第三章学案几何概型

开始学点一学点二学点三学点四学点五学点六1.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为

，简称为

.2.在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：P(A)=

.3.均匀随机数均匀随机数就是在一定范围内,

产生的数,并且得到这个范围内的每一个数的机会一样.几何概率模型几何概型随机构成事件A的区域长度（面积或体积）/试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)子区域A的几何度量返回4.［0,1］间随机数的产生在计算器中应用

可连续产生［0,1］范围内的均匀随机数.不同的计算器具体操作过程可能会不同.5.随机模拟法的应用随机模拟法可用来求

（特别是

）的面积的近似值，或求

.随机函数某些特殊图形不规则图形某些量(如π)的近似值返回学点一与长度有关的几何概型的求法【分析】本题考查与长度有关的几何概型的求法.某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过(假设每一辆车带走站上的所有乘客),乘客到达汽车站的时间是任意的,求乘客候车时间不超过3分钟的概率.【解析】这是一个几何概型问题.记A=“候车时间不超过3分钟”.以x表示乘客到车站的时刻,以t表示乘客到车站后来到的第一辆汽车的时刻,作图3-4-3.据题意,乘客必然在［t-5,t］内来到车站,故Ω={x|t-5＜x≤t}.返回若乘客候车时间不超过3分钟,必须t-3≤x≤t,所以A={x|t-3≤x≤t},据几何概率公式得P(A)==0.6.【评析】(1)把所求问题归结到x轴上的一个区间内是解题的关键,然后寻找事件A发生的区域,从而求得μA

.(2)本题也可这样理解:乘客在时间段(0,5］内任意时刻到达,等待不超过3分钟,则到达的时间在区间［2,5］内.图3-4-3返回在两端相距6m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于2m的概率是多少?解:灯挂在绳子上的每一个位置都是一个基本事件,即整个区域的几何度量为μΩ=6m.记“灯与两端距离都大于2m”为事件A,则把木杆三等分,当绳子挂在中间一段上时,事件A发生,即μA=2m.所以由几何概型的概率公式,得P(A)＝.返回学点二与面积有关的几何概型的求法1.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达,试求这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率.【分析】本题考查与面积有关的几何概型的求法.【解析】设A={两艘船中至少有一艘停靠时等待}.建立平面直角坐标系如图3-4-4,x轴表示甲船到达的时间,y轴表示乙船到达的时间,则(x,y)表示的所有结果是以24为边长的正方形.图3-4-4返回事件A发生的条件是0＜x-y＜6或0＜y-x＜6,即图中阴影部分,则μΩ=242,μA=242-182.∴P(A)=,即这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率是.【评析】(1)甲、乙两船都是在0～54小时内的任一时刻停靠,故每一个结果对应两个时间;分别用x,y轴上的数表示,则每一个结果(x,y)就对应于图中正方形内的任一点.(2)找出事件A发生的条件,并把它在图中的区域找出来,分别计算面积即可.(3)这一类问题我们称为约会问题.返回2.设有一等边三角形网格,其中各个最小等边三角形的边长都是cm,现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上,求硬币落下后与格线没有公共点的概率.【分析】考查几何概型中与面积有关的问题.【解析】记A={硬币落下后与格线没有公共点},如图3-4-5所示,在等边三角形内作小等边三角形,使其三边与原等边三角形三边距离都为1,则等边三角形的边长为,由几何概型得概率为两三角形面积的比,即由概率图3-4-5返回的公式得P(A)=【评析】求出面积是解题关键.返回甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,过时即可离去,求两人能够会面的概率.解:按照约定,两人在6点到7点之间任何时刻到达会面点是等可能的,因此是一个几何概型,设甲、乙两人到达的时间为x,y,则|x-y|≤15是能够会面的先决条件.以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间,则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.返回在平面上建立直角坐标系如图,则(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形,而可能会面的时间用图中的阴影部分表示.这是一个几何概型问题,由等可能性知

P(A)=答:甲、乙两人能够会面的概率是.返回学点三与体积有关的几何概型的求法在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少?【分析】本题考查与体积有关的几何概型.【解析】设A={取出10毫升种子,含有病种子},则μΩ=1000毫升,μA=10毫升,∴P(A)=,即取出种子中含麦锈病的种子的概率是0.01.返回【评析】(1)病种子在这1升种子中的分布可以看作是随机的,有无限个结果,并且是等可能的,是几何概型.取得的10毫升种子可看作构成事件的区域,1升种子可看作是试验的所有结果构成的区域.(2)要注意使用“几何概型”的条件.返回如图3-崇4-头7所示,有一优杯2升的乳水,其中表含有吩一个撞细菌,用一方个小喜杯从奔这杯妖水中痛取出0.射1升水,求小庭杯水买中含红有这候个细讽菌的蚀概率.解:设A={小杯水中含有这个细菌}.则μΩ=2升,μA=0.1升,∴P(A)=图3-4-7返回学点侮四陪与角国度有允关的预几何跟概型俘的求蜓法如图3-掌4-普8,在等瓜腰Rt肃△AB毒C中,过直纺角顶棍点C在∠AC孕B内部灭作一掩射线CM,与线草段AB交于销点M,求AM＜AC的概员率.【分析】考查仆与角孙度有玻关的龟几何概型牵的求值法.图3-4-8【解析】在AB上取AC′=AC,则∠ACC′==67.5°.设A={在∠ACB内部作一条射线CM,与线段AB交于点M,AM＜AC},则μΩ=90°,μA=67.5°.∴P(A)=

返回【评析】(犯1)射线CM随机菌地落病在∠AC摄B内部,故∠AC阿B为所缘瑞有试贱验结沫果构商成的麻区域,当射竹线CM落在然∠AC子C′内部胶时AM＜AC,故∠AC嚷C′为构考成事盗件的驰区域.(2懂)事件升区域木是角叫域,可用洁角度洽刻画.返回若题辉目改续为:在等欲腰Rt忘△AB浮C中,在斜庆边AB上取画一点M,求AM＜AC的概两率,答案径一样晴吗?解:在AB上截取AC′=AC,AC′=设A={在斜边AB上取一点M,AM＜AC},则

μΩ=AB,μA=,∴P(A)=故不一样.返回学点脂五侨用随添机数捐模拟只法估侍算几蚊何概持率取一核根长桐度为3级m的绳钉子,拉直供后在母任意纯位置窗剪断,用随厦机模牌拟法鲜估算该剪得买两段垦的长圣都不卡小于1仪m的概你率有烫多大?【分析】在任穴意位舅置剪刺断绳至子,则剪螺断位壁置到番一端撕点的酸距离奶取遍赤［0,捏3］内推的任需意实妻数,并且铺每一森个实渗数被榨取到堂的可笨能性弄相等,因此餐在任工意位赏置剪智断绳糟子的县所有咱结果(即基疗本事炒件)对应眯［0,绸3］上肌的均的匀随毙机数,其中杜［1,顽2］上妇的均枣匀随乌机数吐就表劲示剪予断位顿置与怎端点青的距芝离在概［1,匹2］内,也就南是剪就得两熄段的熟长都依不小乳于1蚕m,这样持取得其的［1,重2］内础的随或机数擦个数睡与［0,盛3］内快的随乳机数塞个数揭之比尘就是虹事件A发生逃的频肌率.返回【解析】记事告件A={剪得脚两段谷的长往都不蹈小于1熟m}英.(1纷)利用桑计算寸器或籍计算调机产皮生一披组0到1区间停的均卖匀随睡机数a1=R挑AN隆D.(2林)经过撑伸缩棍变换,a=窑a1*3俱.(3脾)统计莲出试厨验总层次数N和［1,绢2］内挥的随滔机数下个数N1.(4梳)计算袖频率fn(A)=N1/N即为诸概率P(A)的近距似值.【评析】用随笨机模宣拟法谦估算句几何顷概率段的关红键是倍把事厉件A及基伶本事浅件空扛间对梢应的药区域渔转化绳为随扯机数侍的范横围.返回甲、岸乙两袍辆货芬车停横靠站以台卸醋货的号时间纷分别剥是6小时辈和4小时,用随很机模纷拟法半估算剂有一伟辆货仁车停慌靠站白台时超必须耕等待极一段跑时间疮的概纪率.解:记事泼件A“有一窝辆货命车停凶靠站晌台时纹必须姻等待昌一段糠时间另”.(1滤)利用嫂计算兆器或皮计算攀机产诸生两狗组0到1区间泰的均规匀随滨机数,x1=R释AN侮D,y1=R扰AN碍D.返回(2垄)经过茂伸缩挨变换,x=名x1*2恒4,y=像y1*2善4得到闪两组胡［0,粗24］上裕的均掌匀随直机数.(3重)统计容出试讨验总灭次数N和满桐足条男件-4沈≤x-会y≤6的点(x,段y)的个仆数N1.(4挡)计算烂频率fn(A)=,即为甩概率P(A)的近成似值.返回学点捐六耻用随渠机数小模拟奶法近题似计颠算不释规则宁图形今的面堂积利用蜡随机喜模拟亏的方仇法近闯似计银算图仍形(如图3-裂4-竭9所示)中阴毛影部机分的容面积:y=做x2+1与y=6所围糊成区版域的凳面积.【分析】在坐标系中画出矩形(x=,x=-,y=1和y=6所围成的部分),用随机模拟的方法可以得到阴影部分的面积的近似值.图3-4-9返回【解析】(1太)利用乏计算填器或慨计算论机产毙生两忽组0至1之间编的均项匀随效机数,a1=R晃AN见D,b1=R撇AN叙D;(2布)进行婆平移份和伸妇缩变示换,a=(a1-0淡.5廊)*卸2,b=5违*b1+1线;(3胁)数出至落在遭阴影毁内的嫌样本碌点数N1,总试野验次撑数为N,用几垂何概动型公峡式计严算阴驱影部温分的脚面积艰为S=.多做灶几次突试验,得到乡丰的面碰积会摘更精南确.【评析】要记住公式.其中N为总的试验次数,N1为落在不规则图形内的试验次数.返回利用核随机铃方法穿计算侧如图3-罩4-苗10中阴萌影部焦分(曲线y=2x与x轴,x=±巷1围成怨的部锯分)的面浑积.解:(犁1)利用榨计算谢机产册生两瓶组［0,埋1］上展的均算匀随圾机数,a1=R污AN绿D,b1=R跑AN归D.(2根)进行屯平移滋和伸炎缩变训换,a=(a1-0谎.5锋)*床2,b=b1*2材,得到妙一组匹［-1打,1］上少的均歇匀随廉机数浙和一既组［0,汽2］上续的均量匀随京机数.图3-4-10返回(3)统计试验总数N和落在阴影内的点数N1(满足条件b<2a的点(a,b)数).(4)计算频率,即为点落在阴影部分的概率的近似值.(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P=.∴.∴,即为阴影部分面积的近似值.返回(1孟)几何蜡概型始的两反个特边点:一是墓无限悠性,即在头一次棉试验集中,基本停事件绍的个膨数可脊以是女无限取的;二是叮等可犁能性,即每秀一基捎本事顷件发搅生的岔可能黑性是庙均等闹的.因此,用几肃何概董型求在解的娘概率湾问题捧和古剃典概造型的改思路遣是相致同的,同属莫于“毙比例乓解法顶”.即随编机事链件A的概债率可戴以用校“事百件A包含先的基能本事竹件所栋占的吨图形厘面积(体积热、长菜度)”与“劣试验价的基望本事扫件空检间所坦占总仙面积(总体唤积、滩长度)”之比呈来表尸示.(2亲)基本会事件场的“掏等可粘能性箱”的叔判断嗽很容宴易被富忽略,从而栏导致趟各种耳错误.1.如何裤理解竿几何匆概型?返回2.随机删数是趋如何盒产生上的?如何普理解与随机制模拟久试验?(1佛)随机脊数的缝产生利用痛计算圆器或物计算插机产袋生［0,等1］上谦的均屠匀随欺机数x1=R桌AN干D,然后暂利用炼伸缩艇和平刺移变婶换,x=拣x1*(b-骗a)+a,就可狱以得摄到［a,祸b］内的朽均匀循随机足数,试验烂的结唱果是摧［a,质b］上的霞任何蚁一个斗实数,并且美任何站一个龄实数爱都是猛等可肠能出失现的.(2劣)随机笼模拟忽试验用频任率估昼计概砍率时,需做早大量视的重瞒复试哲验,费时月费力,并且访有些举试验峡具有浙破坏劝性,有些伟试验帅无法冰进行,因而顷随机像模拟桌试验威就成海为一齿种重锄要的鸟方法,它可投以在般短时氏间内团多次孩重复.用计鞋算器像或计铃算机矿模拟胸试验,首先蛛需要踩把实爽际问混题转沾化为坛可返回以用状随机廉数来壳模拟创试验汽结果哄的概雷率模陵型,也就广是怎脉样用蛛随机后数刻奋画影馒响随岭机事雹件结姜果的示量.我们恳可以惭从以柔下几脖个方咸面考呢虑:①由炎影响家随机及事件损结果滑的量渣的个玻数确搜定需备要产脸生的飞随机变数组况数.如长嘉度型司、角详度型(