2021届重庆市高三上学期第一次质量检测数学试题(解析版)

2021届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测数学试题一、单选题1．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】求出集合A，B，再求出交集即可.【详解】，，由得，解得或，或，.故选：C.【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了求函数值域，考查了分式不等式的解法，在求集合时，注意描述对象的确定，属于简单题.2．已知（为虚数单位），则实数等于（）A．1 B． C． D．0【答案】A【解析】由可知其实部大于0，虚部等于0，化简出，即可求出.【详解】由可知其实部大于0，虚部等于0，,，解得.故选：A.【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查复数概念的理解，属于基础题.3．命题“，”的否定是（）A．，均有 B．，均有C．，使得 D．，使得【答案】C【解析】全称命题的否定需要把改为，把结论否定即可.【详解】“，”的否定是，使得，故选：C【点睛】本题主要考查了全称命题的否定是特称命题，属于基础题.4．下列函数中，值域为且在定义域上为单调递增函数的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用单调性的判断方法和函数值域的求法逐个分析判断即可【详解】对于A，函数的定义域为，且函数在上单调递减，在上单调递增，所以A不满足；对于B，函数的定义域为，且函数的值域为，函数在上单调递增，所以B满足；对于C，函数的定义域为，由，得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以C不满足；对于D，函数的定义域为，由，可知函数在上为单调递增，因为，所以，所以，所以，所以函数的值为，所以D不满足，故选：B【点睛】此题考查函数单调性的判断，考查函数值的求法，属于基础题5．已知，若，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据可得则是定义在的偶函数，且在单调递减，则等价于，建立不等式组即可求解.【详解】可知的定义域为，关于原点对称，且，则是定义在的偶函数，，可知在单调递减，在单调递减，则等价于，，解得.故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.6．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声调（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为70米，若同学大喝一声的声强大约相当于100个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（）米.A． B．7 C．50 D．60【答案】D【解析】设同学的声强为，喷出泉水高度为，则同学的声强为，喷出泉水高度为70，则由可得，，从而可求出的值【详解】设同学的声强为，喷出泉水高度为，则同学的声强为，喷出泉水高度为70，，，相减得.故选：D【点睛】此题考查函数的实际应用问题，考查对数的运算，考查分析问题的能力，属于中档题7．已知函数，，若方程有4个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意画出函数的图象，令，，则关于的方程有两个小于1的实根，数形结合即可得解；【详解】解：因为，所以的图象如下所示，因为所以开口向下，且最大值为1的二次函数，令，，则关于的方程有两个小于1的实根，即与，有两个交点，由图象易知当且仅时满足题意.故选：C【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，考查数形结合思想，属于中档题.二、多选题8．已知函数，则下列区间中含零点的是（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】计算出各端点处的函数值，若两端一正一负即可判断出存在零点.【详解】，，，，，根据零点的存在性定理可知和存在零点.故选：AD.【点睛】本题考查零点的存在性定理，属于基础题.9．下列四个函数中过相同定点的函数有（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】分别求出各个函数的定点，即可判断.【详解】对于，当时，，则过定点；对于，当时，，则过定点；对于，当时，，则过定点；对于，当时，，则过定点,故A，B中的函数过相同的定点.故选：AB.【点睛】本题考查函数定点的判断，属于基础题.10．已知函数关于点对称，对任意，都有成立，且当，时，都有，则下列结论正确的有（）A．B．函数为偶函数C．函数在上有1011个零点D．函数在上为减函数【答案】ABC【解析】根据题意可判断关于对称且关于对称，可知在单调递增，可得出函数是周期为4的函数，即可依次判断每个选项正误.【详解】函数关于点对称，关于对称，，，关于对称，当，时，都有，在单调递增，综上，可画草图，可知，是以4为周期的函数，则，，故A正确；可看作向左平移5个单位得到，平移后关于轴对称，是偶函数，故B正确；在的零点个数有个，故C正确；在的图象和在的图象一致，应为增函数，故D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性、周期性的综合运用，属于中档题.11．已知，且实数，满足成立，则以下正确的是（）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为9 D．的最大值为3【答案】ABD【解析】根据条件可得，其中，，即可判断每个选项正误.【详解】为奇函数，，定义域为，则，，并且，，A正确；当，时，最小值为，最大值为3，B、D正确；，C错误.故选：ABD.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，属于基础题.12．已知，，则（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】根据条件表示出，即可分别判断各个选项的正误.【详解】，又，即，由得，则，得，则，所以A正确；可知，，则，故C正确；对于B：∵B错；对于D：由和知与均递减，再由，的大小关系知D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查指数式和对数式的互换，考查大小的判断，属于基础题.三、填空题13．______.【答案】【解析】利用指数和对数的运算性质运算即可.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查指数和对数的混合运算，属于基础题.14．已知函数（其中为的导函数），则______.【答案】0【解析】先求出函数的导数，代入，可求出，即可求出函数解析式，得出.【详解】，，，，.故答案为：0.【点睛】本题考查导数的求解，属于基础题.15．已知，，若对任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】由条件知，分别求出和，即可建立不等式求解.【详解】由条件知，而，，，由分母递增知递减，，所以.故答案为：.【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，考查指数函数的单调性，考查含有根式函数的单调性，属于基础题.16．已知函数为奇函数，且的图象和函数的图象交于不同两点、，若线段的中点落在直线上，则实数的值为______.【答案】【解析】由函数是奇函数得，从而求出，联立两个函数方程，利用可求出.【详解】为奇函数，，即，解得，经检验为奇函数，设，联立两个函数的方程，消去得到关于的二次方程，，因为中点纵坐标为，所以，，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，考查函数的交点问题，属于中档题.四、解答题17．已知二次函数顶点坐标为，且图象和轴两交点间的距离为4.（1）求函数的解析式；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题可知和轴两交点为，，故可设，然后将顶点坐标为代入，可求出的值，从而可得到二次函数的解析式；（2））设，则在上恒成立，所以，进而可求出的取值范围【详解】（1）由题可知和轴两交点为，，故可设，由题可知：，所以.（2）设，则在上恒成立，故有.【点睛】此题考查二次函数解析式的求法，考查一元二次不等式恒成立问题，考查转化思想和计算能力，属于中档题18．为了解学生课余学习时间的多少是否与成绩好坏有关，现随机抽取某校高三年级30名学生进行问卷调查，得到如下列联表（以平均每天课余学习时间是否达到4小时，最近一次月考总成绩是否在年级前100名（含）为标准）：4小时以上不足4小时合计前100名（含）2100名以后18合计30已知在这30人中随机抽取1人，抽到最近一次月考总成绩在前100名的学生的概率为.（1）请将上面的列联表补充完整，并据此判断是否有％的把握认为课余学习时间达到4小时和成绩在年级前100名有关？说明你的理由；（2）通过统计发现，这30位同学最近一次月考数学成绩（分）近似服从正态分布，若这30位同学所在的高三年级有800人，试以这30人的成绩分布情况估计高三年级最近一次月考数学成绩在130分及以上的大概有多少人？（最后结果小数部分四舍五入成整数）参考公式：，其中，，.【答案】（1）答案见解析，有，答案见解析；（2）127人.【解析】（1）根据抽到最近一次月考总成绩在前100名的学生的概率为，设这30人中有人在前100名，由，解得，完成列联表，然后利用，求得，与临界表对照下结论.（2）根据数学成绩（分）近似服从正态分布，则由由题可知求解.【详解】（1）设这30人中有人在前100名，则由题可得：，解得，故联表补充如下：4小时以上不足4小时合计前100名（含）628100名以后41822合计102030所以，故有％的把握认为课余学习时间达到4小时和总成绩在年级前100名有关.（2）由题可知故高三年级800人中超过130的大约有（人）.【点睛】本题主要考查独立性检验和正态分布的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若存在极小值，且极小值大于，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）求出函数的导数，讨论的范围，从而判断函数的单调性；（2）由（1）中所得的单调性可求出极小值，列出不等式即可求解.【详解】（1），因为，故由，①当时，在上恒成立，此时在上递增②当时，，令或，此时在和上递增，在上递减③当时，，令或此时在和上递增，在上递减.（2）由（1）的分析可知：当时，有极小值，由题可知.当时，有极小值，显然满足，故，综上，.【点睛】本题考查含参函数单调性的讨论，考查极小值的判断，属于中档题.20．重庆作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，近几年每年都有大量游客来重庆参观旅游.为了更合理的配置旅游资源，管理部门对首次来重庆旅游的游客进行了问卷调查.据统计，其中的游客计划只游览千年古镇——磁器口古镇，另外的游客计划既游览磁器口，又准备“打卡”洪崖洞景区.每位游客若只游览磁器口，则记0分，若既游览磁器口，又“打卡”洪崖洞，则记一分.假设每位首次来磁器口游览的游客是否“打卡”洪崖洞相互独立，并且以频率估计概率.（1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为，求的分布列和数学期望；（2）在参观洪崖洞景区某特色景点入口处景区摄影部会为每位游客拍一张与该景点的合影，游客若要带走则需支付20元，没卖出去的照片统一销毁.运营一段时间后，经过统计，只有20％的游客会选择带走照片.经过调查研究发现照片收费与游客消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的概率平均增加.已知每张照片的综合成本为3元，若每位游客是否购买照片相互独立，则应如何定价才能使得每天的平均利润最大？【答案】（1）分布列见解析，；（2）每张照片定价（元）时利润最大.【解析】（1）由题可知可能的取值为0，1，2，3，求出各个取值的概率，即可写出分布列，求出数学期望；（2）设在20元基础上下调元，建立函数关系，根据二次函数的性质可求出.【详解】（1）由题可知可能的取值为0，1，2，3，且有，，，，所以的分布列为：0123.（2）假设在20元基础上下调元，则每张照片的平均利润为：，易知当时，即每张照片定价（元）时利润最大.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，属于基础题.21．已知椭圆上任意一点到其左右焦点、的距离之和均为4，且椭圆的中心到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知以椭圆右顶点为直角顶点的动直角三角形斜边端点、落在椭圆上，求动直角面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由距离之和为4可得，由到直线的距离为可得，求出，即可写出椭圆方程；（2）设所在直线，联立椭圆，写出韦达定理，利用可求出，表示出三角形面积，即可求出最大值.【详解】（1）由题可知.（2）由题易知斜边不可能和轴平行，故可设所在直线，联立消去整理得：，设，，则有，，，由题可知（舍）或可得所在直线方程为：，恒过定点，所以，令，，则，在上递增，所以，所以面积的最大值为，此时所在直线方程为：.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中三角形面积的最值问题，属于较难题.22．已知函数.（1）若函数在点处的切线经过点，求实数的值；（2）若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出的导数，求，斜率为，写出切线的方程，再将点点代入切线方程即可求出实数的值；（2）易知为方程的根，只需证明当和时原方程均没有实数解即可，分别讨论，当时，，，方程的解得情况，以及当时，，，方程的解得情况，即可求出实数的取值范围.【详解】（1），所以在点处的切线的斜率，又，所以切线的方程为：，即，由经过点可得：.（2）易知为方程的根，由题只需说明当和时原方程均没有实数解即可.①当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解若，，，令