差分与差分方程的概念

特征方程特征根解：∴通解为:

课前练习代入通解得所求特解：将代入以上两式，得：安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics§10.6差分与差分方程的概念三、常系数线性差分方程解的结构一、差分的概念二、差分方程的概念微积分电子教案§10.6差分与差分方程的概念微分方程差分方程区别未知函数为连续型未知函数为离散型两者性质相近，差分方程在经济中应用更广泛，象统计某经济量，以天、日为单位。研究函数y=f(t)在t时刻的变化速度问题.①若y=f(t)为连续函数,在点t

处的变化速度为一、差分的概念1、问题②若y=f(t)为离散函数,变化速度差商——微商差商：——差分表示f(t)在t(整数)处变化速度的近似值。

设y=f(x),记为yx

,其中

x(通常表示时间)的取值为离散的等间隔整数值:x=0,±1,±2,…,则yx+1-yx称为函数yx在x处的差分,也称一阶差分,记为:2、差分的定义一、差分的概念例1.求下列函数的差分：⑴解：⑵⑶常数的差分为0幂函数的差分次数降低1次指数函数的差分是原指数函数的若干倍一、差分的概念解：一、差分的概念例2

求下列函数的差分3、差分的四则运算法则一、差分的概念参照导数的四则运算法则学习⑴二阶差分:差分△yx在x处的差分称为yx在x处的二阶差分,记为△2yx类似地有:⑵高阶差分:二阶和二阶以上的差分统称为高阶差分.4、高阶差分一、差分的概念解一、差分的概念例3

求解：一、差分的概念例4解：（公式）一、差分的概念例5引例：已知电视机厂第x个月月初的库存量为Rx

，该月内生产、销售分别为m,n，则下月初库存量Rx+1为：差分方程二、差分方程的概念定义1:

含有自变量x以及未知函数不同时期值的函数方程,称为差分方程。未知函数下标的最大差值称为该差分方程的“阶”。二阶差分方程一阶差分方程一阶差分方程1、两种定义与阶一般形式:反映了未知函数不同时期值二、差分方程的概念定义2：含有未知函数差分的方程，称为差分方程。如：二阶差分方程三阶差分方程其中未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶。一阶差分方程1、两种定义与阶一般形式:二、差分方程的概念差分鸭方程厕的两倚种形朝式可榴以相相互转冈化,但“阶数”可能道会不养等价耗。如伏：二阶她差分祸方程转化痒为另智一种痰形式误：即：一阶甲差分悬方程⑵约定以定义1为准钥，今睬后遇释到第呆二种问形式花的差桌分方椅程要戚展开遭，化录为第趁一种抖形式壮后再小定它染的阶胁数(∵经济队领域绑中只仍讨论伏形如累定义1型的铅差分助方程)2、对授定义遗的说住明与摇约定⑴对定蕉义的裕说明二、换差分贷方程势的概教念解例6下列戒等式蝴是差轮分方屿程的慢有(墨).二、涨差分狸方程却的概晒念解例7确定拴下列雨方程滔的阶若将贫已知艰函数y=(x)代入确差分协方程贪，使粪得方阻程两初边成夫为恒骆等式下，则抽称此葱函数盘为差分跨方程拘的解.3、解嫁的定路义二、修差分渗方程伏的概胃念4、通收解、膏特解捐与特侨注⑴通解:含有独立的任意河常数,且常示数个数乳与差道分方责程的骄阶数肯相同,这样泄的解奏称为魂差分享方程俯的通库解。⑵特解:不含辨有任磁意常漫数的解圈称为窗特解系。(或在谨通解舌中给许任意段常数成以确辨定的将值而咳得到朵的解支称为滤差分勤方程敲的特阔解)★⑶差分浩方程模解的坝重要兔性质里：“时滞复性”差分黄方程泡中自高变量滨超前蹈或滞鸭后相恋同的浓时间倾间隔舍，而丸方程纷结构酱不变屯，则著由此艰得到各的新踏方程盟与原兆方程稳有相尝同的辰解，沙换言妈之，食新老乒方程络为同脂解方乞程。二、啊差分寒方程茎的概控念规定：标准轨差分方程战中最潜小下压标为x。例如著：即：注：懂标准殿化就室是变慨量替灿换。应将匆差分泡方程误化成阳标准播方程,然后悬再求鞋解。如：二、牌差分须方程她的概派念⑴n阶常秆系数身线性匙齐次谣差分贱方程三、脑常系症数线笋性差胖分方肤程解哗的结区构1、标准弯形式⑵n阶常喂系数甘线性非齐次拔差分布方程二阶常系烤数非稿齐次差分荒方程一阶常系伍数非加齐次差分枝方程三阶线性扩非齐款次差分扑方程三阶线性亭齐次差分钱方程(系数显不是辰常数)三、缩慧常系省数线犯性差射分方薯程解丙的结盐构定理1(叠加立原理)若y1(x),y2(x),绪…,yk(x)是n阶线穗性齐恶次方言程⑴的k个特绝解，座则它英的线掩性组铃合仍为⑴的解。(其中C1,C2,…溪,Ck为k个任擦意常纱数)2、线横性差歇分方候程解栋的结仅构定鲁理⑴齐次矮线性慕差分贱方程约的通趴解结苹构：(与线交性微窑分方卷程类袭似)三、模常系袍数线宪性差轿分方仓程解洪的结蔽构问题:定理2(通解载结构远定理)若y1(x)，y2(x)，…，yn(x)是n阶线矮性齐奶次差桂分方露程⑴的n个线勺性无筐关的蛮特解,则其帝通解捕为(其中C1,C2,…糊,Cn为n个任姿意常附数）三、蹲常系将数线尼性差闪分方碍程解涂的结侄构那么克称这泄些函法数在载区间付内线性榜相关柱；否则冷称线性已无关.注：设为定义在区间内的个函数．如果存在个不全为零的常数，使得当在该区间内有恒等式成立三、粒常系疮数线庸性差劈燕分方那程解隙的结朽构⑵非齐次陵线性美差分绪方程天的通愿解结柔构：定理3设是阶常系数非齐次线性差分方程

的一个特解,是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,那么是阶常系