空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4空间向量的正交分解

及其坐标表示由平面向量基本定理知,平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,对于空间的任意一个向量,有没有类似的结论呢?如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O。对于空间任意一个向量p=OP,设点Q为点P在i,j所确定的平面上的正投影，由平面基本定理可知，在OQ,k所确定的平面上，存在实数z，使得OP=OQ+zk,而在i,j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序之前数对(x,y)，使得OQ=xi+yj.从而OP=OQ+zk=xi+yj+zk.xyzkijQPO一、空间向量基本定理：xyzkijQPO如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空间任一个向量p，存在一个有序实数组使得p=xi+yj+zk.xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量。思考：在空间中，如果用任意三个不共面向量a,b,c代替两两垂直的向量i,j,k,能得到类似的结论吗？空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.空间所有向量的集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。二、空间直角坐标系

单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用i,j,k表示

空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底i、j、k。以点O为原点，分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz

点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。

在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点，A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使OA=xi+yj+zk

在单位正交基底i,j,k中与向量OA对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.例1设且是空间的一个基底,给出下列向量组②③④,其中可以作为空间的基底的向量组有()A.1个B.2个C.3个D.4个分析:能否作为空间的基底,即是判断给出的向量组中的三个下向量是否共面,由于是不共面的向量,所以可以构造一个平行六面体直观判断A1AD1C1B1DCB设,易判断出答案例题讲解：BANCOMQP例2、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点。用向量表示和。变式空间四边形OABC中,M在OA上,OM=3MA,N在BC上,且BN=2NC,设,用向量表示CBMNOA巩固性训练1巩固性训练22.已知O,A,B,C为空间四个点,且向量不构成空间的一个基底,那么O,A,B,C是否共面?共面巩固性训练33.已知平行六面体OABC-O’A’B’C’,点G是侧面BB’C’C的中心,且用表示下列向量:COBC'AO'B'A'G小结：1、选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求；2