%

R=(N—l)x+(N-m)y+(l+/n)z

又令n=N-l-m

R=(n+m)x+(H+/)y+(/+z

=〃(£+y)+/(5?+z)+m(z+x)

fee点阵矢量是&='1■"](£+》)+]%(9+2)+鼻4仁+炒

显然由R定义的是一个晶格常数为2的fee点阵

(三)练习题

一、填空题

1、初级晶胞是—的最小重复单元。初级晶胞必定正好包含布喇非点阵的一个

阵点。

2、维格纳-赛兹晶胞(W—S晶胞)是晶胞。

3、请列举三种简单晶体结构(例金刚石结构)—、—、-o

4、在结晶学中，属于立方晶系的布喇菲原胞有一、—和____三种。

二、简答题

1以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数

之比。

2解理面是指面指数低的晶面还是指面指数高的晶面？为什么？

3基矢为a1=石包=«j,a3=a(i+j+k)/2的晶体为何种结构？若

a3=«(j+k)/2+3ai/2,又为何种结构？为什么?

4若R〃/与R/询平行，R”“是否是R,〃的整数倍？以体心立方和面心立方结构证

*1*2*3"KIHKI'\'23

明之

5晶面指数为(123)的晶面ABC是离原点0最近的晶面，OA、0B和0C分

别与基矢4,a2,a?重合，除。点外OA、0B和0C上是否有格点？若ABC面

的指数为(234),情况又如何？

6验证晶面(210),(111),(01④是否属于同一晶带。若是同一晶带，其带轴方向的

晶列指数是什么？

7带轴为［001］的晶带各晶面，其面指数有何特点？

8与晶列［/上。］垂直的倒格面的面指数是什么？

9六角密积属于何种晶系？一个晶胞中含有几个原子？

10体心立方元素晶体，［111］方向上的结晶学周期为多大？实际周期为多大？

11面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大？该晶列在哪些晶面内？

12、试描述点阵和晶体结构的区别。

13、什么是布喇非点阵？为什么说布喇非点阵是晶体结构周期性的数学抽象？

三、计算题

1以刚性原子球堆积模型，计算以下格结构的致密度分别为：

(1)简立方，7/6(2)体心立方，技78(3)面心立方，/6

(4)六角密积，/6(5)金刚石结构，晶/16

2在立方晶胞中，画出(101)、(021)、(丘2)和(210)晶面。

3如图所示，在六角晶系中，晶面指数常用(〃&㈤表示，它们

代表一晶面在基矢为，ara3上的截距分别为

6/〃，生/k心〃，在c轴上的截距为c/加。证明：h+k=T,

并求出%&、A4834、ABz&A和4A3A四个晶面的

面指数。

4设某一晶面族的间距为d,三个基矢a?，23的末端分别

落在离原点的距离为〃3、3、4d的晶面上，试用反证法证明：质是互质的。

5证明在立方晶系中，晶列［〃如与晶面正交。

6如图所示，B、C两点是面心立方晶胞上两面心。

(1)求ABC面的密勒指数；

(2)求AC晶列的指数，并求相应原胞在座标系中的指数。

7试证明面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

8六角晶胞的基矢

a=75a/2i+a/2j,Z?=-V5a/2i+a/2j,c=ck

求其倒格基矢。

9证明以下结构晶面族的面间距：

(1)立方晶系：％+公+"产

22r/f

h+k+hkX+U

(3)六角晶系:

10求晶格常数为a的面心立方和体心立方晶体晶面族①滴2为)的面间距。

11证明晶面.他%)、(九%；%)及(/您；耳)属于同一晶带的条件是

%h2h3

h\h'2也=0

h；h；%

12、某晶体的每个阵点上有一个同中原子，其初基矢量(以公计)为

AAAAA

-3xa2-3y%=1.5(x+y+z)

试问：

(a)此晶体的布喇非点阵是哪种类型？

(b)计算初级晶胞和惯用晶胞的体积。

(c)计算六角密堆积结构的堆积比率。

13、闪锌矿的密度0=4.067x1()3依加-3,锌原子量4=65.37,硫的原子量

A,=72.6(,求闪锌矿结构的点阵常数。

14、碘化钾具有NaCl结构，其密度为3.13x103a6-3

试求

(a)基本的面间距离

Oa

(b)立方晶胞边长

15、如图所示，B