高数下第十二章级数

高数下第十二章级数演示文稿目前一页\总数七十二页\编于十三点高数下第十二章级数目前二页\总数七十二页\编于十三点一、级数的概念与性质1.级数的定义:(常数项)无穷级数一般项级数的部分和目前三页\总数七十二页\编于十三点2.级数的收敛与发散:目前四页\总数七十二页\编于十三点解目前五页\总数七十二页\编于十三点

收敛

发散

发散

发散

综上目前六页\总数七十二页\编于十三点解目前七页\总数七十二页\编于十三点目前八页\总数七十二页\编于十三点3、基本性质结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.目前九页\总数七十二页\编于十三点证明类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.目前十页\总数七十二页\编于十三点证明目前十一页\总数七十二页\编于十三点注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.

收敛

发散目前十二页\总数七十二页\编于十三点证明级数收敛的必要条件:性质5目前十三页\总数七十二页\编于十三点注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;

发散2.必要条件不充分.但发散.目前十四页\总数七十二页\编于十三点目前十五页\总数七十二页\编于十三点二、正项级数及其审敛法2.正项级数收敛的充要条件:定理正项级数目前十六页\总数七十二页\编于十三点3.比较审敛法目前十七页\总数七十二页\编于十三点解由图可知目前十八页\总数七十二页\编于十三点重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.目前十九页\总数七十二页\编于十三点证明目前二十页\总数七十二页\编于十三点4.比较审敛法的极限形式:设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;目前二十一页\总数七十二页\编于十三点解原级数发散.故原级数收敛.目前二十二页\总数七十二页\编于十三点目前二十三页\总数七十二页\编于十三点比值审敛法的优点:不必找参考级数.注意:目前二十四页\总数七十二页\编于十三点解目前二十五页\总数七十二页\编于十三点比值审敛法失效,改用比较审敛法目前二十六页\总数七十二页\编于十三点级数收敛.目前二十七页\总数七十二页\编于十三点三、交错级数及其审敛法定义:

正、负项相间的级数称为交错级数.目前二十八页\总数七十二页\编于十三点目前二十九页\总数七十二页\编于十三点四、绝对收敛与条件收敛定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.证明目前三十页\总数七十二页\编于十三点上定理的作用：任意项级数正项级数目前三十一页\总数七十二页\编于十三点解故由定理知原级数绝对收敛.目前三十二页\总数七十二页\编于十三点四、小结正项级数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;目前三十三页\总数七十二页\编于十三点思考题目前三十四页\总数七十二页\编于十三点思考题解答由比较审敛法知收敛.反之不成立.例如：收敛,发散.目前三十五页\总数七十二页\编于十三点目前三十六页\总数七十二页\编于十三点目前三十七页\总数七十二页\编于十三点五、函数项级数的一般概念1.定义:目前三十八页\总数七十二页\编于十三点2.收敛点与收敛域:目前三十九页\总数七十二页\编于十三点函数项级数的部分和3.和函数:目前四十页\总数七十二页\编于十三点解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.目前四十一页\总数七十二页\编于十三点原级数发散.收敛;发散;目前四十二页\总数七十二页\编于十三点六、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:目前四十三页\总数七十二页\编于十三点目前四十四页\总数七十二页\编于十三点几何说明收敛区域发散区域发散区域目前四十五页\总数七十二页\编于十三点推论目前四十六页\总数七十二页\编于十三点定义:正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.规定目前四十七页\总数七十二页\编于十三点目前四十八页\总数七十二页\编于十三点例2求下列幂级数的收敛区间:解该级数收敛该级数发散目前四十九页\总数七十二页\编于十三点目前五十页\总数七十二页\编于十三点发散收敛故收敛区间为(0,1].目前五十一页\总数七十二页\编于十三点解缺少偶次幂的项级数收敛,目前五十二页\总数七十二页\编于十三点级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为目前五十三页\总数七十二页\编于十三点3、幂级数的分析运算目前五十四页\总数七十二页\编于十三点(收敛半径不变)目前五十五页\总数七十二页\编于十三点(收敛半径不变)目前五十六页\总数七十二页\编于十三点解两边积分得目前五十七页\总数七十二页\编于十三点目前五十八页\总数七十二页\编于十三点练习题目前五十九页\总数七十二页\编于十三点目前六十页\总数七十二页\编于十三点练习题答案目前六十一页\总数七十二页\编于十三点七、泰勒级数上节例题存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数问题:1.如果能展开,是什么?2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?目前六十二页\总数七十二页\编于十三点目前六十三页\总数七十二页\编于十三点问题定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.目前六十四页\总数七十二页\编于十三点目前六十五页\总数七十二页\编于十三点二、函数展开成幂级数1.直接法(泰勒级数法)步骤:（2）验证：目前六十六页\总数七十二页\编于十三点例1解由于M的任意性,即得目前六十七页\总数七十二页\编于十三点例2解目前六十八页\总数七十二页\编于十三点2.间接法根据唯一