数列递推公式的九种方法

PAGE9数列递推公式的九种方法求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法mw.w.w.k.s.5.u.c.o例1在数列{}中，,，求通项公式.解：原递推式可化为：则，……，逐项相加得：.故.二、作商求和法例2设数列{}是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3…），则它的通项公式是=▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：=0∵＞0，则……，逐项相乘得：，即=.三、换元法例3已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求通项公式（1986年高考文科第八题改编）.解：设，原递推式可化为：是一个等比数列，，公比为.故.故.由逐差法可得：.例4已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求通项公式。解由得：，令，则上式为，因此是一个等差数列，，公差为1.故.。由于又所以，即四、积差相消法例5设正数列，，…，，…满足=且，求的通项公式.解将递推式两边同除以整理得：设=，则=1，，故有⑴⑵…………()由⑴+⑵+…+()得=，即=.逐项相乘得：=，考虑到，故.五、取倒数法例6已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。解将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.六、取对数法例7若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁（2002年上海高考题）.解由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列，，即.七、平方（开方）法例8若数列{}中，=2且（n），求它的通项公式是.解将两边平方整理得。数列{}是以=4为首项，3为公差的等差数列。。因为＞0，所以。八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：1、（A、B为常数）型，可化为=A（）的形式.例9若数列{}中，=1，是数列{}的前项之和，且（n），求数列{}的通项公式是.解递推式可变形为（1）设（1）式可化为（2）比较（1）式与（2）式的系数可得，则有。故数列{}是以为首项，3为公比的等比数列。=。所以。当n，。数列{}的通项公式是。2、（A、B、C为常数，下同）型，可化为=）的形式.例10在数列{}中，求通项公式。解：原递推式可化为：①比较系数得=-4，①式即是：.则数列是一个等比数列，其首项，公比是2.∴即.3、型，可化为的形式。例11在数列{}中，，当，①求通项公式.解：①式可化为：比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化为：则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.∴.利用上题结果有：.4、型，可化为的形式。例12在数列{}中，，=6①求通项公式.解①式可化为：②比较系数可得： =-6，，②式为 是一个等比数列，首项，公比为.∴即故.九、猜想法运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出……，然后猜想出满足递推式的一个通项公式，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。例13在各项均为正数的数列中，为数列的前n项和，=+，求其通项公式。求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如是常数）的数列形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①若①有二异根，则可令是待定常数）若①有二重根，则可令是待定常数）再利用可求得，进而求得．例1．已知数列满足，求数列的通项．解：其特征方程为，解得，令，由，得，．例2．已知数列满足，求数列的通项．解：其特征方程为，解得，令，由，得，．二、形如的数列对于数列，是常数且）其特征方程为，变形为…②若②有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值．这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得．若②有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值．这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得．此方法又称不动点法．例3．已知数列满足，求数列的通项．解：其特征方程为，化