第七节 动能和动能定理

现代战斗机和攻击机的起飞时速，大都在250～350千米，如果自行加速滑跑，至少需要2000～3500米长的跑道．但目前世界上最大的航空母舰飞行甲板也不过330多米．在这种情况下，舰上的飞机怎样做到起飞无误呢？其办法是借用弹射器帮助它上天．现代航空母舰上多用蒸汽弹射器，其原理就是用蒸汽作动力，推动活塞和弹射装置运动做功，舰载机在活塞带动和自身的动力作用下，如箭一样弹射上天空，加上迎风速度，飞机会迅速达到离舰起飞的速度．目前一页\总数三十八页\编于四点1．明确动能的表达式及含义．2．能理解和推导动能定理．3．掌握动能定理及其应用．目前二页\总数三十八页\编于四点课前预习一、动能1．定义：物体由于____而具有的能．2．表达式：___________.3．特点：动能是____(填“矢量”或“标量”)，是______(填“过程量”或“状态量”)．4．单位：____.运动Ek＝mv2标量状态量焦耳目前三页\总数三十八页\编于四点二、动能定理1．内容在：力一个过程中对物体所做的功等于物体在这个过程中___________．2．表达式：W＝Ek2－Ek1＝

，其中Ek1表示物体的______；Ek2表示物体的______；W表示_____________，它等于各个力做功的______．3．适用范围：(1)动能定理既适用于恒力做功，也适用于____做功．(2)动能定理既适用于直线运动，也适用于__________．动能的变化初动能末动能合外力做的功代数和变力曲线运动目前四页\总数三十八页\编于四点4．(1)若Ek2＞Ek1即W总______0，合力对物体做____，物体的动能____；(2)Ek2＜Ek1即W总____0，合力对物体做______，物体的动能____．

减少＞正功增加＜负功目前五页\总数三十八页\编于四点怎样理解动能定理？1．动能定理(1)推导：设物体的质量为m，初速度为v1，在与运动方向相同的合力F的作用下发生一段位移l，速度增加到v2，如图所示，这个过程F做的功W＝Fl.根据牛顿第二定律有F＝ma，由匀变速直线运动的规律得

，可得W＝

.目前六页\总数三十八页\编于四点(2)动能定理：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．这个结论就叫做动能定理．(3)表达式：W＝Ek2－Ek1.2．动能定理的含义动能定理反映了合外力对物体做的功与物体动能的变化量之间的对应关系，是动能关系的具体体现．外力对物体做功的过程，正是其他形式的能与动能相互转化的过程．合外力做功的多少，量度了动能转化的多少．当合外力对物体做正功时，W＞0，则Ek2－Ek1＞0，即Ek2＞Ek1，物体动能增加，其他形式的能转化为动能；当合外力对物体做负功时，W＜0，则Ek2－Ek1＜0，即Ek2＜Ek1，物体动能减少，动能转化为其他形式的能．目前七页\总数三十八页\编于四点(1)W总是所有外力对物体做的总功，这些力对物体所做功的代数和等于物体动能的增量，即W总＝W1＋W2＋…(代数和)．或先将物体的外力进行合成，求出合外力F合后，再利用W总＝F合xcosα进行计算．(2)因为动能定理中功和能均与参考系的选取有关，所以动能定理也与参考系的选取有关．中学物理中一般取地面为参考系．(3)不论物体做什么形式的运动、受力如何，动能定理总是适用的．(4)动能定理是计算物体位移或速率的简捷公式，当题目中涉及位移时可优先考虑动能定理．目前八页\总数三十八页\编于四点(5)做功的过程是能量转化的过程，动能定理表达式中的“＝”的意义是一种因果关系在数值上相等的符号，它并不意味着“功就是动能增量”，也不意味着“功转变成了动能”，而是意味着“功引起物体动能的变化”．(6)动能定理公式两边的每一项都是标量，因此动能定理是一个标量方程．(7)若Ek2＞Ek1，即W总＞0，合力对物体做正功，物体的功能增加；若Ek2＜Ek1，即W总＜0，合力对物体做负功，物体的动能减少．名师提示：书写动能定理表达式时，左边应写出物体所受到的所有外力做功的代数和，而右边一定要用末状态的动能减去初状态的动能．

目前九页\总数三十八页\编于四点尝试应用1．一物体速度由0增加到v，再从v增加到2v，外力做功分别为W1和W2，则W1和W2的关系是()A．W1＝W2B．W2＝2W1C．W2＝3W1D．W2＝4W1答案：C目前十页\总数三十八页\编于四点怎样应用动能定理？与牛顿第二定律有何不同？1．应用动能定理的解题与步骤(1)一般步骤：①确定研究对象和研究过程．动能定理的研究对象只能是单个物体，如果是系统，那么系统内的物体不能有相对运动．②对研究对象进行受力分析．③写出该过程中合力做的功，或分别写出各个力做的功(注意功的正负)．如果研究过程中物体的受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功．目前十一页\总数三十八页\编于四点④写出物体的初、末动能．⑤按照动能定理列式并求解．(2)一述过程可用如下的程序图表示：目前十二页\总数三十八页\编于四点(4)若物体运动过程中包含几个不同的物理过程，解题时，可以分段考虑，也可以视为一个整体过程，应用动能定理求解．2．应用动能定理需要注意的问题(1)明确研究对象和研究过程，找出始、末状态的速度情况．(2)要对物体进行正确的受力分析(包括重力、弹力等)，明确各力做功的大小及正、负情况．(3)有些力在运动过程中不是始终存在，若物体运动过程中包含几个物理过程，物体运动状态、受力等情况均发生变化，则在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待．目前十三页\总数三十八页\编于四点(3)由于动能定理只涉及过程中各力的功及过程的初、末状态，不涉及过程中物体的运动性质、物体受的力是变力还是恒力，所以对牛顿第二定律和运动学公式不能解决的变力作用过程，可以用动能定理求解．3．动能定理和牛顿第二定律的比较(1)牛顿第二定律是力的瞬时作用规律，力的作用效果是立即产生加速度，将使物体的速度发生变化．动能定理是力对位移的积累作用规律，在某一过程中力对物体做的功产生的效果是使物体的动能发生了变化．(2)由于动能定理只涉及过程中各力的功及过程的初、末状态，而不涉及加速度和时间，一般用动能定理解决问题，比用牛顿第二定律和运动学公式求解要简单．目前十四页\总数三十八页\编于四点4．应用动能定理解题的优越性(1)由于动能定理反映的是物体两个状态的动能变化与其合力所做功的量值关系，所以对由初始状态到终止状态这一过程中物体运动性质、运动轨迹、做功的力是恒力还是变力等诸多因素不必加以限制．这些正是动能定理解题的优越性所在．(2)一般来说，在不涉及加速度和时间时，能用牛顿第二定律和运动学知识求解的问题，用动能定理也可以求解，而且往往用动能定理求解更简捷．可是，有些用动能定理能够求解的问题，应用牛顿第二定律和运动学知识却无法求解．可以说，熟练地应用动能定理求解问题，是一种高层次的思维方法，应该增强用动能定理解题的主动意识．目前十五页\总数三十八页\编于四点名师提示：(1)正确分析物体的受力，要考虑物体所受的所有外力，包括重力．(2)有些力在物体运动的全过程中不是始终存在的，若物体运动的全过程包含几个不同的物理过程，物体运动状态、受力等情况均可能发生变化，则在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待．应用动能定理解题的步骤可概括为：“确定状态找动能，分析过程找力功，正功负功加一起，动能增量与它同．”

目前十六页\总数三十八页\编于四点尝试应用2．起重机的钢索吊着m＝1.0×103kg的物体以a＝2m/s2的加速度竖直向上提升了5m，钢索对物体的拉力做的功为多少？物体的动能增加了多少？(g取10m/s2)解析：由动能定理得，物体动能的增加量ΔEk＝mah＝1.0×103×2×5J＝1.0×104J由动能定理还可以得W拉－WG＝ΔEk所以拉力做的功W拉＝ΔEk＋WG＝ΔEk＋mgh＝1.0×104J＋1.0×103×10×5J＝6.0×104J.答案：6.0×104J1.0×104J目前十七页\总数三十八页\编于四点应用动能定理求变力做功如图所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R.一质量为m的物体，与两个轨道的动摩擦因数都为μ，当它由轨道顶端A从静止下滑时，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力做的功为()A.μmgRB.mgRC．mgRD．(1－μ)mgR目前十八页\总数三十八页\编于四点解析：物体从A到B所受弹力要发生变化，摩擦力大小也要随之发生变化，所以求克服摩擦力做的功，不能直接用功的公式求得．而在BC段克服摩擦力所做的功，可直接求得．对从A到C全过程应用动能定理即可求出在AB段克服摩擦力所做的功．设物体在AB段克服摩擦力所做的功为WAB，物体从A到C的全过程，根据动能定理有mgR－WAB－μmgR＝0所以有WAB＝mgR－μmgR＝(1－μ)mgR.答案：D名师归纳：利用动能定理求解变力做功时，首先要注意哪些力是变力，哪些力是恒力，找出恒力做的功和变力做的功，然后再利用动能定理解题．

目前十九页\总数三十八页\编于四点变式应用1．某同学从h＝5m高处，以初速度v0＝8m/s抛出一个质量m＝0.5kg的橡皮球，测得橡皮球落地前瞬时速度为12m/s，求该同学抛球时所做的功和橡皮球在空中运动时克服空气阻力做的功．(g取10m/s2)解析：某同学抛球的过程，球的速度由零增加为抛出时的初速度v0，故抛球时所做的功为:橡皮球抛出后，重力和空气阻力做功，由动能定理得：目前二十页\总数三十八页\编于四点即橡皮球克服空气阻力做功为5J.答案：16J5J目前二十一页\总数三十八页\编于四点运用动能定理求解多过程问题如图所示，一质量为2kg的铅球从离地面2m高处自由下落，陷入沙坑2cm深处，求沙子对铅球的平均阻力．(g取10m/s2)解法一：分段列式．设铅球自由下落到沙面时的速度为v，则mgH＝mv2－0解析：铅球的运动分成自由下落和陷入沙坑做变速运动两个过程，根据动能定理，分段列式或全程列式，都可求出平均阻力．目前二十二页\总数三十八页\编于四点设铅球在沙中受到的阻力为F，则mgh－Fh＝0－mv2代入数据可得F＝2020N.解法二：根据全程列式．在铅球运动的全过程中，重力做功mg(H＋h)，进入沙中阻力做功－Fh，全程动能变化量为零，则由W＝Ek2－Ek1得mg(H＋h)－Fh＝0解得F＝2020N.答案：2020N名师归纳：如果物体在几个力(其中一个力未知)的作用下，运动的位移和其动能变化已知时，可用动能定理求解此未知力，当所研究的问题中涉及不止一个物体或不止一个运动过程时，可以根据解决问题的方便选取不同的物体或过程应用运能定理列方程，可以对整个过程，也可以选取其中几个过程分别列方程．目前二十三页\总数三十八页\编于四点动能定理与曲线运动的综合应用某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内(所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多)，底端与水平地面相切．弹射装置将一个小物体(可视为质点)以v0＝5m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进入轨道，依次经过“8002”后从P点水平抛出．小物体与地面ab段间的动摩擦因数μ＝0.3，不计其他机械能损失．已知ab段长L＝1.5m，数字“0”的半径R＝0.2m，小物体质量m＝0.01kg，g＝10m/s2.求：目前二十四页\总数三十八页\编于四点(1)小物体从P点抛出后的水平射程．(2)小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向．解析：(1)设小物体运动到P点时的速度大小为v，对小物体由a运动到P的全过程应用动能定理得目前二十五页\总数三十八页\编于四点答案：(1)0.8m(2)0.3N，方向竖直向下名师归纳：动能定理在处理变力、曲线运动的问题时，具有独特的优势，所以有很多考题将动能定理与圆周运动、平抛运动的知识综合起来考查．解决此类问题的关键是利用“程序法”将“大过程”分成几个“小阶段”或“状态”，然后再分别应用相关知识列出方程联立求解．目前二十六页\总数三十八页\编于四点变式应用3．如图是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑到底部B处安装一个压力传感器，其示数N表示该处所受压力的大小，某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有()A．N小于滑块重力B．N大于滑块重力C．N越大表明h越大D．N越大表明h越小解析：设滑块在B点的速度大小为v，开始到B点由动能定理得：mgh＝mv2.在B点由牛顿第二定律得N－mg＝m，因而选B、C.答案：BC目前二十七页\总数三十八页\编于四点基础练1．关于运动物体所受的合外力、合外力做功和物体动能变化的关系，下列说法正确的是()A．如果物体所受合外力为零，则合外力对物体做的功一定为零B．如果合外力对物体所做的功为零，则合外力一定为零C．物体在合外力的作用下做变速运动，动能一定发生变化D．物体的动能不变，所受合外力一定为零A目前二十八页\总数三十八页\编于四点2．A、B两物体在光滑的水平面上，分别在相同的水平恒力F作用下，由静止开始通过相同的位移s.若A的质量大于B的质量，则在这一过程中()A．A获得的动能较大B．B获得的动能较大C．A、B获得的动能一样大D．无法比较A、B获得的动能的大小C目前二十九页\总数三十八页\编于四点3．质量为1.0kg的滑块，以4m/s的初速度在光滑的水平面上向左滑行，从某一时刻起将一向右的水平力作用于滑块，经过一段时间，滑块的速度方向变为向右，大小为4m/s，则在这段时间内水平力所做的功为()A．0B．8JC．16JD．32J解析：这段过程的初动能和末动能相等，根据动能定理W＝Ek2－Ek1知，W＝0故选项A正确．答案：A目前三十页\总数三十八页\编于四点4．一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平拉力F的作用下，从平衡位置P点缓慢地移动到Q点，如图所示，则力F做的功为()A．mglcosθB．FlsinθC．mgl(1－cosθ)D．Fl解析：将小球从P点缓慢地移动到Q点的过程中力F是变化的，由动能定理得：W－mgl(1－cosθ)＝0，故W＝mgl(1－cosθ)，C正确．答案：C目前三十一页\总数三十八页\编于四点5.两辆汽车在同一路面上行驶，它们的质量平直之比，速度之比.当两车急刹车后，甲车滑行的最大距离为，乙车滑行的最大距离为，设两车与路面间的动摩擦因数相等，不计空气阻力，则（）A.B.C.D.答案：D目前三十二页\总数三十八页\编于四点6．一质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用．此后，该质点的动能不可能为()A．一直增大B．先逐渐减小至零，再逐渐增大C．先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小